閆懂林，鄭 陽，劉宛瑩，陳啟卷

(武漢大學(xué) 動力與機(jī)械學(xué)院，武漢 430072)

水力發(fā)電機(jī)組作為水電站中能量轉(zhuǎn)換的樞紐，其故障或事故，會直接影響水電站乃至電網(wǎng)的安全穩(wěn)定[1]。因此，為了避免一些重大安全事故地發(fā)生，對水力發(fā)電機(jī)組結(jié)構(gòu)特性和動力學(xué)響應(yīng)進(jìn)行研究十分必要。

到目前為止，已經(jīng)有大量學(xué)者致力于水力發(fā)電機(jī)組結(jié)構(gòu)建模及動力學(xué)特性的分析研究。Xu等[2]綜合考慮了阻尼、油膜和磁拉力對水力發(fā)電機(jī)組的影響，以拉格朗日方程為基礎(chǔ)建立了一個機(jī)組軸系的分?jǐn)?shù)階非線性動力學(xué)模型，并討論了參數(shù)變化對機(jī)組非線性特性的影響效應(yīng)；Huang等[3]提出了包含不對中和質(zhì)量偏心故障的水力發(fā)電機(jī)組轉(zhuǎn)子系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，并分析了故障耦合作用下的系統(tǒng)動力學(xué)特性；Zhang等[4]推導(dǎo)了不同荷載條件下的水電機(jī)組水力激勵的數(shù)學(xué)表達(dá)式，研究了機(jī)組突增負(fù)荷過程中軸系的振動響應(yīng)特性；Yan等[5]建立了包含葉片的貫流式水力發(fā)電機(jī)組軸系統(tǒng)模型，討論了葉片對機(jī)組軸系振動特性的影響機(jī)理?？偟膩碚f，這些研究可以為水力發(fā)電機(jī)組的設(shè)計(jì)、優(yōu)化、運(yùn)行和維護(hù)提供一定的參考。但值得注意的是，當(dāng)前的研究主要都是基于確定性模型和方法展開，很少提及參數(shù)不確定性的影響。實(shí)際上，對于水力發(fā)電機(jī)組來說，存在許多不確定性因素，如制造公差、材料特性的固有隨機(jī)性、磨損、應(yīng)力變化、隨機(jī)載荷等，這些不確定性對機(jī)組的安全和可靠性會造成潛在的威脅[6]。而現(xiàn)有的確定性分析方法對水力發(fā)電機(jī)組的不確定性問題可能是局限的或無效的，因此，為了探究不確定參數(shù)對機(jī)組結(jié)構(gòu)性能和動力學(xué)響應(yīng)的影響，需要引入不確定性分析的方法和理論來展開研究。同時，考慮到結(jié)構(gòu)的不確定性較難發(fā)現(xiàn)，其破壞性在實(shí)際工程中也最為顯著，對其研究也相對較少，故本研究將重點(diǎn)研究機(jī)組結(jié)構(gòu)參數(shù)的不確定性。

大量研究表明，不確定性量化和參數(shù)敏感性分析是探索物理系統(tǒng)不確定問題的兩種有效方法[7]。一方面，不確定性量化是用來評估系統(tǒng)輸入到輸出過程中不確定性的傳播，通常采用輸出響應(yīng)的均值、方差和置信區(qū)間作為量化指標(biāo)[8]；另一方面，參數(shù)敏感性分析是為了量化不確定參數(shù)對系統(tǒng)輸出不確定性的貢獻(xiàn)，可以分為局部敏感性分析和全局敏感性分析。當(dāng)模型的輸出不確定性比較突出，或者模型具有較強(qiáng)的非線性時，全局敏感性分析比局部敏感性分析更具優(yōu)勢[9]，主流的全局敏感性分析方法有回歸分析法、Morris篩選法、Sobol法、傅里葉幅度檢驗(yàn)法和擴(kuò)展傅里葉幅度檢驗(yàn)法等?？紤]到水力發(fā)電機(jī)組軸系統(tǒng)是一個復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，這里將利用全局敏感性分析來討論機(jī)組結(jié)構(gòu)參數(shù)不確定對系統(tǒng)輸出的影響效應(yīng)。

對于高自由度的水力發(fā)電機(jī)組轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，在計(jì)算不確定性參數(shù)的各階敏感性指標(biāo)時，傳統(tǒng)的暴力Monte-Carlo模擬法需要大量的樣本，計(jì)算成本很高甚至難以接受。為了解決這一問題，本文將引入基于多項(xiàng)式混沌展開的代理模型技術(shù)[10]，建立描述機(jī)組不確定結(jié)構(gòu)參數(shù)與輸出變量之間關(guān)系的代理模型用于不確定性量化研究。同時，由于多項(xiàng)式混沌展開的形式可以很容易地轉(zhuǎn)化為方差分解的形式，只需對展開系數(shù)進(jìn)行簡單的后處理便可以得到參數(shù)的敏感性指標(biāo)，避免了大量的樣本計(jì)算，故本文將采用這種方法來對機(jī)組結(jié)構(gòu)參數(shù)不確定性的影響展開研究。

綜上所述，本文提出了一套以廣義多項(xiàng)式混沌展開為基礎(chǔ)的水力發(fā)電機(jī)組軸系建模、不確定性量化和參數(shù)敏感性分析的統(tǒng)一框架。主要貢獻(xiàn)如下：① 將水力發(fā)電機(jī)組軸系結(jié)構(gòu)特性和動力響應(yīng)的研究擴(kuò)展到不確定性范圍，并建立了一個包含不確定性信息的機(jī)組軸系動力學(xué)模型；② 對于不確定參數(shù)下的機(jī)組結(jié)構(gòu)固有特性和振動響應(yīng)的不確定性量化，除了廣泛使用的均值、方差和各階統(tǒng)計(jì)矩外，還利用最大熵原理得到了隨機(jī)輸出的具體概率密度函數(shù)表達(dá)式；③ 基于廣義多項(xiàng)式混沌方法，快速獲得了不確定參數(shù)對固有頻率(靜態(tài)響應(yīng))和振動響應(yīng)(動態(tài)響應(yīng))的全局靈敏性指標(biāo)，指導(dǎo)水電機(jī)組的實(shí)際生產(chǎn)實(shí)踐。

1 水力發(fā)電機(jī)組軸系建模

水力發(fā)電機(jī)組的軸系簡化結(jié)構(gòu)如圖1所示，其動力響應(yīng)主要由軸系、邊界條件和外部激勵決定，下面將分別建立各子單元的模型，并將其組成完整的軸系動力學(xué)模型。

圖1 機(jī)組簡化結(jié)構(gòu)圖

1.1 軸系統(tǒng)

在軸系中，主要包括轉(zhuǎn)軸、發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子和水輪機(jī)轉(zhuǎn)輪，這里將采用有限元法建立它們的模型。

對于轉(zhuǎn)軸，采用2節(jié)點(diǎn)8自由度的Timoshenko梁單元進(jìn)行建模，其質(zhì)量矩陣M(e)，剛度矩陣K(e)，和陀螺矩陣G(e)見文獻(xiàn)[11],下標(biāo)(e)為單元矩陣。梁單元每個節(jié)點(diǎn)有兩個平移自由度(x,y)和兩個旋轉(zhuǎn)自由度(θx,θy)，對于第i個單元，其坐標(biāo)可以寫成ue=[x(i),y(i),θx(i),θy(i),x(i+1),y(i+1),θx(i+1),θy(i+1)]。

發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子和水輪機(jī)轉(zhuǎn)輪的質(zhì)量矩陣分別為

Mrotor=diag{m1,m1,Jd1,Jd1}

(1)

Mrunner=diag{m2+mwater,m2+mwater,Jd2,Jd2}

(2)

式中：m1和m2分別為發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子和水輪機(jī)轉(zhuǎn)輪的質(zhì)量；Jd1和Jd2分別為它們的截面慣性矩；mwater為水體的附加質(zhì)量。

發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子和水輪機(jī)轉(zhuǎn)輪的陀螺矩陣可以表示為

(3)

(4)

式中，Jp1和Jp2分別為轉(zhuǎn)子和轉(zhuǎn)輪的極慣性矩。

根據(jù)這些子單元的矩陣，可以構(gòu)造出機(jī)組軸系的完整質(zhì)量、剛度和陀螺矩陣，構(gòu)造過程如圖2所示。圖2中從左上角到右下角的6個節(jié)點(diǎn)分別為：上導(dǎo)軸承、發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子、下導(dǎo)軸承、聯(lián)軸器、水導(dǎo)軸承及水輪機(jī)轉(zhuǎn)輪。M(e)iL和M(e)iR為單元質(zhì)量矩陣M(e)的左上角和右下角子矩陣，G(e)iL和G(e)iR為單元陀螺矩陣G(e)的左上角和右下角子矩陣，n1～n5為疊加的單元矩陣個數(shù)。

圖2 軸系整體矩陣的裝配

最后，考慮到水力發(fā)電機(jī)組是一個多自由度系統(tǒng)，其阻尼采用瑞利阻尼理論進(jìn)行假設(shè)，具體的計(jì)算方法和公式見文獻(xiàn)[12]。

1.2 邊界條件

機(jī)組軸系的邊界條件主要為各個導(dǎo)向軸承提供的維持軸系旋轉(zhuǎn)的支撐力，以油膜力[13]的形式表示

(5)

式中：Fx-oil和Fy-oil分別為x和y方向的油膜力；Fx0和Fy0為靜止工作點(diǎn)的油膜力；ΔFx-oil和ΔFy-oil為軸頸偏離靜止工作點(diǎn)引起的油膜力增量，其可以用式(6)計(jì)算

(6)

式中：kij(i,j=x,y)為剛度系數(shù)；dij(i,j=x,y)為阻尼系數(shù)；x,y為軸向位移。

1.3 外部激勵

外部激勵對水力發(fā)電機(jī)組的動態(tài)響應(yīng)有明顯的影響，在本研究中，考慮了質(zhì)量偏心和不平衡磁拉力兩種最典型的激勵。具體的模型表達(dá)式見Xu等和Zhang等的研究。

1.4 運(yùn)動方程

基于1.1節(jié)～1.3節(jié)各個子模型，機(jī)組在確定性框架下的軸系動力學(xué)模型可以寫為

(7)

考慮到機(jī)組結(jié)構(gòu)參數(shù)的不確定性，在不確定性框架下，水力發(fā)電機(jī)組的運(yùn)動方程可表示為

(8)

2 廣義多項(xiàng)式混沌展開

2.1 展開式

假設(shè)Y=Y(ξ)為一個隨機(jī)物理模型，ξ為輸入隨機(jī)變量的集合,ξ= {ξ1,ξ2, …,ξd}，其中的ξi為第i個輸入?yún)?shù)，則該模型的輸出響應(yīng)可以用多項(xiàng)式混沌方法重構(gòu)[14]為

(9)

式中：Y為系統(tǒng)的輸出響應(yīng)；d為隨機(jī)輸入的個數(shù)；b0,bi1,i2,…為展開系數(shù)；Φn(·)定義了n階多項(xiàng)式;ψ0為基函數(shù)；i1，i2,…為各參數(shù)展開項(xiàng)編號。

對式(9)中各項(xiàng)進(jìn)行重新排序，并進(jìn)行有限項(xiàng)截?cái)?，則原模型可以近似表示為

(10)

式中：r為截?cái)嗑S度；Nd為多維索引的集合；α= {α1, …,αd|αi≥0}為Nd中包含d個元素的多維指標(biāo)；Ad,r為一個根據(jù)r和d定義的區(qū)域；βα為重排后的多項(xiàng)式系數(shù)；ψα(ξ)為正交基函數(shù)，對于有多個隨機(jī)輸入的問題，基函數(shù)可通過張量積[15]進(jìn)行構(gòu)造。

截?cái)嗪蟮亩囗?xiàng)式混沌展開項(xiàng)數(shù)由截?cái)嗑S度和隨機(jī)變量個數(shù)決定，用式(11)計(jì)算

(11)

當(dāng)多項(xiàng)式混沌展開項(xiàng)數(shù)確定后，式(10)可以寫成一個更緊湊的形式

(12)

式中：β為展開系數(shù)的向量，β= {β0, …,βN-1}T；ψ(ξ)為基函數(shù)的向量，ψ(ξ)= {ψ0(ξ), …,ψN-1(ξ)}；βj為整理后的展開系數(shù)；ψj(ξ)為對應(yīng)的基函數(shù)。

2.2 展開系數(shù)

假定Yn= {Y1,Y2, …,Yj,…,Yn}T為系統(tǒng)在n個樣本ξ= {ξ1,ξ2, …,ξn}下的輸出矢量，各實(shí)際值與估算值之差ε越小，估計(jì)越準(zhǔn)確，所以對多項(xiàng)式混沌展開系數(shù)的總體估計(jì)可以轉(zhuǎn)化為如下的最小化問題

(13)

式中：Yj為第j個樣本下的系統(tǒng)輸出響應(yīng)值；ξj為第j個輸入樣本。

式(13)的最優(yōu)解即多項(xiàng)式混沌展開系數(shù)可以用式(14)計(jì)算

β=(HTH)-1HTYn

(14)

式中：Yn為n個樣本下的系統(tǒng)輸出矢量；H為輔助計(jì)算矩陣，其可以表示為

(15)

3 不確定性量化和全局敏感性分析

3.1 不確定性量化

最大熵原理表明：為了獲得具有部分已知信息事物的概率分布形式，在約束條件下，選擇熵最大的概率分布是最優(yōu)的。在本研究中，對于原點(diǎn)矩確定的隨機(jī)輸出響應(yīng)，有多個不同的概率密度函數(shù)與之對應(yīng)，其中最優(yōu)概率密度函數(shù)是熵值最大的一個。換句話說，對不確定系統(tǒng)隨機(jī)輸出的概率密度函數(shù)的求解可以轉(zhuǎn)換為如下的優(yōu)化問題

(16)

式中：H為熵；f(x)為隨機(jī)變量x的概率密度函數(shù)；μs為s階原點(diǎn)矩；下標(biāo)s為原點(diǎn)矩的階次；Ps(x)為已知約束條件下的基函數(shù)。

利用拉格朗日乘子法求解式(16)，可以得到最優(yōu)的概率密度函數(shù)表達(dá)式為

(17)

式中：ηj為待定系數(shù)；Pj(x)為第j階的函數(shù);S為展開的最大階次。

Abramov的研究表明，冪函數(shù)Ps(x)=xs可以作為基函數(shù)用于求解概率密度函數(shù)，且四階原點(diǎn)矩已經(jīng)可以保證足夠的精度，故輸出響應(yīng)的概率分布函數(shù)可以寫成

(18)

3.2 全局敏感性分析

定義一個在Ad,r中的多維指標(biāo)Li1,…,ie為

Li1,…,ie=

(19)

基于式(19)，截?cái)嗟亩囗?xiàng)式混沌展開式式(10)可以被重新組織為標(biāo)準(zhǔn)的方差分解形式

(20)

所以，基于方差的各階敏感性指標(biāo)可由式(21)直接計(jì)算得到

(21)

式中：V(Y)為輸出的總方差；Sik為主效應(yīng)指標(biāo)；Si1,…,ie為交互效應(yīng)指標(biāo)。

而總的敏感性指標(biāo)為

(22)

4 數(shù)值研究

包含不確定參數(shù)的水力發(fā)電機(jī)組軸系固有特性及動力學(xué)響應(yīng)不確定性量化及全局敏感性分析的具體流程，如圖3所示。依據(jù)文獻(xiàn)[16]，軸系不確定性參數(shù)和必要的確定性參數(shù)分別如表1和表2所示。這里選擇d= 7和r= 3可以滿足多項(xiàng)式混沌的估計(jì)效果，對應(yīng)的樣本數(shù)設(shè)置為240，采用拉丁超立方抽樣確定樣本。

表1 不確定結(jié)構(gòu)參數(shù)及其分布

表2 確定性參數(shù)

圖3 數(shù)值研究流程圖

4.1 驗(yàn) 證

隨機(jī)選擇120個樣本，對比原始模型和代理模型下機(jī)組的振動響應(yīng)來驗(yàn)證多項(xiàng)式混沌展開代理模型的準(zhǔn)確性，對比結(jié)果如圖4所示。從圖4可知，多項(xiàng)式混沌展開模型可以很好地反映原始模型中不確定參數(shù)與隨機(jī)輸出的關(guān)系。

(a)轉(zhuǎn)子

4.2 對固有頻率的不確定性量化和參數(shù)敏感性分析

基于暴力Monte-Carlo模擬和最大熵原理計(jì)算的機(jī)組軸系固有頻率的概率密度分布如圖5所示。從圖5可知，兩種方法下的概率分布是高度一致的。但其中暴力Monte-Carlo模擬是基于10 000個樣本，而最大熵原理僅僅基于240個樣本。換句話說，多項(xiàng)式混沌展開驅(qū)動的最大熵原理方法可以在大大縮減計(jì)算量的情況下有效地評估不確定參數(shù)影響下水力發(fā)電機(jī)組固有頻率的概率分布特性，且能給出連續(xù)的概率密度函數(shù)表達(dá)式，具體的表達(dá)式系數(shù)如表3所示。

(a)一階固有頻率

表3 固有頻率的概率密度函數(shù)系數(shù)

基于固有頻率的概率密度函數(shù)，可以得到如下結(jié)果：

(1)比較確定性框架下的固有頻率響應(yīng)值(determinate value, DV)和不確定性框架下的均值(mean value, MV)，可以發(fā)現(xiàn)它們在一階固有頻率下的響應(yīng)值非常接近。對比三階固有頻率，它們之間的差異被放大。而對比五階固有頻率，這種差異比一階和三階固有頻率的差異更明顯。對于高階固有頻率，其值在不確定系統(tǒng)中更容易偏離確定性系統(tǒng)的固有頻率值。

(2)根據(jù)計(jì)算的概率密度函數(shù)，可以得出一階、三階和五階固有頻率在95%置信區(qū)間下的輸出響應(yīng)范圍分別為[14.733 8,18.368 9]，[45.584 3,55.673 3]和[88.123 7,107.056 8]。由于充分考慮了結(jié)構(gòu)的不確定性，這些范圍對機(jī)組的設(shè)計(jì)優(yōu)化比確定的值更有意義。

(3)根據(jù)各固有頻率的多項(xiàng)式混沌表達(dá)式，經(jīng)過簡單后處理，得到各固有頻率的方差值分別為0.850 3，6.625 1和23.196 3，隨著固有頻率階數(shù)地增加而增大。換句話說，結(jié)構(gòu)不確定性對高階固有頻率的影響更為顯著。

下面將利用全局敏感性分析來研究每個結(jié)構(gòu)參數(shù)對固有頻率不確定性的具體貢獻(xiàn)。各參數(shù)對轉(zhuǎn)軸固有頻率敏感性的主效應(yīng)和總效應(yīng)指標(biāo)在廣義多項(xiàng)式混沌方法和傳統(tǒng)暴力Monte-Carlo模擬下被分別提出，對比發(fā)現(xiàn)當(dāng)基于廣義多項(xiàng)式混沌方法計(jì)算敏感性指標(biāo)時在更小的計(jì)算成本下得到的精度結(jié)果與使用大量樣本的暴力Monte-Carlo模擬相同，如圖6所示。

基于圖6，一些關(guān)于固有頻率參數(shù)敏感性的結(jié)論可以被得到：首先，一階固有頻率對參數(shù)E和Jd1是最為敏感的，也就是說，一階固有頻率的不確定性主要來源于這兩個參數(shù);同時，m2對一階固有頻率也有輕微的影響，而其他不確定參數(shù)的影響可以忽略不計(jì)。各參數(shù)對一階固有頻率的總效應(yīng)指標(biāo)與主效應(yīng)指標(biāo)非常接近，即各參數(shù)與其他參數(shù)的交互效應(yīng)對一階固有頻率的影響不顯著。其次，對于三階固有頻率,參數(shù)E仍然是最主要的不確定性來源，參數(shù)Jd2，ρs和Gs次之。而參數(shù)m1，m2和Jd1對三階固有頻率不確定性的貢獻(xiàn)接近于零。此外，對于五階固有頻率，有3個顯著的靈敏度參數(shù)：ρs，E和Gs，其中參數(shù)ρs對五階固有頻率的影響最為顯著，而參數(shù)m1，m2和Jd2對五階固有頻率不敏感。最后，從整體的角度來說，無論是一階、三階還是五階固有頻率，參數(shù)E對它們的不確定性的貢獻(xiàn)都是比較明顯的。

(a)一階固有頻率

4.3 對振動響應(yīng)的不確定性量化和參數(shù)敏感性分析

水力發(fā)電機(jī)組作為一種旋轉(zhuǎn)機(jī)械，其振動響應(yīng)也是實(shí)際工程中評價其運(yùn)行狀態(tài)的重要指標(biāo)。因此，本節(jié)將繼續(xù)基于不確定性量化和參數(shù)全局敏感性分析過程研究結(jié)構(gòu)參數(shù)不確定對振動響應(yīng)的影響。各個導(dǎo)軸承和聯(lián)軸器處隨機(jī)振動響應(yīng)的概率分布，如圖7所示?；谧畲箪卦淼母怕拭芏群瘮?shù)表達(dá)式系數(shù)，如表4所示。通過對比可以發(fā)現(xiàn)在暴力Monte-Carlo模擬和最大熵原理下的振動響應(yīng)概率分布是一致的。

表4 振動響應(yīng)的概率密度函數(shù)系數(shù)

根據(jù)圖7中機(jī)組不同位置振動響應(yīng)的隨機(jī)分布可知，無論在什么位置，不確定框架下的振動響應(yīng)均值都非常接近于確定系統(tǒng)的響應(yīng)值。即確定性模型可以有效地描述不確定性框架下振動響應(yīng)的均值信息。同時，在最大概率下，聯(lián)軸器和水導(dǎo)軸承處的振動響應(yīng)值會明顯偏離均值，而在上導(dǎo)軸承和下導(dǎo)軸承處，這一現(xiàn)象并不明顯。其次，考慮95%的置信區(qū)間，可以得到軸系不同位置處隨機(jī)振動響應(yīng)的范圍，分別為[4.562×10-5,7.820×10-5],[2.736×10-5,4.668×10-5],[3.054×10-5, 6.286×10-5]和[3.765×10-5,8.047×10-5]對應(yīng)于上導(dǎo)軸承、下導(dǎo)軸承、耦合器和水導(dǎo)軸承，覆蓋長度分別為3.257×10-5,1.932×10-5,3.231×10-5,4.281×10-5。另外，不同位置處隨機(jī)振動響應(yīng)的方差值分別為6.947 3×10-11,2.448 3×10-11,6.754 5×10-11和1.182 0×10-10。結(jié)合隨機(jī)振動響應(yīng)的覆蓋長度和方差值，可以得到不同位置處的不確定度排序?yàn)椋核畬?dǎo)軸承>上導(dǎo)軸承>聯(lián)軸器>下導(dǎo)軸承。

(a)上導(dǎo)軸承

在完成振動響應(yīng)的不確定性量化分析后，下面將通過全局敏感性分析確定各不確定參數(shù)對振動響應(yīng)不確定性的貢獻(xiàn)。不同位置處振動響應(yīng)的全局靈敏度指標(biāo)，如圖8所示，其中包括主效應(yīng)指數(shù)和總效應(yīng)指數(shù)。對比兩種方法的結(jié)果，基于多項(xiàng)式混沌方法計(jì)算振動響應(yīng)敏感性指標(biāo)的可靠性同樣得到了驗(yàn)證。

根據(jù)圖8中關(guān)于振動響應(yīng)的全局靈敏度分析，可以得到：

(1)對于振動響應(yīng)而言，無論在什么位置，各不確定結(jié)構(gòu)參數(shù)的主效應(yīng)指標(biāo)都非常接近于總效應(yīng)指標(biāo)，即不確定結(jié)構(gòu)參數(shù)對振動響應(yīng)的交互影響不明顯，這與固有頻率的敏感性特性是相似的。

(2)不同位置下不確定參數(shù)的敏感性指標(biāo)存在明顯差異。具體來說，對于上導(dǎo)軸承處的振動響應(yīng)，最敏感的參數(shù)是m1，其次是E和Gs，最小的參數(shù)是ρs，m1，Jd1和Jd2，其中Jd1和Jd2的影響可以忽略不計(jì)。與上導(dǎo)軸承處的敏感性特性相比，參數(shù)m1對下導(dǎo)軸承處振動不確定性的貢獻(xiàn)明顯減小，而參數(shù)E和Gs的影響明顯增大。此外，聯(lián)軸器與水導(dǎo)軸承處振動響應(yīng)的靈敏度指標(biāo)相似，可以排序?yàn)镋>m2>Gs>ρs>其他。

(3)在4.2節(jié)中，得到參數(shù)Jd1和Jd2對固有頻率有明顯的貢獻(xiàn)。但從圖8可以看出，參數(shù)Jd1和Jd2在任何位置對振動響應(yīng)的影響都不顯著或可以忽略。這表明結(jié)構(gòu)參數(shù)對固有頻率(靜態(tài)指標(biāo))的敏感性與對振動響應(yīng)(動態(tài)指標(biāo))的敏感性并不直接相關(guān)。

(a)上導(dǎo)軸承

5 結(jié) 論

本文提出了一種基于廣義多項(xiàng)式混沌方法對水力發(fā)電機(jī)組軸系進(jìn)行不確定性量化和全局敏感性分析的統(tǒng)一框架，并通過與暴力Monte-Carlo模擬結(jié)果的對比分析，驗(yàn)證了其可靠性。以此為基礎(chǔ)，考慮結(jié)構(gòu)參數(shù)的不確定性，對機(jī)組固有頻率和振動響應(yīng)的不確定性和參數(shù)全局敏感性特性進(jìn)行了分析，得到了如下的主要結(jié)論：

(1)得到了結(jié)構(gòu)參數(shù)不確定下機(jī)組軸系固有頻率和振動響應(yīng)概率密度函數(shù)的具體表達(dá)式、均值、方差和置信區(qū)間。

(2)結(jié)構(gòu)參數(shù)不確定性對不同輸出的傳播特性表現(xiàn)出明顯差異。在相同的不確定輸入下，五階固有頻率比一階和三階固有頻率具有更大的不確定性，而不同位置下機(jī)組振動響應(yīng)的不確定度表現(xiàn)為——水導(dǎo)軸承>上導(dǎo)軸承>聯(lián)軸器>下導(dǎo)軸承。

(3)參數(shù)對固有頻率(靜態(tài)指標(biāo))和振動響應(yīng)(動態(tài)指標(biāo))的靈敏度特征不直接相關(guān)。例如，參數(shù)Jd1和Jd2只影響固有頻率，而不影響振動響應(yīng)。同時，各階固有頻率對參數(shù)的靈敏度也沒有直接關(guān)系。

(4)參數(shù)E無論對各階固有頻率還是不同位置下的振動響應(yīng)都保持較強(qiáng)的靈敏度，在實(shí)際工程應(yīng)用中需要重點(diǎn)關(guān)注。

由于考慮了結(jié)構(gòu)參數(shù)的不確定性，上述結(jié)果比基于確定性模型的結(jié)論對機(jī)組的設(shè)計(jì)、優(yōu)化、運(yùn)行和維護(hù)更有指導(dǎo)意義。同時，所提出的不確定性量化和全局敏感性分析框架也可以推廣到水力發(fā)電機(jī)組其他不確定參數(shù)的分析研究當(dāng)中。當(dāng)然，本文主要是針對結(jié)構(gòu)參數(shù)的不確定性展開研究，而沒有考慮其他參數(shù)不確定性的影響，在后續(xù)的工作中可以進(jìn)一步討論其他類型不確定性參數(shù)對機(jī)組響應(yīng)的影響效應(yīng)。