徐長春,馮超,彭俚,葛新廣,楊海峰

(1.廣西華藍(lán)工程管理有限公司, 廣西 南寧 530012；2.中國移動(dòng)通信集團(tuán)廣西有限公司, 廣西 南寧 530028；3.廣西科技大學(xué) 土木建筑學(xué)院, 廣西 柳州 545006；4.廣西大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院, 廣西 南寧 530004)

0 引言

眾所周知，強(qiáng)烈地震是一種嚴(yán)重的自然災(zāi)害，地震作用造成巨大的經(jīng)濟(jì)損失和人員傷亡，因此防震減災(zāi)一直是建筑工程師的追求[1-3]。在振動(dòng)領(lǐng)域，阻尼是用來描述質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)過程中能量耗散的關(guān)鍵參數(shù)，鑒于阻尼的復(fù)雜性，工程界提出了各種阻尼模型，其中應(yīng)用最廣泛的是黏滯阻尼模型，黏滯阻尼模型的阻尼與速度成正比，而實(shí)際上很多耗能過程的阻尼力與其變化率的歷程有關(guān)，稱之為非黏滯阻尼模型。Biot[4]提出了考慮滯后效應(yīng)的阻尼模型，即阻尼力與質(zhì)點(diǎn)速度的歷程有關(guān)，在數(shù)學(xué)形式上表現(xiàn)為質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)速度同某一核函數(shù)的卷積。Liu[5-6]研究了時(shí)程激勵(lì)下的指數(shù)型核函數(shù)型非黏滯阻尼結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)，指出非黏滯阻尼特征是許多工程結(jié)構(gòu)地震中的耗能形式。段忠東等[7]研究了非黏滯阻尼模型的阻尼系數(shù)識(shí)別，表明了非黏滯阻尼模型在描述結(jié)構(gòu)耗能更具有一般性。Shen[8]提出了針對(duì)非黏滯阻尼結(jié)構(gòu)的地震動(dòng)時(shí)程激勵(lì)下直接積分的簡化方法，主要針對(duì)時(shí)程激勵(lì)下的動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行分析。

大量的地震動(dòng)觀測(cè)資料研究表明地震動(dòng)具有顯著的隨機(jī)性，且異常復(fù)雜，為此提出了多種隨機(jī)地震動(dòng)模型[9-11]。歐進(jìn)萍等[12]提出的激勵(lì)模型能考慮場(chǎng)地的動(dòng)力特征對(duì)地震動(dòng)的影響，被廣泛地應(yīng)用工程實(shí)踐中。目前基于歐進(jìn)萍譜激勵(lì)下的結(jié)構(gòu)地震動(dòng)響應(yīng)表達(dá)式較為復(fù)雜，不利于工程應(yīng)用，故研究基于歐進(jìn)萍譜激勵(lì)下非黏滯阻尼結(jié)構(gòu)的地震動(dòng)響應(yīng)，具有重要的工程應(yīng)用價(jià)值。

研究結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震動(dòng)響應(yīng)的方法有頻域法和時(shí)域法[13-14]，2種方法各有特色。在頻域法中，虛擬激勵(lì)法[14]和傳遞函數(shù)法[15]為其主要方法，但結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)需要獲得結(jié)構(gòu)地震動(dòng)響應(yīng)的方差，上述方法分析方差或者0-2階譜矩時(shí)需要對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的功率譜采用數(shù)值積分，存在積分精度和效率的問題。在時(shí)域法中，復(fù)模態(tài)法[13]是其典型方法，其將任意形式的線性振動(dòng)體系進(jìn)行復(fù)模態(tài)解耦，將動(dòng)力響應(yīng)的協(xié)方差表示成脈沖函數(shù)與激勵(lì)協(xié)方差的二重積分，因此該方法應(yīng)用的前提激勵(lì)要有協(xié)方差。目前基于時(shí)域法的隨機(jī)地震動(dòng)響應(yīng)表達(dá)式均較為復(fù)雜，不利于工程應(yīng)用。葛新廣等[16-18]基于Kanai-Tajimi譜的濾波方程利用復(fù)模態(tài)方法提出了建筑結(jié)構(gòu)系列響應(yīng)譜矩和方差的簡明封閉解，開啟了隨機(jī)地震動(dòng)響應(yīng)分析的新解法。

針對(duì)以上非黏滯阻尼結(jié)構(gòu)地震動(dòng)響應(yīng)研究的不足，本文依據(jù)文獻(xiàn)[16-18]所提方法，對(duì)指數(shù)型核函數(shù)的非黏滯阻尼結(jié)構(gòu)基于歐進(jìn)萍譜隨機(jī)地震動(dòng)響應(yīng)的簡明封閉解進(jìn)行了研究。首先，將指數(shù)型非黏滯阻尼結(jié)構(gòu)積分型的本構(gòu)關(guān)系轉(zhuǎn)換成等效的微分型本構(gòu)關(guān)系；其次，利用歐進(jìn)萍譜的濾波振動(dòng)方程將復(fù)雜的地面運(yùn)動(dòng)精確地表示成基于白噪聲的隨機(jī)地震動(dòng)；然后聯(lián)立地震動(dòng)的濾波振動(dòng)方程及微分型的非黏滯阻尼本構(gòu)關(guān)系，獲得結(jié)構(gòu)地震動(dòng)基于白噪聲激勵(lì)的全微分方程組，并運(yùn)用復(fù)模態(tài)法進(jìn)行解耦，從而獲得結(jié)構(gòu)協(xié)方差、方差、功率譜、0-2階譜矩的簡明封閉解。

1 基于歐進(jìn)萍譜非黏滯阻尼結(jié)構(gòu)地震動(dòng)方程重構(gòu)

對(duì)于單自由度非黏滯阻尼結(jié)構(gòu)，在歐進(jìn)萍譜地震動(dòng)作用下的運(yùn)動(dòng)方程為

(1)

(2)

其中，c為阻尼常數(shù)，n為阻尼作用激勵(lì)下松弛因子的數(shù)量，αi為松弛因子。

(3)

并對(duì)式(3)求導(dǎo)可得

(4)

歐進(jìn)萍譜濾波方程描述如下：

(5a)

(5b)

(5c)

(5d)

將式(2)至式(5)聯(lián)立，式(1)用矩陣形式表示為

(6)

(7)

式中：o為元素為0的n×1階向量；E為n階單位對(duì)角陣；I為元素為1的n×1階向量；A=[-cαi]n×1；矩陣B=diag[αi]，i的取值范圍為1～n。

2 復(fù)模態(tài)解耦

根據(jù)復(fù)模態(tài)理論[13,16-18]，存在特征值矩陣P、右特征向量矩陣U和左特征向量矩陣V，式(6)進(jìn)行復(fù)模態(tài)解耦，即存在：

(8)

式中P為對(duì)角陣；“T”表示向量的轉(zhuǎn)置。

引入復(fù)模態(tài)變換

y=Uz，

(9)

式中z為復(fù)模態(tài)變量。

將式(9)代入式(6)，并在其前左乘VT得

(10)

由式(8)可知，式(10)可改寫為

(11)

式中，η=(VTMU)-1·(VTr)。

由于P為對(duì)角矩陣，因此由哈梅積分可得，式(11)的分量為

(12)

式中zi、ηi分別為z、η的分量。

由式(7)、(9)及(12)，則結(jié)構(gòu)相對(duì)于地面的位移及速度可分別表示為

(13)

(14)

式中：ui為右特征向量矩陣U的第i行向量；響應(yīng)的模態(tài)強(qiáng)度系數(shù)λi,j為

λi,j=ui,j·ηj，

(15)

式中ui,j為右特征向量矩陣U第i行第j列的元素。

3 結(jié)構(gòu)響應(yīng)的協(xié)方差、方差及功率譜分析

為了簡化行文，由式(13)、(14)可得，結(jié)構(gòu)的相對(duì)地面位移、相對(duì)地面速度可統(tǒng)一表示為

(16)

由式(16)可得結(jié)構(gòu)的響應(yīng)分量為

(17)

式中，結(jié)構(gòu)的相對(duì)地面位移的模態(tài)強(qiáng)度系數(shù)μi=λ3,j；結(jié)構(gòu)的相對(duì)地面速度的模態(tài)強(qiáng)度系數(shù)μi=λ1,j；τ為時(shí)間差。

結(jié)構(gòu)響應(yīng)的協(xié)方差為

(18)

由式(18)可得結(jié)構(gòu)響應(yīng)分量的協(xié)方差為

(19)

由相關(guān)函數(shù)與協(xié)方差的關(guān)系，式(19)可改寫為

(20)

式中u、v為積分變量。

CW(τ)=2πS0δ(τ)，

(21)

式中：S0為地震動(dòng)強(qiáng)度常數(shù)；δ(τ)為Dirac函數(shù)。

將式(21)代入式(20)得

(22)

利用Dirac函數(shù)的性質(zhì)，式(22)化為一重積分：

(23)

對(duì)式(23)積分得

(24)

由式(18)、(24)，單自由度非黏滯結(jié)構(gòu)基于歐進(jìn)萍隨機(jī)激勵(lì)下的響應(yīng)表達(dá)式為

(25)

令

(26)

式(25)可表示為

(27)

由式(27)可知，結(jié)構(gòu)響應(yīng)的協(xié)方差化為結(jié)構(gòu)振動(dòng)特征值指數(shù)函數(shù)的線性組合，表達(dá)式簡潔明了。當(dāng)τ=0時(shí)，結(jié)構(gòu)響應(yīng)的協(xié)方差為結(jié)構(gòu)響應(yīng)的均方差，即

(28)

式(28)表示結(jié)構(gòu)響應(yīng)方差，可表示為結(jié)構(gòu)振動(dòng)特征值指數(shù)函數(shù)的線性組合。

由Wiener-Khinchin關(guān)系[13]，結(jié)構(gòu)響應(yīng)的單邊功率譜SY(ω)為

(29)

將式(27)代入式(29)得

(30)

由式(16)、(28)、(30)可知，本文所獲得的結(jié)構(gòu)基于歐進(jìn)萍譜激勵(lì)下的相對(duì)于地面位移及速度的方差和功率譜的表達(dá)式為簡明封閉解，簡潔明了。

4 結(jié)構(gòu)響應(yīng)的0-2階譜矩分析

由隨機(jī)振動(dòng)理論，結(jié)構(gòu)響應(yīng)Y(t)的i階譜矩βi可表示為

(31)

將式(30)帶入式(31)，并令i=0，則結(jié)構(gòu)響應(yīng)的0階譜矩可表示為

(32)

對(duì)式(32)積分可得

(33)

平穩(wěn)激勵(lì)下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)Yn的0階譜矩β0，通過比較式(33)及式(28)，兩式完全相同，說明了本文方法計(jì)算0階譜矩的正確性。由隨機(jī)振動(dòng)理論[12]可得，結(jié)構(gòu)響應(yīng)速度的0階譜矩等于其位移的2階譜矩,即

(34)

由譜矩的定義可得，1階譜矩β1可表示為

(35)

對(duì)式(35)進(jìn)行積分得

(36)

(37)

由式(33)、(34)、(37)可知，本文所獲得的結(jié)構(gòu)基于歐進(jìn)萍激勵(lì)下的相對(duì)于地面位移的0-2階譜矩均有閉式解，表達(dá)式簡潔明了。

5 算例

某單層的非黏滯阻尼的鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)，場(chǎng)地抗震設(shè)防烈度為7度，場(chǎng)地土為Ⅱ類，結(jié)構(gòu)質(zhì)量m=1.6×105kg，剛度k=2.8×106N/m，阻尼比ξ=0.05。非黏滯阻尼核函數(shù)采用雙指數(shù)形式G(t)=c(α1e-α1t+α2e-α2t)，其非黏滯阻尼參數(shù)c=1.48×106N·s/m，α1=125 s-1，α2=250 s-1。采用歐進(jìn)萍譜作為隨機(jī)地震動(dòng)激勵(lì)[12]，場(chǎng)地土的阻尼比ξg=0.72，卓越頻率ωg=15.71 rad/s，其功率譜強(qiáng)度系數(shù)S0=31.76×10-4m2/s3，基巖譜參數(shù)ωh=8 πrad/s。

5.1 地面加速度的功率譜對(duì)比分析

地面加速度可由式(4)、(5)、(7)、(16)聯(lián)立可得

(38)

按本文方法，地面加速度模態(tài)強(qiáng)度系數(shù)ki見表1。

表1 地面加速度模態(tài)強(qiáng)度系數(shù)ki表Tab.1 Modal intensity coefficients of ground

本文方法中，基于歐進(jìn)萍譜的地面絕對(duì)加速度激勵(lì)功率譜，由式(30)、(38)可得

(39)

傳統(tǒng)方法中，基于歐進(jìn)萍譜的地面絕對(duì)加速度激勵(lì)功率譜其表達(dá)式為

(40)

本文方法與傳統(tǒng)方法的地面加速度功率譜對(duì)比圖如圖1所示，對(duì)比區(qū)間取[0 40]，間距為1 rad/s。由圖可以看出，兩者完全重合，說明本文方法分析功率譜的正確性。

圖1 地面加速度功率譜對(duì)比圖Fig.1 Power spectrum comparison of ground acceleration

圖2 結(jié)構(gòu)位移功率譜對(duì)比圖Fig.2 Comparison of PDF of structural displacement

5.2 地面位移功率譜對(duì)比分析如下：

本文方法中，基于歐進(jìn)萍譜的單自由度結(jié)構(gòu)的相對(duì)于地面的位移功率譜，由式(30)得

(41)

在傳統(tǒng)方法中，系統(tǒng)的幅頻特性及其基于歐進(jìn)萍譜的單自由度結(jié)構(gòu)的相對(duì)于地面的位移功率譜其表達(dá)式分別為

(42)

本文方法與傳統(tǒng)方法的結(jié)構(gòu)位移功率譜對(duì)比圖如圖2所示。由圖中可以看出兩者完全吻合，對(duì)比區(qū)間取[0 40]，間距1 rad/s，說明本文方法計(jì)算結(jié)構(gòu)響應(yīng)功率譜密度函數(shù)的正確性，且精度較好。本文方法為式(41)，相對(duì)傳統(tǒng)方法式(42)更為簡潔明了。

5.3 計(jì)算效率及精度對(duì)比分析

傳統(tǒng)方法有虛擬激勵(lì)法，其在計(jì)算功率譜時(shí)有簡明的關(guān)系，為此本文僅與虛擬激勵(lì)法比較：

根據(jù)虛擬激勵(lì)法，結(jié)構(gòu)響應(yīng)及0-2階譜矩時(shí)的計(jì)算如下：

(43a)

(43b)

(43c)

上述響應(yīng)值，采用數(shù)值方法在[0 +∞]進(jìn)行求解，是無法實(shí)現(xiàn)的，由圖2可知，隨著頻率ω的增大，功率譜有越來越小的特點(diǎn)。本算例，積分區(qū)間取[0 200]rad/s，積分步長取3種情況來對(duì)比驗(yàn)證虛擬激勵(lì)法精度問題：①積分步長為1.0 rad/s;②積分步長為0.5 rad/s；③積分步長為0.1 rad/s。2種方法的0-2階譜矩精度對(duì)比見表2，2種方法的0-2階譜矩計(jì)算耗時(shí)對(duì)比見表3。

表2 0-2階譜矩精度對(duì)比Tab.2 Accuracy comparison of 0-2 order spectral moments

表3 0-2階譜矩計(jì)算耗時(shí)對(duì)比Tab.3 Comparison of computing time of 0-2 order spectral moments

由于虛擬激勵(lì)法的譜矩計(jì)算采用數(shù)值積分，因此分析精度隨著積分步長減小而提高。從表2可知，虛擬激勵(lì)法的0-2階譜矩計(jì)算精度，隨著積分步長從1.0、0.5、0.1 rad/s的所得譜矩值，逐漸接近本文方法所得譜矩值。從理論上來說，說明本文方法為封閉解，且精度較好。

由表3可知，虛擬激勵(lì)法計(jì)算譜矩的耗時(shí)隨著積分步長的減小而增加。由表2可知：積分步長為1.0 rad/s時(shí)，精度較差；積分步長為0.1 rad/s時(shí)在取6位有效數(shù)值的情況下，兩者完全一致，而耗時(shí)卻是本文方法耗時(shí)的5.3倍，故本文方法效率較高。

6 結(jié)論

本文對(duì)指數(shù)型核函數(shù)的非黏滯阻尼模型下的結(jié)構(gòu)基于歐進(jìn)萍地震動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行了研究，結(jié)論如下：

① 非黏滯阻尼模型采用指數(shù)型核函數(shù)時(shí)，利用核函數(shù)的卷積形式表示結(jié)構(gòu)的耗能部分，具有精確等效的一階微分型本構(gòu)關(guān)系，便于與結(jié)構(gòu)體系的動(dòng)力方程聯(lián)合求解結(jié)構(gòu)響應(yīng)。

② 歐進(jìn)萍譜的濾波振動(dòng)方程可將復(fù)雜的地面運(yùn)動(dòng)精確地表示成基于白噪聲的隨機(jī)地震動(dòng)，與結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程聯(lián)合建模，利用復(fù)模態(tài)方法從時(shí)域角度便于獲得結(jié)構(gòu)響應(yīng)方差的簡明閉式解和從頻域角度獲得結(jié)構(gòu)響應(yīng)的0-2階譜矩的簡明閉式解，為結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠度分析提供了一種新的路徑。

③ 通過與虛擬激勵(lì)法對(duì)比，本文方法在分析結(jié)構(gòu)響應(yīng)方差和譜矩時(shí)為封閉解，具有效率高和精度好的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)可用來驗(yàn)證虛擬激勵(lì)法譜矩分析時(shí)的精度問題。