劉玲玲 湯強

很多高中數(shù)學問題不止有一種解法，有時從不同角度去進行分析，可以尋找到多種不同的解題方案.筆者從不同的角度對一道最值問題及其解法進行了探究，并總結出了一些解題的規(guī)律.

題目：若 a，b 是正數(shù)，ab = a + b + 3， 求 ab 的最小值.

該題目中給出的條件較少，且較為簡單，但關系式中含有兩個變量，要求得目標式的最小值，需對兩個雙變量進行研究，利用基本不等式、判別式法、函數(shù)最值法、數(shù)形結合法進行求解.

一、利用基本不等式

基本不等式 a + b ≥ 2 ab（a、b > 0）是解答雙變量最值問題的重要工具.一般地，若兩式的和為定值，則由基本不等式可得當且僅當 a = b 時，兩式的積取最大值;若兩式的積為定值，則由基本不等式可得當且僅當 a = b 時，兩式的和取最小值.在運用基本不等式求最值時，要把握三個前提條件：“一正”“二定”“三相等”.

解法一：因為 a > 0， b > 0， 所以 a + b ≥ 2 ab，

又因為 ab = a + b + 3，

所以 ab ≥ 2 ab + 3，

即 ab - 2 ab - 3 ≥ 0，a = b 時取等，

解得 ab ≥ 3 或 ab ≤ -1（舍），

所以 ab ≥ 9，當且僅當 a = b = 3 時取等號.

本題中的 a，b 是正數(shù)，且 ab = a + b + 3，題設已具備運用基本不等式的兩個條件，所以很多同學首先會想到運用基本不等式來求最值.根據(jù)基本不等式求得a + b ≥ 2 ab，便可根據(jù)已知條件，建立關于ab的不等式，解不等式即可求得ab的最小值.

解法二：因為 a > 0，b > 0，ab = a + b + 3，

所以 （a - 1）（b - 1）= 22

即 a - 1，2，b - 1成等比數(shù)列，

所以 b - 1

該解法是先將已知關系式變形，根據(jù)等比數(shù)列等比中項的性質構造出兩式 2q、2q 的和，且其積為定值，便可運用基本不等式求得 ab 的最小值.基本不等式的使用條件為（1）一正：q > 0;（2）二定：2q ??2q = 2;（3）三相等：2q = 2q，即 q = 1時取等號.

解法三：

該解法中巧妙運用了配湊法和分離常數(shù)法，配湊出了兩式的和：（b - 1）+ 4b - 1，其中?b - 1 > 0，（b - 1）??4b - 1 = 4為定值，利用基本不等式即可解題.

可見運用基本不等式求最值，關鍵是根據(jù)題意得到滿足應用基本不等式的三個條件：“一正”“二定”“三相等”.有時題目中并未給出這些條件，那么我們就需要根據(jù)題意，構造或選取合適的兩式，配湊出兩式的和或積，并使其一為定值，這便可使用基本不等式求最值.

二、構造函數(shù)

構造函數(shù)法是通過構造函數(shù)，利用函數(shù)的性質求得最值的方法.運用構造函數(shù)法求最值，需先根據(jù)題意構造函數(shù)式，根據(jù)函數(shù)單調性的定義，或導函數(shù)與函數(shù)單調性之間的關系判斷出函數(shù)的單調性，從而根據(jù)變量的取值范圍，求得函數(shù)的最值.

將 b 視為主元，構造函數(shù) f （x），通過研究導函數(shù)與0之間的大小關系判斷出函數(shù)的單調性，便可求得函數(shù)在（0，+∞）上的單調性和極值，進而求得函數(shù)的最值.運用構造函數(shù)法求最值，關鍵在于構造出合適的函數(shù)模型.

三、運用判別式法

對于二次雙變量最值問題，可采用判別式法求解.首先根據(jù)題意構造一元二次方程，然后根據(jù)方程有解，建立關于判別式的不等式△≥0，通過解不等式求得目標式的最值.

由 ab，a + b 聯(lián)想到一元二次方程中的兩根之和、兩根之積，于是根據(jù)根與系數(shù)的關系構造一元二次方程 x2 -（t - 3）x + t = 0，其中a、b是該一元二次方程的兩根，所以根的判別式 Δ ≥ 0 .通常，可根據(jù)方程的根與系數(shù)的關系來構造一元二次方程;也可將其中一個變量視為主元，來構造一元二次方程.

四、運用數(shù)形結合法

數(shù)形結合法是解答數(shù)學問題的重要方法.對于雙變量最值問題，需首先挖掘題目中代數(shù)式的幾何意義，如 y = kx + b 表示的是一條直線，y = ax2 + bx + c 表示的是一條拋物線，x2 + y2 = r2表示的是一個圓等，然后畫出相應的圖形，通過分析圖形的幾何性質、位置關系，找到目標式取得最值的情形，從而求得最值.

該方法是很多同學難以想到的.通過構造出長方體，利用數(shù)形結合法，巧妙地將 ab 轉化為長方形的面積?ab = a ??1 + b ??1 +（a - 1）（b - 1）- 1 .然后通過換元，配湊出基本不等式的應用條件，從而利用基本不等式求得ab的最小值.

可見，解答最值問題，可以從基本不等式、函數(shù)、方程、幾何圖形幾個不同的角度入手，來尋找不同的解題方案.這就要求我們在解題時，根據(jù)題目中所給的信息，運用已有的數(shù)學知識、經驗，通過觀察、推測和想象，從不同的角度進行思考、重組已有信息，這樣才能獲得多種不同的解題方法和思路.

（作者單位：西華師范大學）