張志增，尹晨旭，劉曉麗，吳順川，張 兵

(1.中原工學(xué)院建筑工程學(xué)院，河南 鄭州 450007； 2.清華大學(xué)水利水電工程系，北京 100084； 3.昆明理工大學(xué)國(guó)土資源工程學(xué)院，云南 昆明 650093； 4.盾構(gòu)及掘進(jìn)技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河南 鄭州 450001)

隨著巖體穩(wěn)定性分析數(shù)值計(jì)算方法越來(lái)越成熟，數(shù)值計(jì)算方面的誤差不超過(guò)5%，影響穩(wěn)定性分析結(jié)果的主要因素是力學(xué)參數(shù)的選取[1]。但是，巖體是經(jīng)過(guò)漫長(zhǎng)的時(shí)間演化出的極其復(fù)雜的地質(zhì)體，不僅有尺寸效應(yīng)，而且具有時(shí)間效應(yīng)，想要獲取準(zhǔn)確的力學(xué)參數(shù)非常困難，參數(shù)獲取不準(zhǔn)已成為巖體力學(xué)理論分析和數(shù)值模擬的瓶頸問(wèn)題[2]。常規(guī)的參數(shù)獲取方法有原位試驗(yàn)法、實(shí)驗(yàn)室試樣試驗(yàn)法和經(jīng)驗(yàn)類比法，但各自具有其局限性[3-5]。大量研究表明，基于現(xiàn)場(chǎng)量測(cè)信息的位移反分析方法為確定巖體力學(xué)參數(shù)提供了一條新的途徑[6-7]，并且在巖體工程的變形預(yù)測(cè)、施工反饋設(shè)計(jì)以及穩(wěn)定性評(píng)價(jià)中發(fā)揮重要作用。從實(shí)現(xiàn)監(jiān)控和預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)的要求來(lái)看，與彈性和彈塑性反分析相比，有時(shí)間效應(yīng)的黏彈性位移反分析具有更大的使用價(jià)值和應(yīng)用前景[8-9]。

反分析的唯一性是位移反分析中最重要的理論問(wèn)題之一，但至今國(guó)外學(xué)者尚未有相關(guān)論文發(fā)表，國(guó)內(nèi)的相關(guān)論文也較少。呂愛(ài)鐘等[10-11]推導(dǎo)了參數(shù)可辨識(shí)性條件，論證了地下洞室彈性位移反分析的多種唯一性問(wèn)題，并指出某些問(wèn)題無(wú)論安裝多少個(gè)位移測(cè)點(diǎn)其反分析的結(jié)果都不是唯一的；張路青等[12]進(jìn)一步研究考慮剪應(yīng)力時(shí)彈性位移反分析的唯一性問(wèn)題；YANG等[13]則利用幾何作圖法證明了圖譜反分析的唯一性；張志增等[14-17]分析了橫觀各向同性巖體中圓形、橢圓形和復(fù)雜形狀巷道位移反分析的唯一性。但以上文獻(xiàn)均假設(shè)巖體為彈性的，沒(méi)有考慮巖體的流變特性，尚未有文獻(xiàn)對(duì)黏彈性巖體位移反分析的唯一性進(jìn)行研究。因此，本文基于研究對(duì)黏彈性巖體中圓形巷道位移反分析的唯一性進(jìn)行研究。

1 圓形巷道黏彈性解析解

圖1 圓形巷道計(jì)算模型Fig.1 Calculation model of circular roadway

反分析唯一性研究的前提是位移解析解，因此首先要得到圓形巷道黏彈性位移解析解。若在彈性巖體中開(kāi)挖水平圓形巷道，圍巖的邊界條件如圖1所示，其徑向位移[18]應(yīng)滿足式(1)。

ur=

(1)

式中：E為彈性模量；σ為豎直方向地應(yīng)力；λ為側(cè)壓力系數(shù)；a為開(kāi)挖巷道半徑；μ為泊松比。

將其轉(zhuǎn)換為K-G型參數(shù)式，可得式(2)。

(2)

Maxwell模型的本構(gòu)方程見(jiàn)式(3)。

(3)

式中，η為黏滯系數(shù)。

黏彈性巖體本構(gòu)方程的微分形式見(jiàn)式(4)。

f(D)σ=g(D)ε

(4)

對(duì)比Maxwell模型本構(gòu)方程可得式(5)。

(5)

式中，τr=η/E。

對(duì)式(5)進(jìn)行拉氏變換可得式(6)。

(6)

由蠕變?nèi)崃抗胶蛷V義蠕變?nèi)崃抗絒19]可得式(7)和式(8)。

(7)

J2(t)=

(8)

相對(duì)于式(2)，對(duì)應(yīng)黏彈性解為式(9)。

ur(t)=ArJ1(t)+BrJ2(t)

(9)

將Ar和Br代入式(9)可得式(10)。

(10)

若令t=0,則式(10)可退化為圓形巷道瞬時(shí)彈性位移解析解，與楊志法等[20]移解析解一致，這證明了本文黏彈性位移解析解推導(dǎo)的正確性。

式(10)中給出了黏彈性巖體的徑向位移和σ、λ、E、η、μ這5個(gè)參數(shù)的關(guān)系，根據(jù)此關(guān)系利用參數(shù)可辨識(shí)條件進(jìn)行位移反分析唯一性的探討。

2 位移可辨識(shí)條件

呂愛(ài)鐘[10]推導(dǎo)了位移反分析唯一性的參數(shù)可辨識(shí)條件：設(shè)fi為第i個(gè)位移輸出值，βj為第j個(gè)要進(jìn)行唯一性辨識(shí)的參數(shù)，則將fi關(guān)于βj的一階導(dǎo)函數(shù)?fi/?βj定義為βj的靈敏系數(shù)。如果在測(cè)量范圍內(nèi)，所有待求參數(shù)的靈敏系數(shù)線性無(wú)關(guān)，則根據(jù)量測(cè)值可以同時(shí)唯一地辨識(shí)出所有待求參數(shù)；反之，如果待求參數(shù)的靈敏系數(shù)線性相關(guān)，則不能同時(shí)唯一地辨識(shí)出所有待求參數(shù)。

可根據(jù)式(11)進(jìn)行判斷參數(shù)的靈敏系數(shù)線性相關(guān)或線性無(wú)關(guān)。

(i=0,1,2,…,n)

(11)

式中：β1,β2,…,βm為要進(jìn)行反分析的m個(gè)參數(shù)；n為測(cè)量點(diǎn)的數(shù)量，n≥m。

靈敏系數(shù)線性相關(guān)是指對(duì)于i=0,1,2,…,n,至少存在一個(gè)不等于0的Cj(j=0,1,2,…,m)使得式(11)成立。靈敏系數(shù)線性無(wú)關(guān)是指對(duì)于i=0,1,2,…,n,只有當(dāng)Cj(j=0,1,2,…,m)都等于0時(shí)式(11)才成立。

3 位移反分析的唯一性

由式(10)可得到各參數(shù)的靈敏系數(shù)見(jiàn)式(12)～式(16)。

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

將各個(gè)靈敏系數(shù)代入?yún)?shù)可辨識(shí)條件，見(jiàn)式(17)。

(17)

整理得到式(18)。

(18)

若不考慮圓形巷道周?chē)鷾y(cè)量點(diǎn)布置的影響，即測(cè)量點(diǎn)的位置可以隨意布置，式(18)中的r和θ為變量，則根據(jù)式(18)可以得到關(guān)于C1～C5的方程組，見(jiàn)式(19)。

(19)

方程組式(19)的系數(shù)矩陣見(jiàn)式(20)。

由矩陣式(20)可知，方程組的系數(shù)矩陣的秩R=3，即方程組最多可以求解出3個(gè)未知數(shù)，而方程組有5個(gè)未知數(shù)，根據(jù)參數(shù)可辨識(shí)條件，至少已知2個(gè)參數(shù)，才有可能唯一地反分析出其他參數(shù)。

為了更清晰地分析結(jié)果，對(duì)唯一性進(jìn)行區(qū)分：條件唯一，絕對(duì)唯一和不唯一。條件唯一是指參數(shù)之間滿足某個(gè)條件時(shí)，反分析才唯一；絕對(duì)唯一是指無(wú)論參數(shù)之間有何關(guān)系，反分析都唯一；不唯一是指無(wú)論參數(shù)之間有何關(guān)系，反分析都不唯一。

3.1 已知2個(gè)參數(shù)，反演另外3個(gè)參數(shù)

已知2個(gè)參數(shù),反演另外3個(gè)參數(shù)時(shí)，有3個(gè)方程和3個(gè)未知數(shù)，通過(guò)示例說(shuō)明分析過(guò)程。

1) 示例1：已知σ和λ這2個(gè)參數(shù)，反演E、η和μ這3個(gè)參數(shù)，此時(shí)?ur/?σ和?ur/?λ等于0，方程組式(19)中含有C1和C2的項(xiàng)為0，矩陣中剩下C3、C4和C5對(duì)應(yīng)的3列見(jiàn)式(21)。

當(dāng)系數(shù)矩陣的秩R<3時(shí)，方程組式(19)有非0解，待求參數(shù)的靈敏系數(shù)線性相關(guān)，反分析不唯一；當(dāng)系數(shù)矩陣的秩R=3時(shí)，方程組式(19)只有0解，待求參數(shù)的靈敏系數(shù)線性無(wú)關(guān)，反分析唯一。對(duì)于矩陣(21)，其秩R=2，因此示例1反分析不唯一。

2) 示例2：已知η和E這2個(gè)參數(shù)，反演λ、σ和μ這3個(gè)參數(shù)，此時(shí)?ur/?η和?ur/?E等于0，方程組式中含有C3和C4的項(xiàng)為0，矩陣中剩下C1、C2和C5對(duì)應(yīng)的3列見(jiàn)式(22)。

(22)

對(duì)于矩陣式(22)，其秩為R=3，因此示例2反分析絕對(duì)唯一。

3) 示例3：已知σ和E這2個(gè)參數(shù)，反演λ、η和μ這3個(gè)參數(shù)，此時(shí)?ur/?σ和?ur/?E等于0，方程組式中含有C1和C3的項(xiàng)為0，矩陣中剩下C2、C4和C5對(duì)應(yīng)的3列見(jiàn)式(23)。

(23)

對(duì)于矩陣式(23)，當(dāng)σ=0時(shí)，求得其秩為R=0，反分析不唯一，當(dāng)σ≠0時(shí)，其秩R=3，反分析唯一,因此示例3反分析條件唯一。

由表1和表2可知：①在表1中所列的10種情況中，反分析不唯一的情況有4種，條件唯一的情況有3種，絕對(duì)唯一的情況有3種；②參數(shù)σ是否為0對(duì)反分析的唯一性影響明顯，當(dāng)σ作為已知參數(shù)且為0時(shí)，反分析不唯一，σ≠0時(shí)反分析唯一；③表2反映了各個(gè)參數(shù)的可辨識(shí)性順序，其中參數(shù)λ的可辨識(shí)性最好，σ次之，μ、η和E最差。

表1 已知2個(gè)參數(shù)時(shí)的反分析唯一性Table 1 Back analysis of uniqueness for the case of 2 known parameters

續(xù)表1

表2 已知2個(gè)參數(shù)時(shí)的反分析結(jié)果統(tǒng)計(jì)Table 2 Statistics of back analysis results for the case of 2 known parameters

3.2 已知3個(gè)參數(shù)，反演另外2個(gè)參數(shù)

已知3個(gè)參數(shù)，反演另外2個(gè)參數(shù)時(shí)，有2個(gè)未知數(shù)和3個(gè)方程，通過(guò)示例說(shuō)明分析過(guò)程。

1) 示例4：已知σ、λ和E這3個(gè)參數(shù)，反演η和μ這2個(gè)參數(shù)，此時(shí)?ur/?σ、?ur/?λ和?ur/?E等于0，方程中式(19)含有C1、C2和C3的項(xiàng)為0，矩陣剩下C4和C5對(duì)應(yīng)的2列見(jiàn)式(24)。

當(dāng)系數(shù)矩陣的秩R<2時(shí)，方程組式(19)有非0解，待求參數(shù)的靈敏系數(shù)線性相關(guān)，反分析不唯一；當(dāng)系數(shù)矩陣的秩R=2時(shí)，方程組式(19)只有0解，待求參數(shù)的靈敏系數(shù)線性無(wú)關(guān)，反分析唯一。對(duì)于矩陣式(24)，當(dāng)側(cè)壓力系數(shù)λ≠1且地應(yīng)力σ≠0時(shí)，矩陣的秩為R=2，反分析唯一；當(dāng)λ=1時(shí)，矩陣的秩R=1，反分析不唯一；σ=0時(shí)，矩陣的秩R=0，反分析不唯一,因此，示例4條件唯一。

(24)

2) 示例5：已知E、η和μ這3個(gè)參數(shù)，反演σ和λ這2個(gè)參數(shù)，此時(shí)?ur/?E、?ur/?η和?ur/?μ等于0，方程組式(19)含有C3、C4和C5的項(xiàng)為0，矩陣剩下C1和C2對(duì)應(yīng)的2列見(jiàn)式(25)。

(25)

對(duì)于矩陣式(25)，其秩為R=2,因此，示例5反分析絕對(duì)唯一。

由表3和表4可知：①在表3中所列的10種情況中，反分析絕對(duì)唯一的情況有1種，條件唯一的情況有9種，沒(méi)有不唯一的情況；②參數(shù)λ是否為1和參數(shù)σ是否為0對(duì)反分析的唯一性影響明顯，當(dāng)λ作為已知參數(shù)且為1時(shí)，反分析不唯一，λ≠1時(shí)反分析唯一，當(dāng)σ作為已知參數(shù)且為0時(shí)，反分析不唯一，σ≠0時(shí)反分析唯一；③表4反映了各個(gè)參數(shù)的可辨識(shí)性順序，其中參數(shù)σ和λ的可辨識(shí)性最好，參數(shù)E、η和μ可辨識(shí)性次之。

表3 已知3個(gè)參數(shù)時(shí)的反分析唯一性Table 3 Back analysis of uniqueness for the case of 3 known parameters

表4 已知3個(gè)參數(shù)時(shí)的反分析結(jié)果統(tǒng)計(jì)Table 4 Statistics of back analysis results for the case of 3 known parameters

3.3 已知4個(gè)參數(shù)，反演另外1個(gè)參數(shù)

已知4個(gè)參數(shù)，反演另外1個(gè)參數(shù)時(shí)，有1個(gè)未知數(shù)和3個(gè)方程，通過(guò)示例說(shuō)明分析過(guò)程。

1) 示例6：假設(shè)已知σ、λ、E和η這4個(gè)參數(shù)，反演μ這1個(gè)參數(shù)，此時(shí)，?ur/?σ、?ur/?λ、?ur/?E和?ur/?η等于0，方程組式(19)中含有C1、C2、C3和C4的項(xiàng)為0，矩陣式(20)中只剩下C5對(duì)應(yīng)的1列見(jiàn)式(26)。

當(dāng)系數(shù)矩陣的秩R<1時(shí)，方程組式有非0解，待求參數(shù)的靈敏系數(shù)線性相關(guān)，反分析不唯一；當(dāng)系數(shù)矩陣的秩R=1時(shí)，方程組式只有0解，待求參數(shù)的靈敏系數(shù)線性無(wú)關(guān)，反分析唯一。對(duì)于矩陣式(26)，當(dāng)σ=0時(shí)，其秩為R=0，反分析不唯一，當(dāng)λ=1時(shí)，其秩為R=0，當(dāng)σ≠0且λ≠1時(shí)，其秩R=1，反分析唯一，因此示例6反分析條件唯一。

2) 示例7：假設(shè)已知λ、E、η和μ這4個(gè)參數(shù)，反演σ這1個(gè)參數(shù)，此時(shí)?ur/?λ、?ur/?E、?ur/?η和?ur/?μ等于0，方程組式中含有C2、C3、C4和C5的項(xiàng)為0，矩陣中只剩下C1對(duì)應(yīng)的1列見(jiàn)式(27)。

(27)

對(duì)于矩陣式(27)，其秩R=1，因此示例7反分析絕對(duì)唯一。

由表5和表6可知：①在表5中所列的5種情況中，絕對(duì)唯一的情況有1種，條件唯一的情況有4種，沒(méi)有不唯一的情況；②參數(shù)λ是否為1和參數(shù)σ是否為0對(duì)反分析的唯一性影響明顯，當(dāng)λ作為已知參數(shù)且為1時(shí)，反分析不唯一，λ≠1時(shí)反分析唯一，當(dāng)σ作為已知參數(shù)且為0時(shí)，反分析不唯一，σ≠0時(shí)反分析唯一；③參數(shù)σ可辨識(shí)性最好，λ、E、η和μ次之。

表5 已知4個(gè)參數(shù)時(shí)的反分析唯一性Table 5 Back analysis of uniqueness for the case of 4 known parameters

表6 已知4個(gè)參數(shù)時(shí)的反分析結(jié)果統(tǒng)計(jì)Table 6 Statistics of back analysis results for the case of 4 known parameters

4 工程實(shí)例

已知一個(gè)開(kāi)挖均質(zhì)巖體的圓形巷道，假定巖體力學(xué)性質(zhì)可用Maxwell模型表示，已知參數(shù)為η=1017p，a=2 m，r=2 m，σ=20 MPa，E=900 MPa，λ=6，μ=0.3。已知3個(gè)測(cè)點(diǎn)C1(2,0°)、C2(2,60°)、C3(2,90°)的位置如圖2所示。在不同時(shí)刻，不同測(cè)點(diǎn)的位移實(shí)測(cè)值見(jiàn)表7。

圖2 圓形巷道的測(cè)點(diǎn)布置Fig.2 Measuring point arrangement of circular roadway

1) 實(shí)例1：根據(jù)位移實(shí)測(cè)值反演E，并與實(shí)際值作比較。由表5可知，已知σ、λ、η、μ這4個(gè)參數(shù)且σ≠0、λ≠1時(shí)可以唯一地反分析出參數(shù)E。把已知參數(shù)和t=6 h時(shí)的位移實(shí)測(cè)值代入到式(10)，結(jié)果見(jiàn)表8。由表8可知，反演出的E與已知參數(shù)誤差在0.05%以內(nèi)。

表7 各測(cè)點(diǎn)在不同時(shí)刻的位移實(shí)測(cè)值Table 7 Measured displacement values of each measuring point at different times

表8 巖體參數(shù)E的反演結(jié)果Table 8 Results of displacement back analysis for parameter E

2) 實(shí)例2：根據(jù)位移實(shí)測(cè)值反演參數(shù)E、σ、η，并與實(shí)際值作比較。由表1可知，已知λ、μ不能唯一地反分析出參數(shù)E、σ、η。把位移實(shí)測(cè)值和已知參數(shù)代入式(10)，得到式(28)。式(28)無(wú)解或有多解，說(shuō)明不能唯一地反分析出參數(shù)，與表1結(jié)果一致。由此可知反演結(jié)果能夠比較準(zhǔn)確地反映巖體的實(shí)際參數(shù)，可以用來(lái)指導(dǎo)工程設(shè)計(jì)和計(jì)算。

(28)

5 結(jié) 論

1) 無(wú)論布置多少測(cè)點(diǎn)都不能唯一地反分析出所有的5個(gè)參數(shù)，必須在已知2個(gè)參數(shù)的前提下，才有可能唯一地反分析出其他的參數(shù)，并分3種類別分別討論了反分析的唯一性。

2) 已知2個(gè)參數(shù)時(shí)，地應(yīng)力σ是否為0對(duì)反分析唯一性影響明顯；當(dāng)σ為已知參數(shù)且為0時(shí)，反分析不唯一，側(cè)壓力系數(shù)λ是否為1對(duì)反分析唯一性沒(méi)有影響。當(dāng)已知參數(shù)為3個(gè)及以上時(shí)，側(cè)壓力系數(shù)λ是否為1和地應(yīng)力σ是否為0對(duì)反分析唯一性影響明顯；當(dāng)λ和σ為已知參數(shù)且λ為1或σ為0時(shí)，反分析不唯一。

3) 隨著已知參數(shù)的增多，參數(shù)的可辨識(shí)性增強(qiáng)；總體來(lái)看，地應(yīng)力σ和側(cè)壓力系數(shù)λ的可辨識(shí)性最好，E、μ和η次之。