李毅 劉凱峰 陳巧琳 胡春兵

摘要：基于Python與蒙特卡洛算法對圓周率進行研究[1]，為了實現(xiàn)對圓周率更加準確的計算，需要進行大量的實驗及計算歸納，在實驗中將計算機編程技術(shù)加以運用，能夠有效降低重復(fù)運算次數(shù)[2]。根據(jù)已有二維平面模型拓展為三維模型，使實驗效果更加直觀、立體。

關(guān)鍵詞：Python;蒙特卡洛法;圓周率;三維模型

中圖分類號：TP311? ? ?文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2022）10-0110-03

1 圓周率的含義及歷史

圓周率Pi是圓的周長與直徑的比值，一般用希臘字母π表示，是普遍存在數(shù)學(xué)及物理學(xué)中的數(shù)學(xué)常數(shù)（約等于3.1415926） ，也是一個無理數(shù)。它是圓的周長與直徑的比值，也等于圓的面積與半徑平方之比，π在準確計算圓周長、圓面積、球體積等問題中扮演著極其重要的角色。

圓周率散發(fā)著經(jīng)久不衰的吸引力，以至于在人類幾千年的歷史長河中，許多數(shù)學(xué)家都在尋求π的值，甚至為之付出了畢生的心血。從古至今，能像圓周率一樣吸引眾多的學(xué)者的數(shù)字屈指可數(shù)，計算圓周率的值具有極其重要的含義，查閱歷史上對π的求值程度往往能反映出這個區(qū)域甚至這個時代數(shù)學(xué)發(fā)展的大致水平。

圓周率π在計算界占有重要的地位，縱觀古今中外歷史，我們可以將圓周率計算方法的發(fā)展史大略分為四個時期[3]：實驗時期、幾何法時期、分析法時期、計算機時期。電子計算機的迅速普及使π值計算有了日新月異的進展，計算圓周率π值的方法和求解速度都實現(xiàn)了前所未有的突破，使對π的求值運算步入了一個嶄新的發(fā)展期，圓周率π的數(shù)值達到了難以想象的精度。

2 采用的工具

隨著近代計算機技術(shù)的發(fā)展，蒙特卡洛方法也因自身的特性而得到廣泛應(yīng)用。蒙特卡洛方法現(xiàn)已成為人們處理復(fù)雜的數(shù)據(jù)建模和更高維度問題的主要工具，它在電子學(xué)、生物學(xué)、高分子化學(xué)，近似計算等學(xué)科與方法的研究中有著重要的應(yīng)用[4]。通過科學(xué)合理的統(tǒng)計建模，把較為復(fù)雜的研究對象，轉(zhuǎn)化成對隨機數(shù)及其數(shù)字特征的模型及運算，從實質(zhì)上簡化了研究問題，減少了運算的復(fù)雜性，從而獲得最佳的近似解[5]。

大數(shù)定理則是蒙特卡羅法最為關(guān)鍵的數(shù)理基石，如果要使用蒙特卡羅方法來求解問題，則需要重復(fù)大量同樣的實驗，只有實驗次數(shù)足夠多，所獲得的結(jié)論才會接近于真實值。蒙特卡洛法的本質(zhì)是構(gòu)造出一個具有隨機性的問題，并使數(shù)學(xué)上推導(dǎo)出來的結(jié)論正好是所求問題的解，多次重復(fù)實驗后，求得問題的多個解，即可獲得近似的結(jié)果[6]。

現(xiàn)在計算機技術(shù)飛速發(fā)展，編程語言早已是計算機應(yīng)用軟件開發(fā)中不可或缺的一部分，Python編程語言擁有編寫簡潔快速、語法優(yōu)美易讀等優(yōu)勢，在各領(lǐng)域都能看得到它的身影[7]。本文將Python的諸多優(yōu)勢融入實驗過程中，既可以清晰明了地展現(xiàn)出實驗的結(jié)果，又能夠使學(xué)習(xí)者更加注重問題的思想本質(zhì)，而不是煩瑣的代碼。除此之外，使用Python 語言還能輕松簡潔地編寫圖形界面程序[8]，大大降低了本次研究的難度。

3 二維模型建立

首先通過二維平面圖像來介紹實驗過程，研究表明可以通過圓和正方形的面積計算公式得到圓面積=正方形的面積*（圓中的點/正方形中的點） 。實驗中，本文選擇一個含有內(nèi)切圓且邊長為2的正方形，如圖1所示，向其中投射大量的針，每根針在正方形上形成一個“投點”，依靠投點在內(nèi)切圓的個數(shù)與正方形內(nèi)投點個數(shù)的比值等于Pi/4，再進行簡單地變換就得到Pi的值。為保證實驗結(jié)果的精確度，投點總數(shù)通常較大，由于計算落在圓內(nèi)投點數(shù)顯得較為困難，故可以運用Python及蒙特卡羅算法的來協(xié)助探究。

使用Python代碼來實現(xiàn)上述過程，如圖2所示，需要定義N代表投點的總個數(shù)，n代表投射在內(nèi)切圓中小點的總個數(shù)，用兩個從-1到1之間的隨機值來代表投點的橫坐標和縱坐標，并創(chuàng)立兩個列表分別來記錄橫坐標和縱坐標的值，然后利用公式求得Pi值并用列表記錄。調(diào)用畫圖工具將實驗過程呈現(xiàn)出來，得到如圖3所示。

接著通過調(diào)用數(shù)學(xué)函數(shù)將列表之中大量的實驗結(jié)果所求Pi值取平均值、方差及標準差，將所有Pi值放進圖中形成散點圖，同時將Pi的平均值畫成一條紅線與Pi的原值（3.1415926） 畫出的黑線相對比就可以發(fā)現(xiàn)紅線和黑線幾乎重疊，如圖5所示，證明所用的方法是比較合理的。如果做一個領(lǐng)域半徑r來剔除出實驗所求Pi的異常值，即可使實驗數(shù)據(jù)更加精確，方差和標準差都會縮小，所求的值離Pi的真實值更接近，如圖6所示。

4 三維模型建立

根據(jù)二維的平面模型可以延伸到三維的立體模型，三維模型的實驗數(shù)據(jù)將比二維模型的實驗數(shù)據(jù)更加合理。與二維模型相比，三維模型具有更多優(yōu)勢，三維模型的空間信息呈現(xiàn)更直接，三維模型給空間信息提供了更為豐富展示空間，而且三維模型在可視化方面有著巨大的優(yōu)勢[9]。實驗中二維模型轉(zhuǎn)化為三維模型即是將邊長為2的正方形內(nèi)切圓轉(zhuǎn)化為邊長為2的正方體內(nèi)切球，如圖8所示，投射針將要從正方體的多個方向發(fā)射，確?！巴饵c”在三維的坐標系下分布均勻。同理，經(jīng)過簡單的數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)變化，使用內(nèi)切球和正方體的體積公式與投點在球內(nèi)和正方體內(nèi)的比值等于Pi/6，最后就能得到Pi的值，如圖7中公式所示。

使用Python代碼來實現(xiàn)三維模型的圖像，同樣需要定義N代表投射點的總個數(shù)，n則代表投射在內(nèi)切球體之中小點的總個數(shù)，用三個從-1到1之間的隨機值來代表投點所在的坐標（即x軸，y軸和z軸） 就能近似地認為投射在一個邊長為2的正方體內(nèi)，并創(chuàng)立三個列表來分別記錄這些坐標，然后利用公式求得Pi值并用列記錄。最后利用畫圖工具將整個實驗過程呈現(xiàn)出來，如圖10所示。

將二維模型求出Pi近似值的方法略做修改即可等價地將三維模型Pi的近似值求出，如圖7中公式所示，利用數(shù)學(xué)函數(shù)將三維模型實驗所求大量Pi值取平均值、方差和標準差，將實驗中產(chǎn)生的大量Pi值都放進圖中形成散點圖，并將這些值的平均值畫成一條紅線與Pi的真實值（3.1415926） 畫出的黑線相對比，如圖11所示。使用相同的坐標刻度，可以清晰地對比二維圖形和三維模型的精確程度。同理，對三維模型實驗數(shù)據(jù)大量Pi值做一個領(lǐng)域半徑r，來剔除異常實驗數(shù)據(jù)值Pi，可以讓數(shù)據(jù)更加精確，方差和標準差都會縮小，所求的平均值離Pi的真實值更接近，如圖12所示。

5 總結(jié)

即使近現(xiàn)代計算機技術(shù)高速發(fā)展，然而對圓周率π的求值并沒有停止，計算仍在繼續(xù)，但它已經(jīng)不再被用在日常生活之中，研究的π意義已經(jīng)不再局限于簡單的數(shù)值計算，一方面基于個人的興趣愛好，另一方面被用來檢測計算機性能的好壞以及公式的優(yōu)劣?，F(xiàn)如今，圓周率往往不再是一種被檢驗的對象，而是同最大素數(shù)相類似地被當(dāng)作檢測工具，兩者皆用于檢測設(shè)備的先進程度和算法的優(yōu)劣。

在本次研究中，使二維平面模型轉(zhuǎn)化為三維立體的模型，是秉持逐步向高緯度空間探索的精神。想要探索四維甚至更高維空間，就需要先投影到三維世界來看，將二維模型拓展到三維模型是不可或缺的一部分。人類向高維度的探求是科學(xué)發(fā)展以來的永恒目標，假設(shè)擁有足夠的數(shù)學(xué)知識，從眾多三維模型中得到啟發(fā)，極有可能帶動科學(xué)研究邁出一大步。

參考文獻：

[1] 何光.用蒙特卡羅方法計算圓周率的近似值[J].內(nèi)江師范學(xué)院學(xué)報，2008，23（4）：14-16.

[2] 王玉華，李嬌，方曙東.基于Python實現(xiàn)圓周率的蒙特卡羅算法的研究[J].池州學(xué)院學(xué)報，2019，33（3）：17-18.

[3] 張曉貴.圓周率計算的四個時期[J].遼寧教育學(xué)院學(xué)報，2000，17（5）：66-69.

[4] 朱陸陸.蒙特卡洛方法及應(yīng)用[D].武漢：華中師范大學(xué)，2014.

[5] 楊筱珊.蒙特卡羅方法在定積分近似計算中的應(yīng)用[J].安順師專學(xué)報（自然科學(xué)版），1998（2）：34-40.

[6] 李姣娜.蒙特卡羅方法的原理及在數(shù)值計算方面的應(yīng)用——以定積分為例[J].濰坊工程職業(yè)學(xué)院學(xué)報，2018，31（5）：104-108.

[7] 姚建盛，李淑梅.Python在科學(xué)計算中的應(yīng)用[J].數(shù)字技術(shù)與應(yīng)用，2016（11）：76.

[8] 程麗玲.淺談Python在科學(xué)計算中的應(yīng)用[J].信息系統(tǒng)工程，2018（10）：55.

[9]徐鵬飛，丁榆城，張煒，等.基于三維CAD造型內(nèi)螺旋銑刀精確建模[J].中國機械，2019（17）：1.

【通聯(lián)編輯：梁書】

收稿日期：2021-11-28

基金項目：四川民族學(xué)院瀘定校區(qū)校園網(wǎng)建設(shè)關(guān)鍵技術(shù)研究（XYZB2009ZB） ;四川民族學(xué)院基于微信小程序的食堂在線預(yù)約系統(tǒng)研究（XYZB2008ZB）

作者簡介：李毅（1990—） ，男，四川巴中人，碩士研究生，助教，研究方向為最優(yōu)化算法。