王靜靜

除了求數(shù)列的通項(xiàng)公式以及求數(shù)列的和問題，我們經(jīng)常還會(huì)遇到證明數(shù)列不等式問題.證明數(shù)列不等式問題具有較強(qiáng)的綜合性，不僅考查了數(shù)列知識(shí)，還考查了不等式、函數(shù)、方程等知識(shí).本文重點(diǎn)討論一下證明數(shù)列不等式的三種途徑：采用數(shù)學(xué)歸納法、放縮不等式、構(gòu)造函數(shù).

一、采用數(shù)學(xué)歸納法

數(shù)學(xué)歸納法主要適用于證明與自然數(shù)有關(guān)的問題.數(shù)列不等式問題中的自變量為自然數(shù)集，因而可采用數(shù)學(xué)歸納法來求解.運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式一般有兩個(gè)步驟：

第一步，證明當(dāng)n=1時(shí)，數(shù)列不等式成立;

第二步，假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)數(shù)列不等式成立，據(jù)此推斷出當(dāng)n=k+1時(shí)數(shù)列不等式也成立.

綜合當(dāng)n=1時(shí)和當(dāng)n=k時(shí)的兩種情形，便可歸納出當(dāng)n∈N⁺時(shí)數(shù)列不等式成立的結(jié)論.

例1.設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₃=4，a₄=S₃，若S_n+b_n、S_n+1+b_n、S_n+2+b_n成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式;

證明：（1）a_n=2n-2，b_n=n²+2（過程略）;

①當(dāng)n=1時(shí)，c₁=0<2，不等式成立;

則當(dāng)n=k+1時(shí)，

數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式中含有根式、分式，較為復(fù)雜，很難快速求得數(shù)列的和，證明不等式成立，需采用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.先判斷當(dāng)n=1時(shí)c₁與2的大小關(guān)系，證明不等式成立，然后假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，數(shù)列不等式成立，將其當(dāng)作已成立的條件，根據(jù)不等式的傳遞性推出當(dāng)n=k+1時(shí)數(shù)列不等式也成立，從而證明數(shù)列不等式成立.

二、放縮不等式

三、構(gòu)造函數(shù)

有些數(shù)列不等式較為復(fù)雜，此時(shí)我們可將數(shù)列看作自變量為自然數(shù)的特殊函數(shù)f（n），將問題轉(zhuǎn)化為證明f（n）≤c、f（n）≥c（c為常數(shù)）.根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義、數(shù)列前后項(xiàng)之間的大小關(guān)系判斷出數(shù)列的單調(diào)性，即可求得數(shù)列的和的最值，求出f（n）的最值，證明f（n）_max≤c、f（n）_min≥c（c為常數(shù)），即可證明數(shù)列不等式成立.

∴函數(shù)f（n）是單調(diào)遞增函數(shù)，

通過上述分析，可知數(shù)學(xué)歸納法、放縮法以及構(gòu)造函數(shù)法都是證明數(shù)列不等式的重要手段，其中放縮法比較常用，其適用范圍較廣;對(duì)于較為復(fù)雜的數(shù)列不等式問題，常需采用數(shù)學(xué)歸納法和構(gòu)造函數(shù)法來進(jìn)行求證，但這兩種方法較為繁瑣，且運(yùn)算量較大.