史巖，孫航，陳云閣，王玨

（海軍大連艦艇學(xué)院a. 水面艦艇作戰(zhàn)實(shí)驗(yàn)中心；b. 航海系；c. 作戰(zhàn)軟件與仿真研究所，遼寧 大連 116018）

0 引言

艦載對陸巡航導(dǎo)彈可以在距離目標(biāo)更遠(yuǎn)的紅方防護(hù)海域內(nèi)進(jìn)行發(fā)射，實(shí)現(xiàn)了在保護(hù)自身發(fā)射平臺安全的前提下，對藍(lán)方所屬的陸地縱深目標(biāo)實(shí)施精確打擊的目的[1]。隨著導(dǎo)彈巡航距離的增加，需進(jìn)一步提高其航程計算精度。

在充分考慮導(dǎo)彈的各種約束條件以及實(shí)際航行區(qū)域的情況下，為導(dǎo)彈規(guī)劃出一條滿足某種或多種需求的航路是導(dǎo)彈航路規(guī)劃的主要任務(wù)[2]。由于導(dǎo)彈實(shí)際飛行航跡需要近似大地線的要求，因此在航路的規(guī)劃過程中，規(guī)劃航路的航程計算精度就應(yīng)該接近大地線的計算精度。目前，謝曉方等人提出利用Bowring 公式快速計算反艦導(dǎo)彈航路點(diǎn)間距離[3]，該方法編程簡便，易于工程實(shí)現(xiàn)，但是考慮到艦載對陸巡航導(dǎo)彈可能規(guī)劃出由海面到陸地的直接連通的規(guī)劃航路情形，此時的航路點(diǎn)間會存在一定的高程差，因此從某種程度上影響了航路點(diǎn)間距離的計算精度。為了解決該問題，衛(wèi)澤[4]等提出顧及空間兩點(diǎn)間高程時的距離計算方法，但是該算法相比于Bowring 公式快速計算方法更加復(fù)雜。由于艦載對陸巡航導(dǎo)彈航路規(guī)劃時，航路點(diǎn)間距離的計算是對規(guī)劃航程的定量評估，因此有必要提出一套與導(dǎo)彈航路規(guī)劃相匹配的規(guī)劃航路點(diǎn)間距離的計算方法。本文在Bow?ring 反解公式[5]的基礎(chǔ)上，通過建立顧及高程的地球橢球模型，兼顧了艦載對陸巡航導(dǎo)彈規(guī)劃航路點(diǎn)間距離計算的精度和便捷性。

1 Bowring 公式相關(guān)內(nèi)容

通常地球的大地水準(zhǔn)面可近似為旋轉(zhuǎn)橢球面，而大地距離是指在這個橢球面上任意兩點(diǎn)之間大地線的長度，即兩點(diǎn)的最短距離，對于導(dǎo)彈而言是兩個航路點(diǎn)之間的直飛路徑。導(dǎo)彈在規(guī)劃航路時，首先需要耗時規(guī)劃航路，則計算規(guī)劃的航程需要顧及到計算的效率[6]。此外，導(dǎo)彈按照規(guī)劃航路進(jìn)行實(shí)際飛行的過程中，需要按照接近大地線的航線巡航飛行，則在計算規(guī)劃的航程時應(yīng)該盡可能地提高大地距離的計算精度。

在關(guān)于大地距離的計算中[7-8]有以數(shù)值積分為基礎(chǔ)的Gauss 法[9]、牛頓法[10]，其精度隨著距離的增加而下降，且計算工作量較大、較復(fù)雜。有以Bessel大地投影[11]為基礎(chǔ)的公式法，其在計算過程中計算的精度與公式展開的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，需要較為復(fù)雜的迭代過程。有以地圖投影理論為基礎(chǔ)的Bowring 公式法，其計算精度在短距離內(nèi)較高，且計算過程較為簡便，易于編程實(shí)現(xiàn)。由于導(dǎo)彈航路規(guī)劃中航路段側(cè)重于短距離（大地線計算可以按照距離長短分為400 km 以下的短距離計算，400~1 000 km 的中距離計算，以及1 000 km 以上的長距離計算[3]）范圍的計算，因此該法較為適用。同時，考慮到艦載對陸巡航導(dǎo)彈航路規(guī)劃中航路點(diǎn)之間存在較大的高程差時，需要在考慮高程差值的前提下對大地線距離進(jìn)行計算。在現(xiàn)有的Bowring 公式快速解算大地線長度的基礎(chǔ)上，利用顧及高程的地球輔助橢球模型參數(shù)的求取，重新推導(dǎo)顧及高程的Bowring 計算公式。

已知兩點(diǎn)的經(jīng)緯度坐標(biāo)時計算兩點(diǎn)間的大地線長度以及方位，需要利用Bowring 公式。設(shè)定橢球面上的兩點(diǎn)P1(L1,B1)和P2(L2,B2)，a和b表示地球的長短半軸長度，e′為第二偏心率且有公式e′2=(a2-b2)/b2，具體公式見（1）~（12）。

S表示點(diǎn)P1，P2之間的距離，從點(diǎn)P1到P2的方位角為α12，點(diǎn)P2到P1的方位角為α21，則

相關(guān)文獻(xiàn)[12-13]指出，Bowring 公式的角度偏差較小，距離精度在300 km 內(nèi)的計算誤差僅為0.1 m，在700 km 內(nèi)的計算誤差僅為1 m，1 500 km 內(nèi)的計算誤差也只有l(wèi)0 m，而到2 000 km 時的計算誤差達(dá)到40 m。則可認(rèn)為Bowring 公式在求解航路點(diǎn)距離時的精度較高，且由于航路規(guī)劃中，航路點(diǎn)之間的規(guī)劃航段多在中短距離之間，所以結(jié)合Bowring 公式精度及易于編程的特點(diǎn)完全可以應(yīng)用在對陸巡航導(dǎo)彈規(guī)劃航路段的距離計算中。由于上述Bowring公式的計算精度是基于無高程差時大地線長度的計算，為了更好地為導(dǎo)彈規(guī)劃航路提供航程參考，Bowring 計算公式需要顧及高程差值。

2 顧及高程的地球橢球模型

地球參考橢球面上點(diǎn)的大地坐標(biāo)為P(B,L)，其轉(zhuǎn)換為空間直角坐標(biāo)的公式為

式中：e為第一偏心率，且有公式e2= (a2-b2)/a2。不在地球參考橢球面上點(diǎn)的大地坐標(biāo)P(B,L,H)，其轉(zhuǎn)換為空間直角坐標(biāo)的公式為

設(shè)定高度的平均值為Hm，做中心與地球橢球的中心保持一致的輔助橢球（輔助橢球參數(shù)為af，bf），同時輔助橢球上x,y,z坐標(biāo)軸指向、扁率，也與地球橢球保持一致[14]，結(jié)合圖1 所示，則有

圖1 輔助橢球示意圖Fig.1 Auxiliary ellipsoid diagram

同時滿足如下關(guān)系：

原參考橢球上的點(diǎn)P(B，L，H)，在輔助橢球上的坐標(biāo)P(B，L，0)，則該點(diǎn)在輔助橢球上坐標(biāo)的改正量分別為dB，dL，dH。根據(jù)文獻(xiàn)[4]則有

說明點(diǎn)P在輔助橢球中的經(jīng)度值L沒有發(fā)生改變，只有緯度值B和高程值H發(fā)生改變，設(shè)原參考橢球P1（B1，L1，H1），則點(diǎn)（B1，L1，Hm）在輔助橢球上，但其坐標(biāo)系是在原參考橢球中。在輔助橢球上且也是輔助橢球坐標(biāo)系的點(diǎn)為P′（B′1，L1，0），則有

由式（17），（18）可得

參考橢球P1（B1，L1，H1），在輔助橢球上的投影點(diǎn)P′（B′1，L1，0）是由輔助橢球的參考系坐標(biāo)確定；參考橢球P2（B2，L2，H2）對應(yīng)的輔助橢球上的點(diǎn)（B′1，L2，H′2）是在原參考橢球的坐標(biāo)系，則其在輔助橢球上 的 投 影P′2（B′2，L2，0）是輔助橢球的參考系坐標(biāo)確定。

3 顧及高程的Bowring 公式

在新構(gòu)建的輔助橢球上應(yīng)用Bowring 公式，其橢球的長短半軸隨之變化，則輔助橢球的第二偏心率 為

由（B1，L1，H1），（B2，L2，H2）得到輔助橢球上的對應(yīng)點(diǎn)（B′1，L1，0），（B′2，L2，0）帶入到Bowring 反解公式（26）~（32）中，則有

進(jìn)一步帶入求得顧及高程情況下的點(diǎn)P1，P2之間的距離以及兩點(diǎn)之間的方位角為

上述推導(dǎo)過程中，空間兩點(diǎn)可以是任意兩個具有高程差值的相鄰規(guī)劃航路點(diǎn)?？梢娫陬櫦昂铰伏c(diǎn)間高程值的情況下，Bowring 公式的推導(dǎo)過程較為簡捷，比較適合計算機(jī)的編程實(shí)現(xiàn)。

4 算例分析

通過設(shè)計不同高程值時的相鄰空間航路點(diǎn)間距離的算例[15]，進(jìn)一步說明應(yīng)用顧及高程的Bowring公式后對計算精度的影響。取克拉索夫斯基橢球基本常數(shù)a=6 378 245，e2= 0.006 693 421 622 97。計算Bowring 公式在是否顧及高程差時兩點(diǎn)之間的大地距離及方位角見表1，相關(guān)差值對比見表2所示。

表1 空間兩航路點(diǎn)間不同高程差值下的距離計算結(jié)果Table 1 Calculation results of distance between space waypoints with different elevation difference

表2 空間兩航路點(diǎn)間相關(guān)參數(shù)差值計算結(jié)果Table 2 Calculation results of correlation parameter difference between space waypoints

從表2 中數(shù)據(jù)可以看出，大地高程差值引起的距離差在中短距離（1 000 km 以下）的大地線長度中，從米級到百米級不等，說明高程的差值對于大地距離的計算精度有一定程度影響。在空間兩點(diǎn)高程差值一定的情況下，兩點(diǎn)間顧及高程與未顧及高程時的距離差值隨著參考橢球面上的大地線長度的增加而增加。在空間兩點(diǎn)經(jīng)緯度不變的情況下，兩點(diǎn)高程差值越大，則兩點(diǎn)間的距離越大。而在兩點(diǎn)方位角的變化中，高程差對兩點(diǎn)之間的方位角的影響較小。在針對導(dǎo)彈由海面發(fā)射直接打擊陸上目標(biāo)時，需應(yīng)用顧及高程的Bowring 公式求取大地線距離。而在導(dǎo)彈超低空臨海巡航時，其航路點(diǎn)間的計算可以直接應(yīng)用Bowring 公式，此時的距離也等效于導(dǎo)彈臨海巡航時大圓航線的航程。

5 結(jié)束語

本文所給出的艦載對陸巡航導(dǎo)彈規(guī)劃航路點(diǎn)間距離的計算方法，充分考慮了導(dǎo)彈由海上發(fā)射攻擊陸地目標(biāo)時規(guī)劃航路點(diǎn)間可能存在一定高程差的特點(diǎn)。該算法較為簡捷且精度符合需求，易于在規(guī)劃艦載對陸巡航導(dǎo)彈航路的過程中快速計算航程，便于工程實(shí)現(xiàn)。