蔡旖旎，劉 萍，李 艷

(云南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，云南 昆明 650500)

我們知道，在生態(tài)系統(tǒng)中，對(duì)生命短、世代不重疊的種群，或者即使生命長(zhǎng)、世代重疊的種群，其數(shù)量較少時(shí)，通常用差分方程（離散系統(tǒng)）來(lái)刻畫更為合理.

2019 年，蘇倩倩[1]提出了如下的一類離散Leslie-Gower 三維食物鏈系統(tǒng)

其中，a0,b0,v0,d0,a1,v1,d1,v2,d2,c3,v3,d3均為有正的上下界的序列，運(yùn)用差分不等式有關(guān)結(jié)論，得到了種群x1,x3持久，x2滅絕的條件，通過(guò)構(gòu)造Lyapunov 函數(shù)，得到系統(tǒng)(1)全局吸引的充分性條件.而在現(xiàn)實(shí)環(huán)境中，反饋控制變量是不可忽略的影響因素，文獻(xiàn)[2]研究了如下具反饋控制和Holling-Ⅲ類功能反應(yīng)的離散時(shí)滯系統(tǒng)

其中，xi(n)(i=1,2) 為種群xi第n代的種群密度，捕食者x2具有Holling-Ⅲ類功能反應(yīng)，b1(n) 為種群x1的出生率，b2(n) 為種群x2的死亡率，a1(n) 為密度制約系數(shù)，αi(n)(i=1,2) 為轉(zhuǎn)換率，m為半飽和度，0 ＜≤＜1(i=1,2),a1(n),bi(n),αi(n),ei(n),ηi(n),di(n)(i=1,2) 為有正的上下界的非負(fù)序列，通過(guò)運(yùn)用差分不等式的相關(guān)結(jié)論和計(jì)算技巧，得到了系統(tǒng)(2)持久生存的充分條件.學(xué)者們對(duì)具有Holling-Ⅲ類功能反應(yīng)的種群模型進(jìn)行廣泛研究，文獻(xiàn)[3]研究了一類具有Holling-Ⅲ類功能反應(yīng)函數(shù)的捕食?食餌反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)，討論了系統(tǒng)發(fā)自唯一半平凡解處的分歧解的局部和全局存在性.文獻(xiàn)[4]研究時(shí)標(biāo)上具有捕獲率和投放率的Holling-Ⅲ類功能反應(yīng)的捕食系統(tǒng)，考慮了時(shí)滯效應(yīng)，得到了系統(tǒng)至少有一個(gè)正周期解的結(jié)論.更多研究可參考文獻(xiàn)[5-6]及相關(guān)參考文獻(xiàn).

近年來(lái)，諸多學(xué)者研究了具有毒素影響的生態(tài)系統(tǒng)，發(fā)現(xiàn)毒素對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為有影響，如文獻(xiàn)[7]中研究了具毒素影響和非線性相互抑制項(xiàng)的離散競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)

得到了一個(gè)種群滅絕而另一個(gè)種群全局吸引的充分條件.

基于以上研究基礎(chǔ)，考慮到現(xiàn)實(shí)生態(tài)環(huán)境中毒素的影響以及種群間的競(jìng)爭(zhēng)和捕食關(guān)系，作為系統(tǒng)(2)的推廣，本文研究毒素作用下具反饋控制和非線性抑制項(xiàng)影響的3 種群捕食?競(jìng)爭(zhēng)離散系統(tǒng)

其中，xi(n)(i=1,2,3) 為種群xi(n)(i=1,2,3) 第n代的種群密度，x1,x2為食餌種群，x1,x2有競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系，x3為捕食者種群，種群x1,x2與x3是捕食關(guān)系，且具有Holling-Ⅲ功能反應(yīng)，r1(n),r2(n) 為種群x1,x2的出生率，r3(n) 為種群x3的死亡率，a1(n),a2(n) 為種群內(nèi)的密度制約系數(shù)，b1(n),b2(n) 為種間競(jìng)爭(zhēng)系數(shù)，為非線性抑制項(xiàng)，c1(n),c2(n),c3(n),c4(n) 為轉(zhuǎn)換率，r(n) 為毒素影響系數(shù)，為種群x2釋放毒素對(duì)第一個(gè)種群的影響，k>0 為正數(shù)，m1,m2為半飽和度且m1>0,m2>0，時(shí)滯τ1,τ2,δ1,δ2,δ3,ξ3,ξ4,η1,η2,η3均為正數(shù)，ui(i=1,2,3) 為反饋控制變量，fi(n),gi(n) 為控制變量系數(shù)，可通過(guò)其變化調(diào)節(jié)對(duì)系統(tǒng)控制的強(qiáng)弱.文中總假設(shè)r1(n),r2(n),r3(n),r(n),a1(n),a2(n),b1(n),b2(n),c1(n),c2(n),c3(n),di(n),ei(n),fi(n),gi(n) 均為具有正的上下界的非負(fù)序列且系統(tǒng)(3)具有如下初始條件

其中 τ=max{τ1,τ2,δ1,δ2,δ3,ξ3,ξ4,η1,η2,η3}.

對(duì)于任意有界序列 {h(n)}，記

n∈N+xi(n)>0,ui(n)>0,i=1,2,3.

容易知道，系統(tǒng)(3)滿足初始條件(4)的解在 時(shí)都有

1 預(yù)備知識(shí)

引理 1[8]假設(shè)序列 {x(n)} 滿足x(n)>0，a(n) 和b(n) 均是有正的上下界的非負(fù)序列，若x(n+1)≤x(n)exp{a(n)?b(n)x(n)}，n∈N，則

引理 3[10]假如A>0,y(0)>0 且y(n+1)≤Ay(n)+B(n),n=1,2,···,則

若A＜1,B(n) 有上界M，則

引理 5[12]假設(shè)A>0,y(0)>0,且y(n+1)≥Ay(n)+B(n),n=1,2,···,則

若A＜1,B(n) 有上界P，則

2 持久性分析

引理 6假設(shè)系統(tǒng)(3)滿足條件

則存在正數(shù)Li,Ni(i=1,2,3),使得

證明 假設(shè) (x1(n),x2(n),x3(n),u1(n),u2(n),u3(n))T為系統(tǒng)(3)的任意正解，由系統(tǒng)(3)的第一個(gè)方程得

因此

即

由式(5)，(6)得

由引理1 得

類似地，由系統(tǒng)(3)的第2 個(gè)方程得

由系統(tǒng)(3)的第3 個(gè)方程及均值不等式得

令z(n)=lnx3(n),則

其中

由引理2 得

進(jìn)而

則

對(duì)于充分小的正數(shù) ε，存在K1>0,K1∈N,當(dāng)n>K1時(shí)，有

由系統(tǒng)(3)第4 個(gè)方程和式(10)得

令 ε →0,由引理3 得

證畢.

定理 1若系統(tǒng)(3)滿足條件

則系統(tǒng)(3)是持久的，即存在正數(shù)li,hi,Ni,Li(i=1,2,3),使得

其中，Li,Ni如引理6 中所示，li,hi在下面證明中給出定義.

證明由 (H3) 可以得到 (H1) 成立，故在 (H3) 成立時(shí)引理6 的結(jié)論成立.由引理6 知對(duì) ε>0,存在K2>K1,K2∈N,對(duì)于任意的n>K2+τ，都有

由系統(tǒng)(3)的第一個(gè)方程和(11)式得

由(12)，(13)式得

令 ε →0,由引理4 得

類似地，由系統(tǒng)(3)的第2 個(gè)方程得

故對(duì)任意 ε>0,存在K3>K2,K3∈N,當(dāng)n>K3+τ,有

由系統(tǒng)(3)的第3 個(gè)方程得

令 ε →0 有

代入(15)式，得

記

則

由引理4 得

由（17）式，對(duì)于任意 ε>0,存在K4>K3,K4∈N,當(dāng)n>K4時(shí)，有

由系統(tǒng)(3)的第4 個(gè)方程得

令 ε →0 得

由引理5 得

證畢.

3 實(shí)例

下面舉例說(shuō)明我們理論結(jié)果的可行性.

例 1考慮如下系統(tǒng)

對(duì)系統(tǒng)(18)，假設(shè)

經(jīng)過(guò)計(jì)算，得

滿足定理1 條件，因而種群x1,x2,x3持久生存.

4 結(jié)論

本文提出一類毒素影響下具有時(shí)滯、反饋控制和非線性抑制項(xiàng)的離散三種群混合系統(tǒng)，據(jù)作者所知，至今尚未有學(xué)者研究此類系統(tǒng)，系統(tǒng)是新的.運(yùn)用差分方程比較原理和相關(guān)不等式計(jì)算技巧，研究了該系統(tǒng)持久性生存的充分條件，結(jié)果顯示：當(dāng)種群x1和種群x2的出生率的下確界足夠大時(shí)，種群x1和x2可持久生存；當(dāng)種群x3的死亡率的上確界足夠小時(shí)，種群x3可持久生存.本文研究結(jié)果推廣了文獻(xiàn)[2]的相關(guān)研究結(jié)果.本文研究結(jié)果表明，時(shí)滯、反饋控制和毒素均會(huì)影響目標(biāo)系統(tǒng)的持久性.