冀占江

(梧州學院大數(shù)據(jù)與軟件工程學院/廣西高校圖像處理與智能信息系統(tǒng)重點實驗室/廣西高校行業(yè)軟件技術(shù)重點實驗室， 梧州 543002)

跟蹤性是拓撲動力系統(tǒng)中非常重要的定義，不僅在計算數(shù)學和生物數(shù)學方面有著廣泛的應(yīng)用前景，而且已經(jīng)成為計算機學科某個領(lǐng)域中的一種重要技術(shù)工具。

另外，強鏈回歸點集是拓撲動力系統(tǒng)研究的重要內(nèi)容[11-14]。如：文獻[11]證明了強鏈回歸點集是閉集，文獻[12]證明了強鏈回歸點集對同胚映射f是強不變的。但是，文獻[11-12]只是在度量空間中研究了強鏈回歸點集的動力學性質(zhì)和拓撲結(jié)構(gòu)，并未涉及拓撲群作用下的度量空間中強鏈回點集的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)?；诖?，本文在拓撲群作用下的度量空間中研究G-強鏈回點集的動力學性質(zhì)，得到了G-強鏈回點集的若干結(jié)論。

1 預(yù)備知識

定義1[15]設(shè)(X,d)是度量空間，G是拓撲群，稱(X,d)是度量G-空間，如果映射φ:G×X→X滿足

(1)?xX，有φ(e,x)=x，其中e為G的單位元；

(2)?g1,g2G和?xX，有φ(g1,φ(g2,x))=φ(g1g2,x)。

為了書寫方便，通常將φ(g,x)簡寫為gx。若(X,d)是緊致度量空間，則稱(X,d)是緊致度量G-空間。

定義2[15]設(shè)(X,d)是度量G-空間，f:X→X連續(xù)，稱f是偽等價映射，如果?gG，?xX，?hG，使得f(gx)=hf(x)成立。

定義3[16]設(shè)(X,d)是度量G-空間，若?x,yX，?gG，有d(gx,gy)=d(x,y)，則稱度量d對拓撲群G不變。

定義5[6]設(shè)(X,d)是度量G-空間，f:X→X連續(xù)，稱x是f的G-強鏈回歸點，如果對任意的ε>0，存在f作用下從x到x的強(G,ε)-鏈。f的G-強鏈回歸點集記為SCRG(f)。

引理1[16]設(shè)(X,d)是緊致度量G-空間，G是緊致的拓撲群，則?η>0，?0<η0<η，當d(u,v)<η0時，?sG，有d(su,sv)<η。

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)(X,d)是緊致度量G-空間，G是緊致的拓撲群，f:X→X連續(xù)，則SCRG(f)是閉集。

證明設(shè)zSCRG(f)，則存在ε0>0滿足以下條件：不存在z到z的強(G,ε0)-鏈。由引理1，可得：?0<δ1<ε0/6，當d(u,v)<δ1時，?gG，有

(1)

結(jié)合f:X→X一致連續(xù)可以得到，對δ1>0，?0<δ2<δ1，當d(u,v)<δ2時，有

d(f(u),f(v))<δ1。

(2)

特別地，

由xB(z,δ2)和式(1)、(2)，可得：

則

從而有

所以，{z,x1,x2,…,xm-1,z}是強(G,ε0)-鏈，這與前面的不存在z到z的強(G,ε0)-鏈矛盾，故不存在x到x的強(G,ε0/6)-鏈，則有

xSCRG(f)，B(z,δ2)∩SCRG(f)=?，z

定理2設(shè)(X,d)是緊致度量G-空間，G是緊致的拓撲群，f:X→X同胚偽等價，則

f(SCRG(f))=SCRG(f)。

證明設(shè)zSCRG(f)，由引理1可得：?ε>0，?0<δ1<ε/9，當d(u,v)<δ1時，?gG，有

(3)

結(jié)合f:X→X一致連續(xù)，可得：?0<δ2<δ1，當d(u,v)<δ2時，有

d(f(u),f(v))<δ1。

(4)

故

d(g0f(z),z1)<δ2，d(g1f(z1),z2)<δ2。

由f偽等價和式(4)知，?t0G，使得

d(t0f2(z),f(z1))<δ1,

再結(jié)合式(3)，可得

則

d(g1t0f2(z),z2)

故

因此，{f(z),z2,z3,…,zn-1,z,f(z)}是f作用下的強(G,ε)-鏈，從而有f(z)SCRG(f)，f(SCRG(f))?SCRG(f)。

設(shè)xSCRG(f)，由引理1有：?0<δ3<ε/4，當d(u,v)<δ3時，?gG，有

(5)

因為f-1一致連續(xù)，所以對δ3>0，?0<δ4<δ3，當d(u,v)<δ4時，有

d(f-1(u),f-1(v))<δ3。

(6)

特別地，

d(lp-1f(xp-1),x)<δ4，d(lp-2f(xp-2),xp-1)<δ4。

由f偽等價和式(6),可得:?l′p-1G，使得

由式(5)有

則

故

因此，{f-1(x),x,x1,…,xp-2,f-1(x)}是f作用下的強(G,ε)-鏈，從而有f-1(x)SCRG(f)，SCRG(f)?f(SCRG(f))。證畢。

定理3設(shè)(X,d)是緊致度量G-空間，f:X→X同胚偽等價且度量d對G不變，則

高層次人才引進依賴于完善的人才政策法規(guī)和成熟的人才引進機制。目前，河北省現(xiàn)有政策并沒有體現(xiàn)出更多的優(yōu)越性，相比其他省市較為落后，沒有對人才形成強大的吸引力。人才引進渠道較為單一，人才引進需求信息沒有得到廣泛、全面、有效的傳播，限制了河北省人才引進的成效性。政府引進人才的政策信息公開程度不高，政策公布渠道不夠完善，公布時間相對滯后，使很多區(qū)域外人才難以獲取相關(guān)信息，影響人才集聚。

SCRG(f)=SCRG(f-1)。

證明設(shè)zSCRG(f)。由f-1的一致連續(xù)性,可得：?ε>0，?0<δ1<ε/3，當d(u,v)<δ1時，有

(7)

(8)

則有

d(gm-1f(zm-1),z)<δ1,d(gm-2f(zm-2),zm-1)<δ1。

由式(7)和f偽等價,可得：?tm-1G，使得

由度量d對G不變,可得：

d(tm-1gm-2f(zm-2),tm-1zm-1)=d(gm-2f(zm-2),zm-1)<δ1。

由三角不等式可得

d(f-1(z),tm-1gm-2f(zm-2))

由度量d對G不變，有

d((tm-1gm-2)-1f-1(z),f(zm-2))=

由式(8)，有

由度量d對G不變,有

則有

d((tm-1gm-2)-1f-1(z),f(zm-2))+

故{z,f(zm-2),f(zm-3),…,f(z2),f(z1),f(z0),z}是f-1作用下的強(G,ε)-鏈，因此zSCRG(f-1)，故SCRG(f)?SCRG(f-1)。

設(shè)ySCRG(f-1)。由于f一致連續(xù)，故對?η>0，?0<δ2<η/4，當d(u,v)<δ2時，有

(9)

(10)

則有

d(pn-1f-1(yn-1),y)<δ2，d(pn-2f-1(yn-2),yn-1)<δ2。

由式(9)和f偽等價,有：?ln-1G，使得

由度量d對G不變，有

d(ln-1pn-2f-1(yn-2),ln-1yn-1)=

d(pn-2f-1(yn-2),yn-1)<δ2，

由三角不等式，可得

d(f(y),ln-1pn-2f-1(yn-2))

再由度量d對G不變，有

d((ln-1pn-2)-1f(y),f-1(yn-2))=

由式(10)可得

再由度量d對G不變,可得

故

d((ln-1pn-2)-1f(y),f-1(yn-2))+

則{y,f-1(yn-2),…,f-1(y2),f-1(y1),f-1(y),y}是f作用下的強(G,η)-鏈，故ySCRG(f)，因此SCRG(f-1)?SCRG(f)。證畢。

3 總結(jié)

本文引入G-強鏈回歸點集的概念，在度量G-空間中研究G-強鏈回歸點集的動力學特征。主要結(jié)論如下：(1)SCRG(f)是閉集且對同胚映射f強不變；(2)SCRG(f)=SCRG(f-1)。所得的結(jié)論推廣文獻[6-7]中強鏈回歸點集的結(jié)果，為其在實際中的應(yīng)用提供了理論依據(jù)。