徐曉劍

一元二次方程一直是中考命題設(shè)計新題型的重要素材，用以考查考生的創(chuàng)新意識和應(yīng)用能力. 下面舉例介紹與一元二次方程相關(guān)的中考新題型.

一、作業(yè)糾錯型

例1 （2021·浙江·嘉興）小敏與小霞兩位同學(xué)解方程3（x - 3） = （x - 3）2的過程如下框：

你認(rèn)為她們的解法是否正確？若正確請在框內(nèi)打“√”;若錯誤請在框內(nèi)打“×”，并寫出你的解答過程.

分析：小敏在方程兩邊同除以（x - 3）時，沒有考慮x - 3 = 0的情況;小霞在提取公因式時，出現(xiàn)了符號錯誤.正確運用因式分解法，即可求得方程的解.

解：小敏錯誤;小霞錯誤.

正確的解答方法：

移項，得3（x - 3） - （x - 3）2 = 0，

提取公因式，得（x - 3）（3 - x + 3） = 0.

則x - 3 = 0或3 - x + 3 = 0，

解得x1 = 3，x2 = 6.

點評：方程兩邊不能除以含未知數(shù)的代數(shù)式，否則可能會導(dǎo)致失根.增根好剔除，失根難尋覓.提取公因式后，要正確處理剩下的部分，謹(jǐn)防犯“符號病”“負(fù)號病”.

二、定義運算型

例2 （2021·湖北·荊州）定義新運算“※”：對于實數(shù)m，n，p，q. 有[m，p]※[q，n] = mn + pq，其中等式右邊是通常的加法和乘法運算，例如：[2，3]※[4，5] = 2 × 5 + 3 × 4 = 22.若關(guān)于x的方程[x2 + 1，x]※[5 - 2k，k] = 0有兩個實數(shù)根，則k的取值范圍是（）.

A. k[<54]且k ≠ 0 B. k [≤54] C. k [≤54]且k ≠ 0 D. k [≥54]

分析：先根據(jù)新定義的運算法則，將新運算轉(zhuǎn)化為常規(guī)運算，再根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式來求解.

解：根據(jù)題意得k（x2 + 1） + （5 - 2k）x = 0，

整理得kx2 + （5 - 2k）x + k = 0，

∵方程有兩個實數(shù)根，∴k ≠ 0且Δ = （5 - 2k）2 - 4k2 ≥ 0，

解得k [≤54]且k ≠ 0.

故選C.

點評：解決新定義問題的關(guān)鍵是將新定義的運算轉(zhuǎn)化為常規(guī)運算來處理.

三、規(guī)律探索型

例3 （2021·四川·遂寧）下圖都是由同樣大小的小球按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律排列下去，第個圖形共有210個小球.

分析：根據(jù)已知圖形中小球的個數(shù)，歸納猜想出第n個圖形中小球的個數(shù)為1 + 2 + 3 + … + n = [nn+12]，再列出一元二次方程求解可得.

解：∵第1個圖形中小球的個數(shù)為1，

第2個圖形中小球的個數(shù)為3 = 1 + 2，

第3個圖形中小球的個數(shù)為6 = 1 + 2 + 3，

第4個圖形中小球的個數(shù)為10 = 1 + 2 + 3 + 4，

…………

∴第n個圖形中小球的個數(shù)為1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + n = [nn+12].

當(dāng)共有210個小球時，[nn+12] = 210，

解得n = 20或-21（不合題意，舍去），

∴第20個圖形共有210個小球.

故填20.

點評：本題考查一元二次方程的應(yīng)用以及小球的變化規(guī)律，觀察圖形中小球個數(shù)，找出變化的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

（作者單位：江蘇省泰興市實驗初級中學(xué)）