高 瑋 韓 毅 周 聰 陳 新 崔 爽 胡承杰

(1.河海大學(xué) 土木與交通學(xué)院,南京 210098;2.河海大學(xué) 巖土力學(xué)與堤壩工程教育部重點實驗室,南京 210098)

巖石內(nèi)部裂紋尖端的塑性區(qū)可以減小塑性變形,使裂紋尖端應(yīng)力松弛,抑制裂紋生長,對于巖石材料抵抗斷裂具有重要影響.而巖石是一種典型的多裂紋材料,相互作用使得裂紋尖端應(yīng)力更為集中,其必然會影響裂紋尖端應(yīng)力強度因子的大小及裂紋尖端塑性區(qū)的分布.根據(jù)Swift[1]在金屬材料中的研究結(jié)論,當(dāng)裂紋間塑性區(qū)發(fā)生接觸后,兩裂紋會迅速發(fā)生貫通破壞,降低材料強度,加速材料的破壞.因此,研究相互作用下巖石多裂紋尖端塑性區(qū)的分布對研究實際工程中巖石材料的破壞具有重要意義.

目前,研究者對巖石裂紋尖端塑性區(qū)已經(jīng)進行了大量研究,大致可分為兩個方面.一是單裂紋裂尖塑性區(qū)的研究.如姚飛[2]應(yīng)用水力模擬和斷裂力學(xué)基本理論對水力裂縫端部在延伸過程中的塑性區(qū)進行了研究,給出了水力裂縫附近的塑性區(qū)范圍;樓曉明等[3]基于雙剪統(tǒng)一強度理論研究了富水區(qū)巷道圍巖微裂紋尖端塑性區(qū)范圍,并給出了其統(tǒng)一解;李玉偉等[4]基于斷裂力學(xué)理論,考慮水力裂縫擴展過程中裂縫尖端塑性區(qū)的影響并對裂縫擴展高度進行了修正;周小平等[5]利用裂紋線場方法求得了裂紋線上的塑性區(qū)長度隨荷載的變化規(guī)律;袁小平等[6]基于Drucker-Prager屈服準(zhǔn)則(D-P 準(zhǔn)則)推導(dǎo)了節(jié)理巖石內(nèi)部純Ⅰ、純Ⅱ及Ⅰ、Ⅱ復(fù)合型3種翼裂紋無量綱塑性區(qū)徑長函數(shù),并分析了泊松比對塑性區(qū)大小的影響;梁鑫[7]基于Mises屈服準(zhǔn)則推導(dǎo)了分形裂紋裂尖的無量綱塑性區(qū)表達式,并分析了分形維數(shù)對塑性區(qū)大小的影響;崔瑩等[8]基于雙剪統(tǒng)一強度理論,建立了泥頁巖Ⅰ型裂縫尖端塑性區(qū)邊界統(tǒng)一解表達式,同時討論了不同拉壓強度比、不同強度準(zhǔn)則下裂縫尖端塑性區(qū)的變化趨勢;Alireza等[9]利用圖像法求得彈性層中的螺位錯解并基于Dugdale模型在裂紋尖端前方確定了塑性區(qū)尺寸;Gowtham 等[10]研究了混合載荷作用下裂紋尖端塑性區(qū)臨界尺寸和裂紋萌生方向的數(shù)學(xué)模型,并利用有限元軟件分析確定了應(yīng)力強度因子,繪制了塑性區(qū)形狀,最終確定了導(dǎo)致裂紋萌生的最小塑性區(qū)尺寸和方向;Prokopyev等[11]使用參數(shù)化設(shè)計語言ANSYS APDL 建立了斷裂力學(xué)參數(shù)與裂紋尖端塑性區(qū)尺寸之間的關(guān)系,定性地確認(rèn)了T應(yīng)力對塑性區(qū)尺寸影響的假設(shè).二是多裂紋裂尖塑性區(qū)的研究.如高瑋等[12]基于Mises準(zhǔn)則和D-P 準(zhǔn)則分別推導(dǎo)了兩條等長共線Ⅰ、Ⅱ型復(fù)合裂紋在小范圍屈服條件下裂紋尖端塑性區(qū)半徑的表達式和裂紋相互作用下塑性區(qū)半徑的擴大倍數(shù);王忠昶等[13]應(yīng)用塑性區(qū)最短距離判據(jù)推導(dǎo)了不同錨固條件下含兩條不同傾角共線裂紋的裂紋尖端最短塑性區(qū)距離;劉寧[14]通過ANSYS 軟件模擬了翼裂紋的起裂過程,分析了裂紋擴展過程中裂紋間距、原始裂紋傾角、裂紋相對位置、加載方式對翼裂紋裂尖塑性區(qū)的影響.

根據(jù)現(xiàn)有研究發(fā)現(xiàn),針對巖石裂尖塑性區(qū)的研究均沒有考慮裂紋尖端塑性對裂尖應(yīng)力強度因子的影響,也沒有考慮塑性修正對裂紋相互作用的影響,而在巖石破裂過程中,由于裂紋尖端塑性區(qū)的存在,裂紋尖端附近的實際應(yīng)力應(yīng)變場必然發(fā)生改變,而其變化必然會影響裂紋間的相互作用.因而,有必要對裂尖應(yīng)力強度因子進行塑性修正,并分析塑性修正對裂尖應(yīng)力強度因子、塑性區(qū)大小及裂紋相互作用的影響.因此,本文首先基于此方面應(yīng)用效果良好的D-P準(zhǔn)則[6]推導(dǎo)裂尖塑性區(qū)尺寸公式;其次,采用等效夾雜理論提出裂尖應(yīng)力強度因子的塑性修正方法;再次,分析裂紋間相互作用對裂紋尖端塑性區(qū)分布的影響;最后,利用ABAQUS 軟件中的擴展有限元(XFEM)方法對相互作用下裂尖塑性區(qū)分布進行模擬,并與理論結(jié)果進行對比,驗證理論分析的合理性.

1 單軸壓縮條件下裂尖塑性區(qū)計算

1.1 不考慮塑性修正的裂尖應(yīng)力強度因子和塑性區(qū)尺寸

設(shè)一無限大巖石材料,中心處有以圖1所示坐標(biāo)軸(以裂紋方向為橫坐標(biāo)、與裂紋垂直方向為縱坐標(biāo))對稱布置的三共線裂紋,a、b、c分別為中心裂紋、外裂紋內(nèi)尖端、外裂紋外尖端距坐標(biāo)原點的距離.三裂紋與垂直方向夾角為β,其邊界受均布壓力σ作用,如圖1所示.

圖1 單軸壓縮條件下對稱布置的三共線裂紋

從圖1可知,單軸壓縮狀態(tài)下,軸向力σ在裂紋面上的應(yīng)力可分為垂直于裂紋面的正應(yīng)力σn和平行于裂紋面的剪切應(yīng)力σs,由應(yīng)力分析得:

實際情況中,由于受壓荷載作用,裂紋會存在閉合現(xiàn)象,從而導(dǎo)致裂紋發(fā)生非線性的摩擦接觸.而裂紋閉合產(chǎn)生的摩擦力阻礙裂紋進一步擴展,在應(yīng)力場上表現(xiàn)為減小應(yīng)力強度因子KⅡ的大小,因此,為了使研究更符合實際工程情況,本文將考慮裂紋面間的摩擦效應(yīng).令摩擦系數(shù)為f,閉合度(裂紋閉合面積與裂紋面積之比)為λ,則裂紋面上的摩擦力σf和有效切應(yīng)力為:

當(dāng)裂紋受壓閉合后,塑性區(qū)由于存在分子間內(nèi)聚力,內(nèi)聚力與外荷載作用相反,應(yīng)力場實質(zhì)上是外荷載與內(nèi)聚力兩種應(yīng)力狀態(tài)疊加的結(jié)果,外荷載和內(nèi)聚力的奇異性剛好抵消I型應(yīng)力強度因子的奇異性消失,Ⅰ-Ⅱ復(fù)合型裂紋轉(zhuǎn)化為Ⅱ型裂紋[15].

根據(jù)文獻[16],單軸壓縮條件下各裂紋尖端應(yīng)力強度因子可表示為:

中心裂紋(由于對稱,左右尖端相等)為:

外裂紋內(nèi)尖端為:

外裂紋外尖端為:

設(shè)材料服從D-P屈服準(zhǔn)則,即:

式中:I1,J2分別為應(yīng)力張量第一不變量與應(yīng)力偏張量第二不變量;c為黏聚力;φ為內(nèi)摩擦角.

將各裂紋尖端應(yīng)力強度因子代入該準(zhǔn)則可以得到各裂紋尖端塑性區(qū)尺寸的極坐標(biāo)表達式為:

式中:υ為材料泊松比.

1.2 考慮塑性修正的裂尖應(yīng)力強度因子和塑性區(qū)尺寸

Eshelby的等效夾雜理論證明了裂紋尖端的塑性變形區(qū)可以等效為一個含有相位應(yīng)變的均質(zhì)夾雜[17].因此,裂紋尖端塑性區(qū)對裂尖應(yīng)力強度因子的影響可以通過相變增韌理論計算.在小范圍屈服的條件下,根據(jù)Eshelby的等效夾雜理論,均質(zhì)夾雜體的相位應(yīng)變可以表示為:

式中,

其中:σp為塑性區(qū)內(nèi)的應(yīng)力張量;σA為無塑性變形時的裂紋尖端應(yīng)力張量;S為Eshelby張量;I為單位張量;G為材料彈性張量.

若塑性區(qū)內(nèi)部的積分微元為圓形截面,平面應(yīng)力下的Eshelby張量可以從平面應(yīng)變下的Mura公式得到[18].對于各向同性材料,平面應(yīng)力狀態(tài)下的彈性張量可以分別以矩陣的形式表示為:

平面應(yīng)力狀態(tài)下的Ⅱ型裂紋尖端應(yīng)力場[15]為:

將式(11)、(12)、(13)代入式(9),可得:

在平面應(yīng)力條件下,微元由于內(nèi)部相位應(yīng)變而產(chǎn)生的Ⅱ型裂紋裂尖增韌值[19]為:

其中,

將式(14)代入(15)式,可得關(guān)于Ⅱ型裂紋尖端應(yīng)力強度因子塑性修正增量為:

可得塑性修正后的Ⅱ型應(yīng)力強度因子,為:

平面應(yīng)變狀態(tài)下Ⅱ型裂紋尖端應(yīng)力強度因子塑性修正增量與平面應(yīng)力狀態(tài)相同[20].考慮應(yīng)力強度因子的塑性修正,(18)代入式(7)得到應(yīng)力強度因子塑性修正后的塑性區(qū)尺寸為:

1.3 裂紋尖端塑性修正的影響

本文研究花崗巖材料,取泊松比υ=0.3,彈性模量E=70 GPa,內(nèi)摩擦角φ=50°,黏聚力c=40 MPa,摩擦系數(shù)f=0.5.設(shè)定軸向壓應(yīng)力σ=10 MPa,閉合度λ=1,裂紋傾角β=π/4,幾何參數(shù)a,b,c(圖2中各裂紋尖端到坐標(biāo)原點的距離)取a=5 mm,b=25 mm,c=35 mm,即中心裂紋與外裂紋等長為10 mm,中心裂紋與外裂紋間距為20 mm.基于以上條件計算單軸壓縮條件下不同裂紋塑性修正前后的裂尖應(yīng)力強度因子KⅡ、裂尖塑性區(qū)尺寸R及修正前后誤差,計算結(jié)果見表1.

表1 不同裂紋修正前后的裂尖應(yīng)力強度因子KⅡ、塑性區(qū)尺寸R 計算結(jié)果

由表1可知,對不同裂紋尖端的應(yīng)力強度因子進行塑性修正后,塑性區(qū)尺寸均增大約7%～9%,可見,裂紋尖端塑性修正對裂尖塑性區(qū)尺寸的影響較大,從而,驗證了對裂尖應(yīng)力強度因子進行塑性修正的必要性.

1.4 裂紋尖端塑性修正的數(shù)值驗證

利用ABAQUS軟件中的擴展有限元(XFEM)方法建立二維模型,分析平面應(yīng)力問題.模型參數(shù)與1.3節(jié)相同.取若干組幾何參數(shù)a,b,c,采用有限元方法計算單軸壓縮條件下中心裂紋塑性修正前后的裂尖應(yīng)力強度因子,設(shè)κ=KⅡ-pc/KⅡ,即塑性修正前后應(yīng)力強度因子的比值.圖2為采用理論計算和有限元計算不同幾何參數(shù)a,b,c下中心裂紋κ值的變化曲線對比.由圖2可見,在不同幾何參數(shù)a,b,c下,中心裂紋應(yīng)力強度因子修正幅度的有限元計算結(jié)果和理論計算結(jié)果均較為吻合,進一步驗證了塑性修正的合理性.

圖2 中心裂紋κ 值變化曲線對比圖

2 單軸壓縮條件下裂紋相互作用對裂尖塑性區(qū)的影響

這里單裂紋情況下塑性區(qū)尺寸記為R*0,多裂紋情況下塑性區(qū)尺寸記為R*,則定義σ=R*2/R*20.

2.1 中心裂紋長度與外裂紋長度比值的影響

令中心裂紋長度與外裂紋長度比值為t,其余參數(shù)同前.

由式(19)計算不同比值t下(0.5、1.0、1.5、2.0、2.5及3.0)各裂紋尖端塑性區(qū)并繪制極坐標(biāo)圖,如圖3所示.

圖3 不同t值下受壓裂紋尖端塑性區(qū)分布

從圖3可見,在不同比值t下,各裂紋尖端的塑性區(qū)形狀大致相同;中心裂紋尖端的塑性區(qū)尺寸隨t值變化幅度較大,外裂紋外尖端塑性區(qū)尺寸隨t值變化幅度最小.相同t值下,平面應(yīng)力狀態(tài)下的裂尖塑性區(qū)遠大于平面應(yīng)變狀態(tài)下的裂尖塑性區(qū).隨著比值t不斷增大,各裂紋尖端塑性區(qū)不斷增大.同一比值t下,中心裂紋尖端塑性區(qū)尺寸最大,外裂紋內(nèi)尖端次之,外裂紋外尖端最小;當(dāng)比值t=3時,各裂尖的塑性區(qū)尺寸達到最大值.圖4為不同t值下,多裂紋與單裂紋塑性區(qū)尺寸比值δ的計算結(jié)果.

圖4 裂尖塑性區(qū)尺寸的比值δ 隨t值的變化曲線

由圖4可見,多裂紋間的相互作用使得裂紋尖端的塑性區(qū)尺寸增大.隨著t增加,外裂紋內(nèi)外尖端的δ值逐漸增大,曲線斜率η值逐漸增大,即裂紋相互作用逐漸加強.中心裂紋尖端的δ值同樣逐漸增大,但η值逐漸減小,即裂紋相互作用逐漸減弱.說明中心裂紋越長,其對外裂紋的相互作用越強,而外裂紋對中心裂紋的影響越弱.其原因可能為:外裂紋尖端的應(yīng)力強度因子增大系數(shù)隨比值t的增大而增大[12],應(yīng)力強化效應(yīng)增強[21];而中心裂紋尖端的應(yīng)力強度因子增大系數(shù)隨比值t的增大而減小,應(yīng)力強化效應(yīng)減弱.

2.2 裂紋傾角的影響

裂紋傾角β分別取10°、20°、30°、40°、50°、60°、70°、80°及90°,其余參數(shù)同前.

由式(19)計算不同裂紋傾角下各裂紋尖端塑性區(qū)的尺寸,計算方法及繪制極坐標(biāo)圖的方法同2.1節(jié).計算不同裂紋傾角下多裂紋與單裂紋塑性區(qū)尺寸比值δ,其結(jié)果如圖5所示.

圖5 裂尖塑性區(qū)尺寸的比值δ 隨裂紋傾角β 的變化曲線

由圖5可以發(fā)現(xiàn),不同裂紋傾角對應(yīng)的δ值始終不變,η值為零,說明了裂尖塑性區(qū)尺寸受相互作用的影響與裂紋傾角無關(guān).

2.3 裂紋間距的影響

在研究裂紋間距影響時,裂紋間距d取值范圍為2～30 mm(分別為2、4、6、8、10、12、15、20、25、30 mm),其余參數(shù)同前.計算不同裂紋間距下各裂紋尖端的塑性區(qū)尺寸,計算方法及繪制極坐標(biāo)圖的方法同2.1節(jié).計算不同裂紋間距下多裂紋與單裂紋塑性區(qū)尺寸比值,其結(jié)果如圖6所示.

圖6 裂尖塑性區(qū)尺寸的比值δ 隨裂紋間距d 的變化曲線

由圖6可知,δ始終大于1,說明裂尖塑性區(qū)尺寸在裂紋相互作用影響下始終增大;η值隨著裂紋間距的減小而增大,說明裂紋間距越小裂紋相互作用影響越強.其原因可能為:當(dāng)裂紋間距減小時,中心裂紋和外裂紋兩側(cè)尖端的應(yīng)力強度因子不斷增大,產(chǎn)生應(yīng)力強化效應(yīng),裂紋間的相互作用隨之增強.

相同裂紋間距下,中心裂紋尖端塑性區(qū)尺寸最大,η值也最大,其受相互作用的影響最強;外裂紋外尖端塑性區(qū)最小,η值也最小,其受相互作用的影響最弱.這是由于在相同裂紋間距下,中心裂紋尖端應(yīng)力強度因子的增大系數(shù)最大,應(yīng)力強化最強;外裂紋外尖端應(yīng)力強度因子的增大系數(shù)最小,應(yīng)力強化最弱.當(dāng)裂紋間距與裂紋長度之比大于等于2時,影響因子δ值逐漸趨近于1,此時在計算各裂尖塑性區(qū)分布時可忽略裂紋間相互作用的影響.

通過上述分析可以發(fā)現(xiàn),曲線斜率η變化可以反映裂紋相互作用影響強弱變化,可以得出以下結(jié)論:當(dāng)η增大時,相互作用對裂紋尖端塑性區(qū)影響增強;當(dāng)η減小時,相互作用對裂紋尖端塑性區(qū)影響減弱;當(dāng)η為零時,相互作用無影響.

3 單軸壓縮條件下裂紋尖端塑性區(qū)分布的數(shù)值驗證

為了驗證上述裂紋相互作用下裂尖塑性區(qū)分布理論研究,利用ABAQUS軟件中的擴展有限元軟件(XFEM)方法對相互作用下完全閉合裂紋的裂尖塑性區(qū)分布進行數(shù)值分析.由于本文主要研究裂紋相互作用下裂紋尖端塑性區(qū)的分布情況,而裂尖塑性區(qū)尺寸相對整個模型來說較小,故分析時忽略模型邊界效應(yīng).

3.1 不同裂紋長度比值t的影響

建立二維數(shù)值模型,分析平面應(yīng)力情況.模型的幾何尺寸、力學(xué)參數(shù)與上節(jié)理論參數(shù)相同.外裂紋長度為10 mm,中心裂紋與外裂紋的長度比值t分別取值3、2、1,即中心裂紋取值分別為30、20、10 mm.網(wǎng)格劃分方法采用純四邊形,單元類型選擇非減縮積分平面應(yīng)力單元CPS4,整個模型共劃分為2 272 個單元.模型如圖7所示.

圖7 不同裂紋長度比值t下二維有限元模型

圖8為不同裂紋長度比值t下裂尖應(yīng)力的計算結(jié)果.材料的抗壓強度σc=250 MPa,則最大應(yīng)力S＞250 MPa的區(qū)域為塑性屈服區(qū),如圖中紅色應(yīng)力帶所包圍的部分即為塑性區(qū).

圖8 不同裂紋長度比值t下裂尖應(yīng)力云圖

利用Image J軟件的Color Threshold功能,通過調(diào)整閾值使紅色包圍區(qū)域灰度值明顯區(qū)別于背景,從而實現(xiàn)紅色包圍區(qū)域顏色的自動提取以及面積的自動測量.由于模型限制,數(shù)值計算得到的塑性區(qū)大小無法直接與理論計算比較,因此,這里僅驗證相互作用影響的情況.表2為不同裂紋比值t下理論結(jié)果和數(shù)值結(jié)果的比較.

由表2可見,數(shù)值計算結(jié)果與理論計算結(jié)果的誤差在3.3%～6.3%之間,由此可見,數(shù)值計算結(jié)果與理論結(jié)果比較吻合,二者誤差不大,從而證明了理論研究結(jié)果的合理性.

表2 不同裂紋比值t下理論及數(shù)值η 值的比較

3.2 不同裂紋傾角β 的影響

數(shù)值模型基本參數(shù)同上.中心裂紋與外裂紋等長為10 mm.中心裂紋與外裂紋間距取d=20 mm.裂紋傾角取值分別為10°、30°、60°.網(wǎng)格劃分方法及單元類型選擇同前.模型分別劃分為2 829,3 073,2 996個單元.建模方法同3.1節(jié),計算后可以得到不同裂紋傾角β下理論結(jié)果和數(shù)值結(jié)果的比較,見表3.

表3 不同裂紋傾角β 下理論及數(shù)值η 值的比較

由表3可見,數(shù)值計算結(jié)果與理論計算結(jié)果的誤差在3.7%～6.2%之間,由此可見,數(shù)值計算結(jié)果與理論結(jié)果比較吻合,二者誤差不大,從而證明了理論研究結(jié)果的合理性.

3.3 不同裂紋間距d 的影響

數(shù)值模型基本參數(shù)同上.裂紋間距取值分別為10、20、30 mm.網(wǎng)格劃分方法及單元類型選擇同前.整個模型共劃分為2312個單元.建模方法同3.1節(jié),計算后可以得到不同裂紋間距d下理論結(jié)果和數(shù)值結(jié)果的比較,見表4.

表4 不同裂紋間距d 下理論及數(shù)值η 值的比較

由表4 可見,數(shù)值計算結(jié)果與理論結(jié)果誤差在2.6%～7.2%之間,二者誤差不大,從而再次證明了理論研究結(jié)果的合理性.

4 結(jié)論

本文采用等效夾雜理論提出了對巖石裂尖應(yīng)力強度因子的塑性修正方法,并基于D-P屈服準(zhǔn)則對巖石裂紋尖端塑性區(qū)半徑公式進行推導(dǎo).以對稱布置三共線裂紋為研究對象,分析了不同幾何參數(shù)下,裂紋間相互作用對各裂紋尖端塑性區(qū)的影響,所得主要結(jié)論如下:

1)采用等效夾雜理論對裂尖應(yīng)力強度因子進行塑性修正后,各裂紋尖端塑性區(qū)尺寸均較修正前有明顯增大;

2)裂紋間相互作用使裂紋尖端塑性區(qū)恒增大,但中心裂紋和外裂紋尖端塑性區(qū)增大的幅度明顯不同;

3)隨著中心裂紋與外裂紋長度比值的增加,外裂紋內(nèi)外尖端塑性區(qū)受裂紋間相互作用的影響逐漸加強,而中心裂紋尖端塑性區(qū)受裂紋間相互作用的影響逐漸減弱;

4)不同裂紋傾角不影響裂紋尖端塑性區(qū)的尺寸;

5)同一裂紋間距下,中心裂紋尖端塑性區(qū)受相互作用的影響最強,外裂紋外尖端塑性區(qū)受相互作用的影響最弱,且隨著裂紋間距的增加,裂尖塑性區(qū)受相互作用的影響越來越小.

多裂紋相互作用下巖石裂紋尖端塑性區(qū)的分布對研究實際工程中巖石材料的破壞意義重大.因此,本文的理論研究預(yù)期的應(yīng)用前景廣闊.但本文工作僅僅是初步理論和數(shù)值研究,其應(yīng)用于復(fù)雜的實際工程尚需進行更多工作,這也是今后要進行的研究方向.另外,關(guān)于裂紋相互作用下巖石裂尖塑性區(qū)分布的試驗研究也將是以后的研究工作.