孟良，許同樂，馬金英，蔡道勇

摘要：在軸承的故障診斷中，為了解決核函數(shù)在最小二乘支持向量機中參數(shù)選擇困難及稀疏性差的問題，提出了局部均值分解（LMD）形態(tài)濾波的最小二乘支持向量機（LSSVM）方法。該方法首先利用LMD對信號進行分解得到PF分量，并對信號做相關分析去除虛假分量，形態(tài)濾波降噪后再進行LMD分解得到新PF分量，提取能量特征;其次，對LSSVM的核函數(shù)進行改進，解決核參數(shù)選擇的問題;應用特征加權(quán)法對拉格朗日參數(shù)進行特征加權(quán)，取其加權(quán)平均值作為剪枝方法的閾值，降低稀疏性;最后將能量特征信號輸入LSSVM中，對信息進行訓練預測。實驗表明，應用該方法能快速有效地對軸承故障信號進行自適應的分類及軸承故障的判斷。

關鍵詞：局部均值分解; 形態(tài)濾波; 剪枝方法; 最小二乘支持向量機; 故障診斷

DOI：10.15938/j.jhust.2022.01.012

中圖分類號： TH707? ? ? ?文獻標志碼： A? ? ? ? ?文章編號： 1007-2683（2022）01-0092-08

There Search of LSSVM Based on LMD Morphology Filter

MENG Liang1，XU Tongle1，MA Jinying2，CAI Daoyong3

（1.School Mechanical Engineering， Shandong University of Technology， Zibo 255049， China;

2.School of Agriculture Engineering and Food Science， Shandong University of Technology， Zibo 255049， China;

3.Shandong Keda M&E Technology Co.，Ltd.， Jining 272000， China）

Abstract：In the diagnosis of bearing， the LSSVM method research with LMD morphological filtering was put out in order to solve the problem about the kernel function parameter selection and the bad sparsity of least squares vector machine （LSSVM）. First， the LMD was used to decompose the measured signal and PF components were obtained. The correlation analysis was carried out to remove the false components， and the noise of PF components was reduced by morphological filtering. The LMD decomposed the recombinational signal and obtained new PF components， and energy characteristics were got from the new PF component. Secondly， the kernel function of LSSVM is improved to solve the problem of kernel parameter selection. Lagrange parameters were weighted by feature weighting method， and their weighted average value was taken as the threshold of pruning method to reduce the sparsity. Finally， energy characteristics were put into LSSVM to train and predict. Experiments showed that this new method could fulfil adaptive classification of bearing fault signals and definite fault conclusion quickly and effectively.

Keywords：local mean decomposition; morphological filtering; pruning method; least squares support vector machine; fault diagnosis

0前言

Suykens等[1]于1999年提出了最小二乘支持向量機（least squares support vector machine， LSSVM）方法。將最小二乘線性系統(tǒng)引入到傳統(tǒng)支持向量機（support vector machine， SVM）中得到LSSVM方法，傳統(tǒng)SVM中的約束條件為不等式約束，LSSVM方法中則轉(zhuǎn)換成等式約束條件，其訓練過程就變成了對線性方程組的求解，提高了傳統(tǒng)SVM的求解效率，降低了學習難度，性能在很大程度上得到改進[2-3]。但是，LSSVM喪失SVM稀疏性的同時仍存在核參數(shù)選擇困難問題，成為制約LSSVM應用的障礙[4-5]。

針對LSSVM出現(xiàn)的上述問題，本文提出了基于局部均值分解（local mean decomposition， LMD）形態(tài)濾波的LSSVM方法，并應用于軸承的故障診斷中。該方法為了得到PF分量首先應用LMD算法[6]對故障信號進行自適應的分解，使用形態(tài)濾波[7]對乘積函數(shù)（product function， PF）分量進行降噪，去除虛假分量使用相關分析方法，之后重組信號，對重組后的故障信號再次利用LMD進行分解[8-9]，提取能量特征，并進行歸一化處理;其次，為了解決LSSVM存在的核參數(shù)選擇困難以及稀疏性差的問題，采用適應數(shù)據(jù)特點的核函數(shù)與自適應的剪枝閾值的方法;最后，在改進的最小二乘支持向量機中輸入歸一化處理后的能量特征，對信號特征進行訓練、預測，從而對故障信息進行判斷。

1LMD形態(tài)濾波以及特征提取

LMD方法[10-13]是一種自適應信號分解方法，把故障信號分解得到若干個瞬時幅值的乘積函數(shù)PF分量和一個殘余分量r（t），即

x（t）=∑ni=1PFi+r（t）（1）

LMD分解可完整地保留原始信號信息，將信號的時頻分布體現(xiàn)在所有的PF分量的瞬時幅值與瞬時頻率中。形態(tài)濾波通過開運算和閉運算實現(xiàn)對故障信號的濾波降噪[14-15]。

本文故障信號降噪采用組合濾波器的方式。LMD形態(tài)濾波信號處理及特征提取步驟如下：

步驟1：分析測量物體的結(jié)構(gòu)特征;

步驟2：對測量的信號x（t）進行LMD分解，得到i個單分量調(diào)幅調(diào)頻PF1i分量，通過相關分析，去除虛假分量，得到PF2i分量;

步驟3：對PF2i分量采用組合濾波的方式進行降噪處理，采用正弦型結(jié)構(gòu)元素，得到PF3i分量;

步驟4：對得到的PF3i進行信號重構(gòu)得到信號x′（t），對x′（t）再次LMD分解，得到分量PF4i;

步驟5：根據(jù)步驟1的結(jié)構(gòu)分析，對PF4i進行分類：PF′4i含有主要信息的高頻分量，PF″4i含次要信息的低頻分量。提取PF′4i的能量特征為E，并對其進行歸一化處理，如式（3），并將E′作為輸入LSSVM的特征向量。

E=[e1，e2，…，em]（2）

E′=E∑mi=1ei=[e′1，e′2，…，e′m]（3）

本文采用的故障信號處理過程為：LMD分解—相關分析—形態(tài)濾波降噪—信號重組—LMD再分解。因為噪聲會對LMD分解的效果產(chǎn)生影響，所以該方法有效提高了故障信號的降噪效果以及特征提取的準確度。為了減少輸入LSSVM中的向量維度，步驟5中的信號特征提取方法從源頭上進行了改進，保證數(shù)據(jù)輸入時的可信度。

2最小二乘支持向量機

LSSVM在目標函數(shù)中，將松弛變量用誤差平方和來代替，進而轉(zhuǎn)化成求解線性方程組的問題，能夠解析參數(shù)[16-17]，提高了求解效率。但是在改進SVM時，會降低LSSVM的稀疏性，輸入信號維度過于龐大，且存在SVM在參數(shù)以及核函數(shù)選擇上的受限問題。

2.1最小二乘支持向量機

對于LSSVM可采用下式描述未知函數(shù)：

yi=ωTφ（xi）+b+ξi（4）

其中：yi為目標值;ω為權(quán)矢量;φ（·）為核函數(shù);xi為輸入量;ξi為誤差變量;b偏差量。核函數(shù)能將輸入的特征信號映射到高維特征空間中。

LSSVM函數(shù)優(yōu)化問題的描述如下：

minJ（ω，ξi）=12||ω||2+12γ∑li=1ξ2i（5）

其中：J為結(jié)構(gòu)風險最小化函數(shù);γ為可調(diào)參數(shù);l為輸入量個數(shù)。樣本錯分的懲罰力度用可調(diào)參數(shù)γ表示，其值大小與錯分樣本的懲罰力度成正比。當核函數(shù)參數(shù)一定，γ增大到一定程度時，LSSVM的分類效果則逐漸趨于穩(wěn)定，實現(xiàn)特征空間的線性可分。

最優(yōu)解可以通過對偶形式得出，根據(jù)對偶形式引入拉格朗日函數(shù)，如下式：

L=12||ω||2+12γ∑li=1ξ2i-∑li=1αi（ωTφ（xi）+b+ξi-yi）（6）

式中：αi為拉格朗日乘子。進一步得式（7），如下：

Lω=ω-∑li=1αiφ（xi）=0

Lb=∑li=1αi=0

Lξi=αi-γξi=0

Lα=yi-（ωTφ（xi）+b+ξi）=0（7）

分別消去ω和ξ，得到求解結(jié)果，并根據(jù)Mercer定理進一步處理，可使用核函數(shù)K（x，xi），則LSSVM的回歸函數(shù)為：

f（x）=∑li=1αiK（x，xi）+b（8）

式（8）中的αi、b可由式（7）求出，核函數(shù)為滿足Mercer條件的任意半正定函數(shù)。

2.2核函數(shù)及核參數(shù)的選擇

核函數(shù)的作用是將數(shù)據(jù)映射到高維空間，增加線性學習器的計算能力，克服維數(shù)災難。本文將4種軸承故障信號特征向量按能量大小進行排序，如圖1，以此選擇LSSVM的核函數(shù)。

由圖1可得，4種故障信號的特征向量能量分布無規(guī)則，且是非線性的。從能量分布的總體走勢上來看，表現(xiàn)為第一區(qū)間是反比例函數(shù)。根據(jù)該特點，提出了一種平移不變的核函數(shù)，如式（9）所示：

K（x，y）=ke||x-y||2/z+1（9）

式中：k（k>0）為待分類的數(shù)據(jù)種類數(shù)。z可由式（10）表示：

z=∑||x-y||/n（10）

其中n為該類特征向量個數(shù)。

核函數(shù)中的參數(shù)均由數(shù)據(jù)種類以及特征向量的能量決定，解決了核函數(shù)參數(shù)確定困難的問題。式（9）所采用的反比例函數(shù)結(jié)構(gòu)的核函數(shù)，滿足平移不變核函數(shù)判定定理，證明如下：

F[K（w）]=（2π）-n/2∫Rne-jω·xK（x）dx=

（2π）-n/2∫Rne-jω·x·ke||x||2/z+1dx≥0（11）

2.3加權(quán)LSSVM算法

針對LSSVM稀疏性降低的問題，本文采用剪枝的方法[18-19]。在剪枝方法中，其閾值設置影響剪枝效果[20]，為此提出了一種自適應閾值的方法，來代替主觀的閾值設定。其方法如下：

1）計算ai的權(quán)值Pi=|ai|∑|ai|;

2）求解ai的加權(quán)算術(shù)平均值η=∑Ni=1Pi|ai|N，并將η作為剪枝方法的閾值。

3基于LMD形態(tài)濾波的LSSVM方法

將LMD算法與形態(tài)濾波相結(jié)合，使故障信號預處理與特征提取一步完成，并將該方法與改進的LSSVM算法結(jié)合，提出LMD形態(tài)濾波LSSVM方法，該方法結(jié)構(gòu)緊湊、計算簡單。

如圖2為LMD形態(tài)濾波LSSVM的總體流程圖。所提方法的包含3個步驟：

步驟1：將原始故障信號進行LMD分解，對分解的PF分量進行形態(tài)濾波降噪，降噪后將PF分量進行重組得到重組故障信號;

步驟2：將重組信號作為新LSSVM的輸入，根據(jù)重組故障信號的特征向量能量分布，提出了一種平移不變的核函數(shù)，解決了核函數(shù)參數(shù)確定困難的問題，通過比較拉格朗日乘子及其加權(quán)算術(shù)平均值，判斷新LSSVM的分類效果;

步驟3：當η≤|ai|時，去掉小于η的|ai|及相關特征向量，其余保留;當η≥|ai|時，將|ai|帶入式（9）中，并輸出故障分類結(jié)果。

4實驗研究

采用美國西儲大學的驅(qū)動端軸承數(shù)據(jù)為研究對象，其型號為6205-2RS JEM SKF的深溝球軸承，采樣頻率為12000Hz。軸承外圈故障信號x（t）的時域圖如圖3所示。

對軸承故障信號進行LMD形態(tài)濾波處理。第一次LMD分解獲得PF1分量進行相關分析，其相關系數(shù)如圖4所示。

由圖4知，第5～12個PF分量與源信號的相關系數(shù)過低，不再進行處理并刪除;對前4個PF分量進行形態(tài)濾波處理，其降噪效果如圖5所示。

對圖5（b）中的信號進行重組得到信號x′（t），其時域圖如圖6所示。以信噪比（SNR）作為降噪精度的評判標準，得到對x（t）的降噪效果，通過公式（12）可以計算出SNR=5.4352。由此可得該方法能對振動信號進行有效地降噪，且簡單實用。對重組信號進行LMD分解得到PF2分量。

SNR=10lg[∑Ni=1x2（t）/（∑Ni=1（x（t）-（t））2）]（12）

由于軸承結(jié)構(gòu)的特殊性，LMD分解后的故障信息主要集中在前4個高頻分量中，提取前4個高頻分量作為提取特征向量的原始數(shù)據(jù)。根據(jù)軸承故障類型，將測量數(shù)據(jù)分成4類，每類故障包含30組數(shù)據(jù)，每組數(shù)據(jù)6000點。其中測試數(shù)據(jù)從每類中隨機抽取10組，共240000個數(shù)據(jù)點;訓練數(shù)據(jù)從每類中隨機抽取5組，共120000個數(shù)據(jù)點。隨機抽取的外圈故障的訓練數(shù)據(jù)如表1所示。

將抽取的訓練數(shù)據(jù)輸入到改進的LSSVM中進行分類訓練，其分類效果與使用徑向基核函數(shù)的LSSVM進行對比，如圖7所示。2種LSSVM分類方法的參數(shù)γ=10、δ=0.4。

從圖7（a）中可以看出，基于徑向基核函數(shù)的LSSVM成功將正常與外圈故障進行分類，但滾珠故障與內(nèi)圈故障沒有完成分類;圖7（b）中表明新的核函數(shù)成功將4種類型的故障進行分類，說明新的核函數(shù)相較于徑向基核函數(shù)在進行故障分類時更具有優(yōu)越性。表2為在使用新核函數(shù)進行第一次訓練時得到的拉格朗日參數(shù)。

從表2和新的閾值計算方法可得到4種故障數(shù)據(jù)的拉格朗日參數(shù)的加權(quán)平均值，分別為0.02017、0.00803、0.01907、0.02336。將新得到數(shù)據(jù)重新帶入改進的LSSVM中重新訓練，數(shù)據(jù)經(jīng)過第二次訓練即滿足要求。由此表明，新的閾值確定方法在一定程度上滿足了自適應的LSSVM算法的稀疏性。圖8為第二次訓練的結(jié)果。

主觀閾值設定對LSSVM算法的稀疏性降低有限，圖9為新閾值與不同取值時的傳統(tǒng)閾值2種確定方法的比較。傳統(tǒng)閾值的取值為0.01、0.05和0.1。圖9中，橫坐標1～4分別代表軸承正常、外圈、內(nèi)圈和滾珠故障?？梢钥闯觯瑐鹘y(tǒng)閾值在取值0.05和0.1時，在處理外圈、內(nèi)圈和滾珠故障時刪除的數(shù)據(jù)過多，其中外圈故障的刪除量超過一半;在取值0.01時，處理結(jié)果和新閾值的處理結(jié)果相同。4種不同閾值取值時的循環(huán)次數(shù)均較少。由此可知，傳統(tǒng)閾值在取值時的隨機性太大，造成刪除數(shù)據(jù)鏈過多，分類可信度降低，而新閾值則不存在這種問題，因其閾值由數(shù)據(jù)自身確定，LSSVM稀疏性降低的問題得到解決。

為了驗證改進的LSSVM方法的準確性，引入受試者工作特征（receiver operating characteristic， ROC）曲線。圖10為基于徑向基核函數(shù)的LSSVM和改進的LSSVM方法的ROC曲線。由此可以看出改進的LSSVM方法對原LSSVM方法進行了優(yōu)化，且效果明顯。表3表示LSSVM測試數(shù)據(jù)訓練結(jié)果。對于輸入樣本1，在經(jīng)過正常的滾動軸承訓練后，實際輸出中只有第1個是正數(shù)，其輸出結(jié)果為表3中的目標輸出結(jié)果，因此判定軸承故障為正常。同理，另外3種測試樣本的輸出結(jié)果依次只有第2個、第3個、第4個值為正數(shù)，則判定這3種軸承故障依次為外圈故障、內(nèi)圈故障和滾珠故障。其輸出結(jié)果符合實際，故改進的LSSVM方法可以應用于實際的軸承故障診斷中，且輸出結(jié)果可信。

5結(jié)論

針對最小二乘支持向量機在核參數(shù)選擇上的盲目性、LSSVM方法的稀疏性欠缺的問題，提出了LMD形態(tài)濾波的LSSVM方法。該方法具有如下優(yōu)點：

1）本文信號降噪、特征提取方式采用：LMD分解—相關分析—形態(tài)濾波降噪—信號重組—LMD再分解—特征提取，該方法能有效地去除噪聲，提高特征向量的精確度;

2）通過研究特征向量走勢和數(shù)據(jù)特點，提出新的核函數(shù)，實現(xiàn)了參數(shù)的自適應確定，解決了LSSVM參數(shù)難以選擇的問題;

3）通過分析測量目標的結(jié)構(gòu)特點，確定PF分量選取，降低了特征向量維度，減少了計算量以及在一定程度上降低了LSSVM的稀疏性;采用剪枝方法，提出了一種閾值確定方法，降低了LSSVM稀疏性差的問題;

4）LMD形態(tài)濾波LSSVM方法結(jié)構(gòu)緊湊、算法簡單，能有效解決軸承故障診斷問題。

參 考 文 獻：

[1]SUYKENS J A K， VANDEWALLE J. Least Squares Support Vector Machine Classifiers[J]. Neural Processing Letters，1999， 9（3）：293.

[2]滿春濤， 劉博， 曹永成. 粒子群與遺傳算法優(yōu)化支持向量機的應用[J].哈爾濱理工大學學報，2019，24（3）：87.

MAN Chuntao， LIU Bo， CAO Yongcheng. The Application Based on Support Vector Machine Optimized by Particle Swarm Optimization and Genetic Algorithm[J]. Journal of Harbin University of Science and Technology， 2019，24（3）：87.

[3]ZHANG Zhen， ZHEN Chenggang. Research on Fault Diagnosis Method of Wind Turbine Based on CS and LSSVM[J]. International Core Journal of Engineering， 2019， 5（10）：25.

[4]甘良志， 孫宗海， 孫優(yōu)賢. 稀疏最小二乘支持向機[J]， 浙江大學學報（工學版）， 2007（2）：245.

GAN Liangzhi， SUN Zonghai， SUN Youxian. Sparse Least Squares Support Vector Machine[J]. Journal of Zhejiang University （Engineering Science）， 2007（2）：245.

[5]張瑞， 李可， 宿磊， 等. 深度稀疏最小二乘支持向量機故障診斷方法研究[J].振動工程學報，2019，32（6）：1104.

ZHANG Rui， LI Ke， SU Lei， et al. Fault Diagnosis Method of Deep Sparse Least Squares Support Vector Machine[J]. Journal of Vibration Engineering， 2019， 32（6）：1104.

[6]HAN Minghong， WU Yaman， WANG Yumin， et al. Roller Bearing Fault Diagnosis Based on LMD and Multiscale Symbolic Dynamic Information Entropy[J]. Journal of Mechanical Science and Technology， 2021， 35（5）：1993.

[7]張文斌， 楊辰龍， 周曉軍. 形態(tài)濾波方法在振動信號降噪中的應用[J].浙江大學學報（工學版），2009，43（11）：2096.

ZHANG Wenbin， YANG Chenlong， ZHOU Xiaojun. Application of Morphology Filtering Method in Vibration Signal Denoising [J]. Journal of Zhejiang University （Engineering Science），2009，43（11）：2096.

[8]HAN Minghong， PAN Jiali. A Fault Diagnosis Method Combined with LMD， Sample Entropy and Energy Ratio for Roller Bearings. Measurement， 2015，76：7.

[9]DUAN Hao， LU Ming， SUN Yongteng， et al. Fault Diagnosis of PMSG Wind Power Generation System Based on LMD and MSE[J]. Complexity， 2020， 2020：11.

[10]CHEN Bingyan， SONG Dongli， ZHANG Weihua， et al. A Performance Enhanced Timevarying Morphological Filtering Method for Bearing Fault Diagnosis[J]. Measurement， 2021， 176：109163.

[11]宋海軍， 黃傳金， 劉宏超， 等. 基于改進LMD的電能質(zhì)量擾動檢測新方法[J].中國電機工程學報，2014，34（10）：1700.

SONG Haijun， HUANG Chuanjin， LIU Hongchao， et al. A New Power Quality Disturbance Detection Method Based onthe Improved LMD[J]. Proceedings of the CSEE，2014，34（10）： 1700.

[12]許同樂， 王營博， 鄭店坤， 等. 基于LMDICA降噪的滾動軸承故障特征提取方法研究[J].北京郵電大學學報.2017（2）：111.

XU Tongle， WANG Yingbo， ZHENG Diankun， et al. Research of the Rolling Bearing Fault Signal Feature Extraction Method Based on the LMDICA Noise Reduction[J]. Journal of Beijing University of Posts and Telecommunications. 2017（2）：111.

[13]孫偉， 熊邦書， 黃建萍. 小波包降噪與LMD相結(jié)合的滾動軸承故障診斷方法[J].振動與沖擊，2012，34（18）：153.

SUN Wei， XIONG Bangshu， HUANG Jianping. Fault diagnosis of a Rolling Bearing Using Wavelet Packet Denoising and LMD[J]. Journal of Vibration and Shock，2012，34（18）：153.

[14]張西寧， 唐春華， 周融通， 等. 一種自適應形態(tài)濾波算法及其在軸承故障診斷中的應用[J].西安交通大學學報，2018，52（12）：1.

ZHANG Xi′ning， TANG Chunhua， ZHOU Rongtong， et al. Adaptive Morphological Filtering Algorithm with Applications in Bearing Fault Diagnosis[J]. Journal of Xi′an Jiaotong University，2018， 52（12）：1.

[15]崔錫龍， 王紅軍， 邢濟收， 等. 廣義形態(tài)濾波和VMD分解的滾動軸承故障診斷[J].電子測量與儀器學報，2018，32 （4）：51.

CUI Xilong， WANG Hongjun， XING Jishou， et al. Rolling Bearing Fault Diagnosis of Generalized Morphological Filtering and VMD Decomposition[J]. Journal of Electronic Measurement and Instrumentation，2018，32（4）：51.

[16]PATEL J P， UPADHYAY S H. Comparison between Artificial Neural Network and Support Vector Method for a Fault Diagnostics in Rolling Element Bearings[J]. Procedia Engineering，2016，144：390.

[17]李永波， 徐敏強， 趙海洋， 等. 基于層次模糊熵和改進支持向量機的軸承診斷方法研究[J].振動工程學報，2016，29 （1）：184.

LI Yongbo， XU Minqiang， ZHAO Haiyang， et al. Study on Rolling Bearing Fault Diagnosis Method Based on Hierarchical Fuzzy Entropy and ISVMBT[J]. Journal of Vibration Engineering，2016， 29（1）：184.

[18]靳麗蕾， 楊文柱， 王思樂， 等. 一種用于卷積神經(jīng)網(wǎng)絡壓縮的混合剪枝方法[J]. 小型微型計算機系統(tǒng)， 2018，39（12）： 2596.

JIN Lilei， YANG Wenzhu， WANG Sile， et al. Mixed Pruning Method for Convolutional Neural Network Compression[J]. Journal of Chinese Computer Systems，2018，39（12）：2596.

[19]HAN Fuxin， LI Yang， WANG Chensong. Multithreshold Channel Pruning Method Based on L1 Regularization[C]. England： Journal of Physics： Conference Series， 2021，1948（1）： 012051.

[20]KAVITA Ml. An ApproachTowards Enhancement of Classification Accuracy Rate Using Efficient Pruning Methods with Associative Classifiers[J]. International Journal of Information Technology， 2021，1.

（編輯：溫澤宇）