汪忠海，羅晉楠，張濟(jì)民

（1.中車長春軌道客車股份有限公司上海工程技術(shù)研究中心，上海 310112；2.同濟(jì)大學(xué)鐵道與城市軌道交通研究院，上海 201804）

1 概述

軌道不平順指的是軌道的尺寸、形狀與理想位置的偏差[1]。它可以分為幾何不平順和彈性不平順，幾何不平順是指線路上沒有車輛運(yùn)行工況下，軌道自身的不平順，而彈性不平順指線路上由車輛運(yùn)行的工況下，軌道產(chǎn)生的不平順。軌道不平順狀態(tài)對(duì)車輛運(yùn)行時(shí)的舒適度、噪音、安全等都有著重要的影響[2]。

目前，計(jì)算軌道不平順的方法主要有2種：慣性基準(zhǔn)法和弦測(cè)法[3]。慣性基準(zhǔn)法主要是根據(jù)獲取的加速度值換算成軌道的不平順位移，包括慣性位移法、軸箱加速度積分法等。弦測(cè)法主要是根據(jù)對(duì)位移量的測(cè)量結(jié)果換算出軌道不平順的位移，包括兩點(diǎn)差分法、三點(diǎn)中弦法等。國內(nèi)外根據(jù)這些方法和原理，采取了不同的方式實(shí)現(xiàn)對(duì)軌道不平順的測(cè)量。當(dāng)前，國內(nèi)外已經(jīng)開發(fā)出一些測(cè)量軌道不平順的設(shè)備[3?5]，如：德國的mbbmRM1200E，該設(shè)備安裝有多個(gè)接觸式探頭，設(shè)備沿軌道移動(dòng)時(shí)探頭獲取鋼軌外形數(shù)據(jù)測(cè)量軌道不平順。但是該設(shè)備使用時(shí)需要緩慢推行，測(cè)量速度較慢；英國的CAT（Corrugation Analysis Trolley）測(cè)量設(shè)備，在小車上安裝加速度測(cè)量裝置，小車沿軌道行駛時(shí)測(cè)量與軌道接觸的加速度，經(jīng)過換算從而得到軌道不平順，這種測(cè)量方法有測(cè)量快速、使用便捷等特點(diǎn)；我國的GJ?4 型檢測(cè)系統(tǒng)，通過激光攝像組件、加速度傳感器等部件采集的數(shù)據(jù)進(jìn)行綜合分析，得到軌道不平順。

圖1 國外軌道不平順檢測(cè)設(shè)備Fig.1 Foreign Track Irregularity Testing Equipment

基于軸箱加速度對(duì)軌道不平順的狀態(tài)進(jìn)行計(jì)算進(jìn)行研究。通過慣性基準(zhǔn)法，利用在車輛軸箱上安裝傳感器所測(cè)得的加速度，計(jì)算出軌道的不平順數(shù)據(jù)。通過慣性基準(zhǔn)法測(cè)量得到的不平順數(shù)據(jù)是軌道的彈性不平順，其本質(zhì)上是列車受到軌道不平順激勵(lì)之后輪對(duì)的位移，相比于使用軌道檢測(cè)設(shè)備檢測(cè)得到的軌道幾何不平順數(shù)據(jù)，彈性不平順對(duì)線路和車輛的評(píng)估更具有參考意義。同時(shí)該方法可以實(shí)現(xiàn)對(duì)整條運(yùn)營線路的快速檢測(cè)，具有成本優(yōu)勢(shì)和效率優(yōu)勢(shì)。

2 數(shù)學(xué)模型

軌道的不平順其本質(zhì)上是一個(gè)隨機(jī)過程，是里程的隨機(jī)函數(shù)[6?5]。軌道不平順通過輪軌剛性接觸向上傳遞所激發(fā)出軸箱的振動(dòng)，是一種隨機(jī)振動(dòng)[7]。軌道車輛一般使用剛性輪對(duì)，輪對(duì)自身剛度較大，車輪和軌道之間近似看作為剛性接觸[8]，即鋼軌的不平順偏移能夠直接的傳遞到車體的輪對(duì)和軸箱上，因此通過對(duì)軸箱加速度的換算可以得到軌道的不平順。目前可以加速度到不平順的計(jì)算主要分成兩種方法，一種是在頻域上對(duì)加速度信號(hào)進(jìn)行處理并計(jì)算成頻域上的位移信息，再變換回時(shí)域；另一種是在時(shí)域上直接采用積分方式將加速度信號(hào)換算成位移信息。

基于頻域的軌道不平順計(jì)算方法，將軸箱加速度的時(shí)域信號(hào)轉(zhuǎn)換成為頻域的信號(hào)，通過計(jì)算可以得到頻域上的位移信號(hào)。假設(shè)采樣得到的離散隨機(jī)加速度信號(hào)為a（n），n=1，2……N?1。

首先通過快速傅里葉變換變換，可以將時(shí)域的a（n）信號(hào)換算成頻域信號(hào)A（k）：

k=0，1，2……（N?1），k點(diǎn)的頻率為：

式中：N—采樣點(diǎn)數(shù)；F—采樣頻率。

根據(jù)時(shí)域中積分法在頻域中對(duì)應(yīng)的實(shí)現(xiàn)方法，可以將頻域中的加速度信號(hào)A（k）經(jīng)過兩次積分得到位移的頻域信號(hào)Y（k）：

在對(duì)車體進(jìn)行頻域的動(dòng)力學(xué)計(jì)算或分析時(shí)，可以使用Y（k）作為頻域的軌道譜，如果需要時(shí)域的結(jié)果，可以通過傅里葉逆變換從而計(jì)算得到，并且由于計(jì)算使用復(fù)數(shù)域進(jìn)行計(jì)算，因此在逆變換時(shí)不會(huì)丟失相位信息：

基于時(shí)域的軌道不平順計(jì)算方法，與頻域法近似，當(dāng)獲取到軸箱加速度后，可通過時(shí)域上兩次積分從而獲得假設(shè)采樣得到的離散隨機(jī)加速度信號(hào)為a（n），n=1，2……N?1。

首先通過離散積分將加速度信號(hào)轉(zhuǎn)化為速度信號(hào)，之后再進(jìn)行一次積分轉(zhuǎn)化成位移信號(hào)。對(duì)于離散點(diǎn)的數(shù)值積分方法有很多，如：中點(diǎn)公式，梯形公式，辛普森公式，復(fù)合辛普森公式等。

本文中以辛普森公式為例對(duì)離散信號(hào)進(jìn)行分析。辛普森（Simpson）公式又稱為拋物型公式，其表達(dá)式為：

辛普森公式計(jì)算的誤差R［f］為：

其中，ξ∈(a,b)。

辛普森公式為3次代數(shù)精度的求積公式，即對(duì)于3次及以下次數(shù)的多項(xiàng)式，辛普森公式能夠保證其沒有誤差。對(duì)于測(cè)量得到的振動(dòng)數(shù)據(jù)，其實(shí)質(zhì)是一種隨機(jī)函數(shù)，因此使用辛普森積分必定存在誤差。但是辛普森公式相比于中點(diǎn)公式梯形公式，其代數(shù)精度較高。對(duì)于離散積分而言，代數(shù)誤差是不可避免的，綜合考慮到計(jì)算復(fù)雜性和誤差大小，一般使用辛普森公式進(jìn)行離散積分。辛普森公式其本質(zhì)相當(dāng)于對(duì)當(dāng)前計(jì)算的點(diǎn)和該點(diǎn)的前后點(diǎn)，共三點(diǎn)進(jìn)行二次插值擬合，然后根據(jù)擬合后的函數(shù)進(jìn)行積分計(jì)算，并對(duì)信號(hào)中每個(gè)點(diǎn)都進(jìn)行該操作從而實(shí)現(xiàn)整體數(shù)據(jù)的積分。對(duì)原始信號(hào)使用更高階的公式進(jìn)行離散積分，反而可能會(huì)由于對(duì)離散點(diǎn)的過擬合導(dǎo)致積分結(jié)果不準(zhǔn)確。將a（n）兩次帶入辛普森公式，如式（7）所示。

式中：t—采樣間隔；v（k）—離散速度；y（k）—離散位移。

使用加速度傳感器進(jìn)行積分時(shí)，加速度的誤差會(huì)累計(jì)，當(dāng)速度積分成為加速度時(shí)，誤差會(huì)再次累計(jì)，累積的誤差會(huì)導(dǎo)致計(jì)算得到的位移產(chǎn)生連續(xù)的偏移，即趨勢(shì)項(xiàng)[9]。軌道不平順的值本應(yīng)是離散的隨機(jī)函數(shù)，積分后的結(jié)果不應(yīng)產(chǎn)生趨勢(shì)項(xiàng)，因此需要對(duì)積分計(jì)算得到的位移函數(shù)進(jìn)行修正，去除其趨勢(shì)項(xiàng)。在實(shí)際操作中，可以在計(jì)算v（n）和y（n）積分后時(shí)分別去除其趨勢(shì)項(xiàng)，但是其實(shí)質(zhì)與在y（n）處去除一個(gè)包含更高階次的趨勢(shì)項(xiàng)等效。這里直接去除y（n）的趨勢(shì)項(xiàng)，設(shè)定趨勢(shì)項(xiàng)階次為4階。設(shè)趨勢(shì)項(xiàng)δ的表達(dá)式為：

通過最小二乘法擬合y（n）確定A的值，如式（9）所示：

其中，

去掉趨勢(shì)項(xiàng)后即可得到修正后的結(jié)果，即軌道的不平順位移：

對(duì)加速度度信號(hào)積分后對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行濾波也可以消除加速度信號(hào)的誤差積累[10?11]，而文中使用通過對(duì)積分曲線擬合去除趨勢(shì)項(xiàng)的方法。兩種方法的目的都是為了去除加速度儀器測(cè)量時(shí)積累的誤差。此外，經(jīng)過兩次積分后，理論上得到的位移信號(hào)和加速度信號(hào)會(huì)有180度的相位差，由于軌道的不平順是一組隨機(jī)序列，其中包含多個(gè)頻段，其波長不同，不同頻段的信號(hào)積分后因?yàn)橄辔徊钏鶎?dǎo)致的偏移量不同，因此也會(huì)造成一定程度上的誤差，但是該誤差僅在時(shí)域上體現(xiàn)，不會(huì)對(duì)功率譜的分析造成影響。

3 實(shí)驗(yàn)及數(shù)據(jù)處理

為驗(yàn)證第一章節(jié)所描述的兩種方法，在某大學(xué)軌道交通試驗(yàn)線上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。本章主要介紹實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的獲取和測(cè)量數(shù)據(jù)的預(yù)處理。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)獲取，在試驗(yàn)線軌道車輛模型的軸箱上安裝無線加速度傳感器進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，該車輛結(jié)構(gòu)和傳感器安裝位置，如圖2所示。

圖2 軌道車輛模型Fig.2 Rail Vehicle Model

正式測(cè)試前，將車輛模型靜置，記錄一組車輛不工作狀態(tài)時(shí)的加速度信息。然后，控制模型車輛電機(jī)按照恒定速度行駛，當(dāng)模型車啟動(dòng)至平穩(wěn)運(yùn)行后，開始記錄數(shù)據(jù)。

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)預(yù)處理，在加速度傳感器使用時(shí)，由于傳感器自身的元器件屬性，設(shè)備和周邊環(huán)境等因素的影響，傳感器自身存在一定的零點(diǎn)漂移和噪聲誤差。若不對(duì)零點(diǎn)漂移進(jìn)行處理，在兩次積分的過程中將勢(shì)必產(chǎn)生嚴(yán)重的誤差累積。因此在使用加速度測(cè)量結(jié)果計(jì)算軌道不平順前，需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理以減少傳感器的誤差，濾除無效的數(shù)據(jù)。方框框出的部分即為車輛靜止?fàn)顟B(tài)下測(cè)得的數(shù)據(jù)，右端為車輛啟動(dòng)后的加速度信息，如圖3（a）所示。當(dāng)車輛靜止時(shí)，實(shí)際測(cè)得信號(hào)均值發(fā)生了明顯的偏移，加速度信號(hào)均值為不為零，即發(fā)生了零點(diǎn)漂移。

圖3 數(shù)據(jù)處理前后加速度信號(hào)Fig.3 Acceleration Signal Before and After Data Processing

在對(duì)運(yùn)行加速度的信號(hào)處理時(shí)，需要首先去除傳感器的零點(diǎn)漂移，即將車輛穩(wěn)定行駛后測(cè)量的數(shù)據(jù)減去對(duì)應(yīng)靜止時(shí)測(cè)量得到的加速度平均值。選取一段穩(wěn)定運(yùn)行后的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，結(jié)果，如圖3（b）所示。

4 軸箱加速度信號(hào)分析

根據(jù)第二章的時(shí)域和頻域計(jì)算方法，分別對(duì)測(cè)量的加速度進(jìn)行計(jì)算。通過時(shí)域法對(duì)軸箱加速度信號(hào)進(jìn)行積分的結(jié)果，如圖4所示，虛線表示兩次積分后的位移，實(shí)線表示對(duì)該位移進(jìn)行四次多項(xiàng)式擬合得到的趨勢(shì)項(xiàng)，橫坐標(biāo)為采樣點(diǎn)數(shù)。對(duì)軸箱的垂向加速度計(jì)算得到的結(jié)果，如圖4（a）所示。對(duì)軸箱橫向加速度計(jì)算得到的結(jié)果，如圖4（b）所示。

圖4 位移積分結(jié)果及擬合曲線Fig.4 Integral Result of Displacement and Fitting Curves

可見，即使將信號(hào)的零點(diǎn)漂移去除，對(duì)加速度傳感器采集到的信號(hào)進(jìn)行積分的過程中依舊會(huì)產(chǎn)生誤差的積累，因此在進(jìn)行過零點(diǎn)漂移的修正后，去除趨勢(shì)項(xiàng)造成的誤差也是有必要的。圖4中δ即通過式（9）計(jì)算得到的趨勢(shì)項(xiàng)與對(duì)應(yīng)采樣點(diǎn)之間的關(guān)系，將計(jì)算數(shù)值減去對(duì)應(yīng)擬合結(jié)果進(jìn)而得到不平順的修正結(jié)果，如圖6中實(shí)線所示。

將同一段數(shù)據(jù)通過FFT轉(zhuǎn)換到頻域上進(jìn)行計(jì)算，得到加速度和位移結(jié)果，其功率譜，如圖5所示。圖5（a）為軸箱垂向加速度的頻域數(shù)據(jù)，圖5（b）為同一時(shí)刻軸箱橫向加速度的頻域數(shù)據(jù)。

圖5 頻域法中加速度和位移的FFT圖像Fig.5 Acceleration and Displacement FFT Result Calculated in Frequency Domain

頻域和時(shí)域內(nèi)的計(jì)算結(jié)果對(duì)比，如圖6所示，其中圖6（a）是軌道橫向不平順位移，圖6（b）是軌道垂向不平順位移。實(shí)線是在時(shí)域內(nèi)計(jì)算的結(jié)果，虛線是在頻域內(nèi)計(jì)算的結(jié)果。不難發(fā)現(xiàn)，時(shí)域和頻域上的計(jì)算結(jié)果不平順幅值相近，但不平順分布具有一定的差距，特別是橫向加速度計(jì)算得到的結(jié)果相差較大，且在頻域計(jì)算得到的結(jié)果其不平順主要集中于低頻部分。這是因?yàn)樵陬l域中將加速度積分成位移信號(hào)的過程中，如式（3）所示，每個(gè)頻率對(duì)應(yīng)的信號(hào)乘以轉(zhuǎn)換系數(shù)得到對(duì)應(yīng)頻率下的位移信號(hào)。

對(duì)于高頻信號(hào)對(duì)應(yīng)的系數(shù)很小，而低頻信號(hào)對(duì)應(yīng)的系數(shù)則非常大。由于采樣點(diǎn)是離散的，采樣的過程中會(huì)造成真實(shí)數(shù)據(jù)的丟失，在對(duì)頻域信號(hào)進(jìn)行積分的過程中，放大的信號(hào)不是真實(shí)的信號(hào)而是丟失了部分?jǐn)?shù)據(jù)的采樣信號(hào)，最后導(dǎo)致積分的結(jié)果并不精確，所以通過頻域計(jì)算的結(jié)果中信號(hào)低頻能量較大，而高頻信號(hào)能量較低。將頻域的計(jì)算結(jié)果在反演回時(shí)域的信號(hào)后，信號(hào)的中高頻成分較少，如圖6虛線所示。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，相比于在時(shí)域上進(jìn)行積分計(jì)算，頻域的計(jì)算效果不佳。

圖6 軌道不平順位移計(jì)算結(jié)果Fig.6 Track Irregularity Result Calculated in Time and Frequency Domain

影響列車動(dòng)力學(xué)性能的頻率主要分布在低頻頻段，若計(jì)算出軌道譜的低頻信號(hào)發(fā)生失真，對(duì)會(huì)大大影響后續(xù)車輛動(dòng)力學(xué)分析的準(zhǔn)確性，建議在時(shí)域上計(jì)算軌道不平順。

5 結(jié)語

這里根據(jù)軸箱上的加速度信號(hào)，分別在時(shí)域和頻域內(nèi)進(jìn)行積分計(jì)算得到了橫向和垂向的軌道不平順。經(jīng)試驗(yàn)表明，軸箱上的加速度信號(hào)經(jīng)過處理后能夠較好的反映出車輛行駛所經(jīng)過軌道的不平順信息，并且在時(shí)域上通過積分和去除趨勢(shì)項(xiàng)計(jì)算得到的軌道不平順相比于頻域上的計(jì)算結(jié)果更加可靠，對(duì)車輛和線路的評(píng)估具有重要參考意義。