陳衛(wèi)營(yíng)， 薛國(guó)強(qiáng)*， 宋婉婷， 侯東洋， 王彥兵

1 中國(guó)科學(xué)院礦產(chǎn)資源研究重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 中國(guó)科學(xué)院地質(zhì)與地球物理研究所， 北京 100029 2 中國(guó)科學(xué)院地球科學(xué)研究院， 北京 100029 3 中國(guó)科學(xué)院大學(xué)地球與行星科學(xué)學(xué)院, 北京 100049 4 清華大學(xué)電機(jī)工程與應(yīng)用電子技術(shù)系， 北京 100084 5 國(guó)網(wǎng)經(jīng)濟(jì)技術(shù)研究院有限公司， 北京 102209

0 引言

電磁法利用天然源或者人工源產(chǎn)生的電磁場(chǎng)進(jìn)行大地電性結(jié)構(gòu)探測(cè)(Kaufman and Keller，1983；Vozoff，1991；底青云等，2019; Di et al.，2020)，獲得高信噪比的觀測(cè)信號(hào)是保障電磁法數(shù)據(jù)處理精度及探測(cè)結(jié)果準(zhǔn)確度的關(guān)鍵因素.影響電磁法信號(hào)的噪聲多種多樣，主要包括場(chǎng)源噪聲、地質(zhì)噪聲、人文噪聲、系統(tǒng)噪聲等(McCracken et al.，1984；Szarka，1988；Everett and Weiss，2002；李晉等，2017).其中，人文噪聲中最普遍也是影響最為嚴(yán)重的一個(gè)干擾是電力系統(tǒng)產(chǎn)生的工頻電磁場(chǎng)干擾，即50 Hz(有些國(guó)家為60 Hz)及其諧頻成分的電磁波干擾(Butler and Russell，1993；Cohen et al.，2010；Larsen et al.，2014；Kang et al.，2021).大量研究和觀測(cè)表明，輸電線會(huì)在大地中激發(fā)雜散電流，并對(duì)磁場(chǎng)和電場(chǎng)都造成一定程度的影響(Blohm et al.，1977；Yearby et al.，1983；Parrot and Zaslavski，1996；Ermakova et al.，2006；席繼樓等，2015；凌振寶等，2016)，特別是在基巖裸露的高阻地區(qū)，雜散電流的影響區(qū)域會(huì)很大(Szarka，1983).雖然人們?cè)跀?shù)據(jù)采集和后續(xù)處理中采取了多種多樣的工頻噪聲抑制和濾除方法(Macnae et al.，1984； Qian and Qian，1985；湯井田等，2015；Rasmussen et al.，2018；Wu et al.，2019，2020)，但當(dāng)觀測(cè)點(diǎn)離輸電線較近時(shí)，工頻電磁場(chǎng)帶來的干擾仍難以克服.

另一方面，輸電線產(chǎn)生的工頻電磁場(chǎng)及其諧波成分在傳播過程中同樣與大地發(fā)生耦合作用，并攜帶著大地的電阻率信息，因此還可以用該類電磁場(chǎng)來進(jìn)行大地電性結(jié)構(gòu)探測(cè).已有國(guó)外學(xué)者在此領(lǐng)域開展了嘗試性的研究和應(yīng)用.McCollor等(1983)利用加拿大英屬哥倫比亞大學(xué)附近的一條500 kV高壓輸電線開展了相關(guān)研究，他們?cè)诓煌恢糜^測(cè)到了高強(qiáng)度的基頻(60 Hz)及其奇次諧波電磁場(chǎng)信號(hào)，以此歸納出垂直磁場(chǎng)分量隨觀測(cè)點(diǎn)距輸電線距離的變化規(guī)律，并從中提取出了均勻大地的電阻率信息.Risk等(1999)利用新西蘭輸電網(wǎng)產(chǎn)生的電磁場(chǎng)，采用類似于大地電磁法(MT)的數(shù)據(jù)采集和處理技術(shù)，進(jìn)行了地?zé)崽锾綔y(cè)并取得了良好效果.Labson 和Medberry (1989)以及Vallée等(2010)開展了航空工頻電磁場(chǎng)的觀測(cè)與應(yīng)用.Yin和Wang(2015)利用高壓輸電線產(chǎn)生的電磁場(chǎng)進(jìn)行航空電磁探測(cè)以確定高壓線塔基的接地電阻.

無論將輸電線產(chǎn)生的電磁場(chǎng)視為噪聲還是有效信號(hào)，準(zhǔn)確、快速地估計(jì)特定輸電線產(chǎn)生的工頻電磁場(chǎng)，了解其強(qiáng)度和空間分布都非常重要.它可以幫助我們確定工頻噪聲水平、評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)質(zhì)量、選擇最佳觀測(cè)區(qū)域等.如利用輸電線電磁場(chǎng)進(jìn)行AMT測(cè)量時(shí)，必須確定遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)域以避免近場(chǎng)效應(yīng)(Qian and Pedersen，1991).實(shí)現(xiàn)這種估算的一種方法是進(jìn)行實(shí)地觀測(cè)(Adams et al.，1982；McCollor et al.，1983).然而，對(duì)于大面積的觀測(cè)區(qū)域，這種方法粗略而費(fèi)力.

另一種可行的方案是進(jìn)行數(shù)值計(jì)算.在地球物理探測(cè)領(lǐng)域，人們常用無限長(zhǎng)導(dǎo)線源來模擬計(jì)算MT場(chǎng)或輸電線產(chǎn)生的電磁場(chǎng)(Hermance and Peltier，1970；Wait，1996；梁生賢等，2012；Sami and Al-Nami，2014；李風(fēng)明等，2014；李桐林等，2000).但這些研究都忽略了輸電線的實(shí)際結(jié)構(gòu)，并采用了平面波假設(shè)，在近源區(qū)計(jì)算精度很差.電力行業(yè)采用靜電場(chǎng)方法，如電荷模擬法和有限元法來計(jì)算電場(chǎng)，使用 Biot-Savart定律計(jì)算磁場(chǎng)，以研究電磁輻射污染(Malik，1989；El Dein，2009；Sahbudin et al.，2010；張文亮等，2013).然而，這些方法忽略了大地電導(dǎo)率對(duì)電磁場(chǎng)的貢獻(xiàn)(認(rèn)為地球是理想的導(dǎo)體)，只關(guān)注輸電線附近(一般小于200 m)的自有場(chǎng)，不適用于電磁測(cè)深.

本文給出了一種綜合考慮輸電線實(shí)際排列形式及大地電導(dǎo)率，并不采取平面波假設(shè)的輸電線工頻電磁場(chǎng)計(jì)算方法.然后以我國(guó)常見的220 kV交流輸電線為例，進(jìn)行工頻電磁場(chǎng)計(jì)算與特性分析.本文研究結(jié)果可為電磁探測(cè)中規(guī)避或利用工頻電磁場(chǎng)提供指導(dǎo).

1 架空無限長(zhǎng)導(dǎo)線源產(chǎn)生的電磁場(chǎng)

輸電線可以視為幾條架空無限長(zhǎng)導(dǎo)線的組合.這里我們首先計(jì)算單個(gè)無限長(zhǎng)導(dǎo)線產(chǎn)生的電磁場(chǎng).建立如圖1所示模型，線源沿y軸無限延伸，距地面高度為h，與xoz平面交于原點(diǎn)，層狀大地第i層的電阻率為ρi.顯然，此種情況下無限長(zhǎng)線源只能產(chǎn)生TE極化場(chǎng)，因?yàn)檫@時(shí)不存在垂直電場(chǎng)，僅存在y方向的電場(chǎng)分量Ey和x、z方向的磁場(chǎng)分量Hx和Hz.

圖1 層狀大地上架空無限長(zhǎng)導(dǎo)線模型Fig.1 Coordinates and geometry of an infinitely long line source above a layered earth

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式中，R為反射系數(shù)，是發(fā)射源、大地電性結(jié)構(gòu)及電磁場(chǎng)邊界條件的復(fù)雜函數(shù).ε0為空氣的介電常數(shù)，σ為大地電導(dǎo)率，μ0=4π×10-7H·m-1為真空中磁導(dǎo)率，I為導(dǎo)線中電流，ω為角頻率，x為接收點(diǎn)的橫坐標(biāo)，h為線源的高度.

(4)

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上述三個(gè)公式中的積分可采用正弦和余弦變換進(jìn)行離散求解.(4)—(6)式即為考慮大地電阻率情況下，架空無限長(zhǎng)導(dǎo)線源在均勻大地表面產(chǎn)生的電磁場(chǎng)的表達(dá)式.

下面我們通過如下模型來分析單條架空無限長(zhǎng)導(dǎo)線產(chǎn)生的電磁場(chǎng)的特性.架空導(dǎo)線沿y軸無限延伸，離地高度(h)30 m，計(jì)算頻率50 Hz，電流1 A，計(jì)算范圍(x)1 m～10 km，對(duì)數(shù)等間隔共計(jì)算1000個(gè)點(diǎn)，均勻大地電阻率考慮10 Ωm，100 Ωm 和1000 Ωm三種情況.圖2為雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系下三個(gè)電磁場(chǎng)分量的計(jì)算結(jié)果.我們依次分析三個(gè)電磁場(chǎng)分量隨大地電阻率和觀測(cè)點(diǎn)距離變化表現(xiàn)出的特性.Ey分量隨觀測(cè)點(diǎn)距離增大，幅值逐漸減小，但在較近的距離(約100 m)范圍內(nèi)，幅值減弱程度較弱，隨后基本呈指數(shù)衰減.Ey分量的幅值大小與大地電阻率密切相關(guān)，在所有觀測(cè)點(diǎn)處，高阻大地的響應(yīng)幅值更強(qiáng).這是因?yàn)?，電?chǎng)分量與電荷有關(guān)，大地的導(dǎo)電性影響著電荷的分布.Hx分量隨觀測(cè)距離增大其幅值也是逐漸降低，大地電阻率對(duì)其影響相對(duì)較小，特別是在近距離處，隨著觀測(cè)距離增大，電阻率差異帶來的不同越來越明顯.并且注意到，高阻大地的幅值在近距離處更弱，但在約幾百米處，這個(gè)關(guān)系發(fā)生反轉(zhuǎn)，即高阻對(duì)應(yīng)的響應(yīng)幅值變得更強(qiáng)，這表明一次場(chǎng)與感應(yīng)場(chǎng)的主導(dǎo)性發(fā)生了變化.Hz分量表現(xiàn)出與前述兩者不同的變化特性.首先，隨著觀測(cè)距離增大，其幅值呈現(xiàn)先增大后減小的變化趨勢(shì)，轉(zhuǎn)折點(diǎn)對(duì)于不同大地電阻率情況基本一致，大約在30 m處.在上升段，大地電阻率對(duì)響應(yīng)幅值的影響非常微弱，三種電阻率情況的響應(yīng)幾乎重合.而在下降段，電阻率帶來的不同開始顯現(xiàn)，高阻大地的響應(yīng)幅值開始強(qiáng)于低阻情況.單條無限長(zhǎng)導(dǎo)線的電磁場(chǎng)隨大地電阻率及觀測(cè)距離變化表現(xiàn)出的特性，符合Price(1950)所給出的數(shù)學(xué)分析.文后附錄給出了采用鏡像源法計(jì)算無限長(zhǎng)導(dǎo)線磁場(chǎng)的公式，以及與本文方法計(jì)算結(jié)果的對(duì)比.

圖2 不同電阻率情況下無限長(zhǎng)導(dǎo)線源產(chǎn)生的電磁場(chǎng) (a) Ey； (b) Hx； (c) Hz.Fig.2 The EM fields excited by an infinite long line source and their variations with earth′s resistivity and observation distance

2 實(shí)際輸電線產(chǎn)生的電磁場(chǎng)

對(duì)于實(shí)際的輸電線路產(chǎn)生的電磁場(chǎng)，可采用矢量疊加的方式進(jìn)行求解.輸電線路的架設(shè)方式多種多樣，如同塔單回路、同塔雙回及同塔多回等，導(dǎo)線排列方式也多樣化，如垂直、正三角、水平、倒三角等.而且為了抑制電暈放電和減少線路電抗，高壓輸電線多采用分裂導(dǎo)線，每相導(dǎo)線由幾根直徑較小的分導(dǎo)線組成，各分導(dǎo)線間隔一定距離，并按對(duì)稱多角形排列.但由于分裂半徑一般小于1 m，對(duì)于觀測(cè)距離來說可以忽略，可將多條分裂導(dǎo)線視為一條導(dǎo)線.圖3為典型的220 kV同塔雙回路三相輸電線路實(shí)物圖.其中組成回路的三相的排列方式可以有6種方式，即ABC-A′B′C′, ABC-A′C′B′, ABC-B′A′C′, ABC-B′C′A′,ABC-C′A′B′,ABC-C′B′A′.已有研究表明采用對(duì)稱排列(ABC-A′B′C′)產(chǎn)生的電磁場(chǎng)最大，逆相序排列時(shí)(ABC-C′B′A′)，產(chǎn)生的電磁場(chǎng)最弱(許楊等，2007).這里我們以實(shí)際情況最常用的逆相序排列方式為例進(jìn)行研究.同時(shí)在下述計(jì)算中，我們忽略導(dǎo)線因自身重量導(dǎo)致的懸鏈效應(yīng)，認(rèn)為各導(dǎo)線都是水平的.

圖3 典型220 kV雙回路三相輸電線系統(tǒng)Fig.3 Typical 220 kV three-phase double-circuit transmission line

三相交流輸電線路中的三相對(duì)稱電流IA、IB和IC幅值相等，相位相差120°，瞬時(shí)電流矢量和為零，即IA+IB+IC=0.因此，A、B、C三相導(dǎo)線中的電流可以表示為

(7)

其中，IS為電流強(qiáng)度有效值，φ為A相電流的相位角.

利用疊加原理，可計(jì)算三相輸電線產(chǎn)的總電磁場(chǎng)，即

(8)

(9)

(10)

式中Ij為第j根導(dǎo)線中的電流瞬時(shí)值，hj為第j根導(dǎo)線的離地高度，xj為第j根導(dǎo)線的相對(duì)橫坐標(biāo).

按照上述計(jì)算方法，我們考慮一個(gè)模型，架空雙回路三相輸電線位于一個(gè)均勻大地表面，各相線路的幾何分布參數(shù)如圖4所示，大地電阻率設(shè)為100 Ωm，三相電流有效值IS=500 A，并設(shè)A相的相位為0.設(shè)塔桿觸地點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，其中輸電線沿y軸無限延伸，x軸沿地面，z軸向下.因此，六條輸電線的坐標(biāo)和其中的瞬時(shí)電流如表1所示.

圖4 均勻半空間下的220 kV輸電線模型，圖中參數(shù) 表示輸電線位置，輸電線沿y軸方向延伸Fig.4 Illustrative model of 220 kV power line and uniform half-space earth. The parameters are roughly determined according to real situation, the power lines extend along y-axis

依據(jù)公式(7)—(10)則可計(jì)算該輸電線產(chǎn)生的電磁場(chǎng).圖5為沿x軸不同距離處，觀測(cè)點(diǎn)位于地面(z=0)、頻率為50 Hz時(shí)三個(gè)電磁場(chǎng)分量的分布情況.

圖5給出的輸電線電磁場(chǎng)隨觀測(cè)距離變化曲線表現(xiàn)出與單條導(dǎo)線很大的不同，主要包括：(1)電磁場(chǎng)值在隨距離變化時(shí)，某些距離處會(huì)發(fā)生變號(hào)現(xiàn)象，導(dǎo)致負(fù)值出現(xiàn)多處下沖，這是由不同相線的水平位置和高度不同導(dǎo)致的.McCollor等(1983)在野外實(shí)際觀測(cè)中，也發(fā)現(xiàn)了這種下沖現(xiàn)象.(2)大地電阻率給場(chǎng)值帶來的影響減弱，尤其是對(duì)近距離處的水平電場(chǎng)分量.(3)輸電線附近，都表現(xiàn)出先增強(qiáng)后減弱的趨勢(shì)，這與電力系統(tǒng)中模擬和觀測(cè)的結(jié)果一致.(4)相較于單條無限長(zhǎng)導(dǎo)線，輸電線產(chǎn)生的電磁場(chǎng)整體上衰減速度更快，這與電力行業(yè)中為降低工頻場(chǎng)強(qiáng)度采取特殊的相序排列方式有關(guān).

表1 各相線坐標(biāo)及瞬時(shí)電流值Table 1 Coordinate and instantaneous current for each phase line

3 討論

以往地球物理學(xué)者在計(jì)算輸電線電磁場(chǎng)時(shí)做了諸多假設(shè)，他們忽略了輸電線的實(shí)際排列形式，包括各相線的高度、間距、相序等，因此得到的電磁場(chǎng)隨距離的變化是近似平滑的指數(shù)衰減.但實(shí)際上，各相線空間位置的差異會(huì)導(dǎo)致疊加后的電磁場(chǎng)在很多距離處發(fā)生變號(hào)現(xiàn)象，造成一定范圍內(nèi)電磁場(chǎng)強(qiáng)度的突變.該現(xiàn)象即使在距離源較遠(yuǎn)處也會(huì)存在，因此不能像以往那樣認(rèn)為在遠(yuǎn)距離處觀測(cè)輸電線的相間距和高度可以忽略.因此，如果想利用輸電線電磁場(chǎng)進(jìn)行大地電性結(jié)構(gòu)探測(cè)，應(yīng)盡量避開上述電磁場(chǎng)強(qiáng)度突變的范圍.本文僅研究了單條、單方向延伸輸電線路時(shí)的情景，而實(shí)際情況中輸電線路可能會(huì)存在大角度彎曲或者在某個(gè)區(qū)域內(nèi)存在多條不同走向的輸電線路.這種不同方向電磁場(chǎng)的疊加，使得電磁場(chǎng)的分布更為復(fù)雜，有可能使得如上所述的變號(hào)現(xiàn)象消失，但是電磁場(chǎng)的不均勻變化仍然存在.此外，這種情況下，使得觀測(cè)更多方向的電磁場(chǎng)分量成為可能(McCollor et al.，1983).本文僅對(duì)工頻(50 Hz)電流引起的電磁場(chǎng)進(jìn)行了計(jì)算和分析，這是因?yàn)橐话闱闆r下該頻率電磁場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)最大.實(shí)際情況中，由于負(fù)載的作用，輸電線中還存在不同階次的諧波電流，如何確定諧波電流成分和大小，對(duì)諧次電磁場(chǎng)進(jìn)行準(zhǔn)確計(jì)算還需結(jié)合電力行業(yè)知識(shí)和技術(shù)手段開展進(jìn)一步研究.

實(shí)際輸電線產(chǎn)生的電磁場(chǎng)在一定距離處(一般約100 m)開始快速衰減，這與無限長(zhǎng)導(dǎo)線的情況基本類似，這主要是因?yàn)閷?dǎo)線中電流產(chǎn)生的一次場(chǎng)部分開始急劇減弱.根據(jù)天線理論，發(fā)射天線的物理尺寸只有達(dá)到或接近λ/4，才能使得電磁波空間發(fā)射能力最強(qiáng).對(duì)于頻率為50 Hz的工頻電磁場(chǎng)，對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)λ為6000 km.而實(shí)際上一條輸電線路均遠(yuǎn)小于此尺度，因此從電磁輻射理論上講輸電線路向周圍的電磁波發(fā)射能力極弱.對(duì)于輸電線路數(shù)十米或數(shù)百米的距離r處而言，r?λ，故輸電線路附近的電場(chǎng)和磁場(chǎng)呈現(xiàn)典型的“近場(chǎng)區(qū)”特征.

圖5 不同電阻率情況下輸電線產(chǎn)生的電磁場(chǎng) (a) Ey； (b) Hx； (c) Hz.Fig.5 The EM fields due to a transmission line and their variation with earth′s resistivity and observation distance

但從地球物理勘探角度來看，即使在很遠(yuǎn)處，輸電線產(chǎn)生的電磁場(chǎng)的強(qiáng)度仍大于天然電磁場(chǎng)的信號(hào)強(qiáng)度.以磁場(chǎng)強(qiáng)度為例，根據(jù)Campbell(2003)，全球范圍內(nèi)天然磁場(chǎng)在50 Hz左右處的平均強(qiáng)度約為n×10-7(A·m-1)，因此，對(duì)于本模型計(jì)算的結(jié)果，輸電線產(chǎn)生的磁場(chǎng)強(qiáng)度在2 km范圍內(nèi)都強(qiáng)于天然磁場(chǎng).這也是為什么在進(jìn)行大地電磁法觀測(cè)時(shí)，一般要求離輸電線的距離大于500 m.電磁法的另一種工作形式是采用人工源激勵(lì)電磁場(chǎng)，我們對(duì)比了一個(gè)典型人工源(長(zhǎng)度2 km，電流20 A)在100 Ωm均勻大地中產(chǎn)生的信號(hào)與輸電線電磁場(chǎng)的信號(hào)強(qiáng)度，如圖6所示.可見，在約200 m范圍內(nèi)，輸電線的場(chǎng)強(qiáng)度要強(qiáng)于有限可控源的.特別是隨著輸電線等級(jí)增大，三相線中的有效電流更大，產(chǎn)生的電磁場(chǎng)幅值也更強(qiáng).同時(shí)，由于負(fù)載的作用，線路中還會(huì)存在零序(不平衡)電流， 加上不同方位多條輸電線場(chǎng)值的疊加，實(shí)際的情況下工頻電磁場(chǎng)的強(qiáng)度更高.這也是為什么某些地區(qū)在離主輸電線十幾公里外，仍能觀測(cè)到明顯強(qiáng)于背景電磁信號(hào)強(qiáng)度的原因.

圖6 輸電線與人工源產(chǎn)生的垂直磁場(chǎng)分量強(qiáng)度對(duì)比Fig.6 Comparison of vertical magnetic field due to power lines and finite controlled source

4 結(jié)論

隨著國(guó)民經(jīng)濟(jì)建設(shè)和現(xiàn)代化工業(yè)的快速發(fā)展，各種等級(jí)的輸電線網(wǎng)絡(luò)已幾乎覆蓋全國(guó)土范圍，給電磁法探測(cè)帶來了嚴(yán)峻挑戰(zhàn)，必須考慮輸電線產(chǎn)生的電磁場(chǎng).以往獲得該電磁場(chǎng)特征的一種手段是采用儀器觀測(cè)，但這只能獲得稀疏點(diǎn)的信號(hào)，不能對(duì)其整體的變化趨勢(shì)做出細(xì)致刻畫，且由于儀器的動(dòng)態(tài)范圍有限，輸電線近距離處的電磁信號(hào)難以準(zhǔn)確獲??；另一種手段是通過數(shù)值計(jì)算，但以往工作中做了大量的近似和忽略，得到的電磁場(chǎng)隨x軸方向距離增大呈光滑的指數(shù)衰減特征.而電力行業(yè)中的方法僅考慮輸電線中電流的一次場(chǎng)，忽略大地電性對(duì)電磁的貢獻(xiàn)，且僅對(duì)輸電線附近的場(chǎng)感興趣.

本文在考慮大地電阻率和輸電線實(shí)際排列形式的前提下，對(duì)輸電線產(chǎn)生的電磁場(chǎng)進(jìn)行了計(jì)算，并討論了其空間變化特征，獲得了與以往不同的結(jié)果和認(rèn)識(shí).結(jié)果表明，實(shí)際輸電線產(chǎn)生的電磁場(chǎng)與傳統(tǒng)上基于單條無限長(zhǎng)導(dǎo)線獲得的結(jié)果并不一致，各相線空間位置會(huì)導(dǎo)致疊加后的電磁場(chǎng)在多處存在變號(hào)現(xiàn)象，使得電磁場(chǎng)隨距離并不是光滑衰減.且實(shí)際輸電線產(chǎn)生的電磁場(chǎng)隨距離增大整體上衰減的速度更快.雖然如此，輸電線產(chǎn)生的電磁場(chǎng)在強(qiáng)度上很大范圍內(nèi)仍強(qiáng)于天然電磁場(chǎng)和人工源激勵(lì)的電磁場(chǎng)強(qiáng)度.本文給出的輸電線工頻電磁場(chǎng)計(jì)算方法與結(jié)論，可為野外電磁法數(shù)據(jù)采集和數(shù)據(jù)處理提供一定的幫助.

附錄A 鏡像法計(jì)算無限長(zhǎng)導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場(chǎng)

大地上方架空無限長(zhǎng)導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場(chǎng)還可以采用鏡像源的方法進(jìn)行計(jì)算，即認(rèn)為空間某處的磁場(chǎng)為導(dǎo)線源及其在地下一定深度處的鏡像源產(chǎn)生的磁場(chǎng)之和(EPRI，2005).如圖A1所示，均勻大地表面上方存在一條沿y軸無限延伸的電流源I，坐標(biāo)為(x0,z0)，此時(shí)觀測(cè)點(diǎn)(x,z)處的磁場(chǎng)為電流源I及其在地下深度d處鏡像電流源I′產(chǎn)生的磁場(chǎng)之和，其中鏡像源中的電流大小與I相等但方向相反.

依據(jù)畢-奧薩伐爾定律便可計(jì)算得到空間任意一點(diǎn)的磁場(chǎng)強(qiáng)度：

附圖A1 鏡像源法計(jì)算磁場(chǎng)示意圖 AppendixFig.A1 Diagram of image source theory for calculating magnetic filed

(A1)

(A2)

鏡像源的深度是保證計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確性的關(guān)鍵因素.學(xué)術(shù)上鏡像導(dǎo)線源深度d主要有兩種算法.一種按下式計(jì)算：

(A3)

式中ρ為大地電阻率，f為電流頻率.

(A4)

利用鏡像法對(duì)文中第1節(jié)中的模型進(jìn)行計(jì)算，并與圖2b和圖2c所示結(jié)果進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證，如圖A2所示.這里僅考慮了半空間電阻率為100 Ωm的情況.圖中d1代表采用公式(A3)計(jì)算的鏡像源深度，d2代表采用公式(A4)計(jì)算的鏡像源深度.可以看出，鏡像源方法與數(shù)值算法得到的磁場(chǎng)在近距離處基本能夠吻合，但隨著觀測(cè)點(diǎn)距離增大，兩者的差別逐漸增大.這是因?yàn)殡S著距離增大，大地介質(zhì)產(chǎn)生的感應(yīng)場(chǎng)在總場(chǎng)中所占比例也越來越大，鏡像源假設(shè)帶來的誤差也就越來越明顯.

附圖A2 鏡像源法與數(shù)值法計(jì)算結(jié)果對(duì)比 AppendixFig. A2 Comparison of results between image source and numerical techniques