李海濤，馬 軍

（陜西科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，陜西 西安 710021）

1 引言

并聯(lián)機(jī)器人，與串聯(lián)機(jī)器人相比，具有閉鏈約束是并聯(lián)機(jī)器人在結(jié)構(gòu)方面最大特點(diǎn)，不僅抵消了誤差累積效應(yīng)，且運(yùn)動(dòng)慣量低、負(fù)載能力強(qiáng)、剛度大，使并聯(lián)機(jī)器人成為潛在的高速度、高精度運(yùn)動(dòng)平臺(tái)。六自由度平臺(tái)實(shí)物[1]，如圖1所示。其結(jié)構(gòu)，如圖2所示

圖1 六自由度機(jī)械平臺(tái)實(shí)物圖Fig.1 Physical Drawing of 6-DOF Mechanical Platform

圖2 機(jī)械平臺(tái)結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Structural Drawing of Mechanical Platform

六自由度并聯(lián)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的空間解析正解的求解一直是一大難點(diǎn)，至今仍不完善。當(dāng)下，并聯(lián)機(jī)器人正解常用解析法和數(shù)值法。文獻(xiàn)[2]只是對(duì)正解方法和現(xiàn)狀及原因做了簡單的描述；文獻(xiàn)[3-8]等提出的求解方法存在適用性差、計(jì)算復(fù)雜、效率低、仿真模型不完整等缺點(diǎn)。文獻(xiàn)[9]采用雙鏈交叉算子的遺傳算法較精確地控制并聯(lián)機(jī)器人，但其實(shí)時(shí)性不強(qiáng)，不能達(dá)到快速準(zhǔn)確的效果；文獻(xiàn)[10]采用粒子群算法求解正解，但較復(fù)雜，很難快速得到結(jié)果。

六自由度并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)仿真，很多研究人員用的是AD‐MAS、Solidworks、UG等[11]，但有建模復(fù)雜、運(yùn)動(dòng)參數(shù)調(diào)整不靈活等缺點(diǎn)。其次，MATALB自帶的Stewart仿真模型內(nèi)部系統(tǒng)設(shè)計(jì)復(fù)雜，運(yùn)算有延遲。

鑒于此，采用隱函數(shù)圖解法編寫MATALB程序，進(jìn)而快速解算平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解，能在1s內(nèi)解算出結(jié)果，并且對(duì)比計(jì)算誤差僅在0.05%內(nèi)。又通過建立MATLAB∕SimMechanics模型進(jìn)行實(shí)例模擬，結(jié)果與預(yù)設(shè)軌跡基本吻合，進(jìn)一步驗(yàn)證了方法的正確性與可靠性，同時(shí)有助于對(duì)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)實(shí)時(shí)控制。

2 運(yùn)動(dòng)學(xué)建模與求解

六自由度并聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析包含坐標(biāo)變換及位姿正反解。

2.1 移動(dòng)坐標(biāo)變換

高度不變時(shí)，上平臺(tái)從初始位置沿直線向任意方向平行移動(dòng)到某一個(gè)位置時(shí)六根支桿的長度隨位移變化的情況。

設(shè)分別沿X、Y、Z軸平移r、q、s，則平移后

2.1.1 高度不變，已知移動(dòng)的中心點(diǎn)求桿長—反解

（1）建系：以固定平臺(tái)的中心為原點(diǎn)，所在面為X O Y面，由右手定則Z軸向上。設(shè)定兩個(gè)距離近的萬向節(jié)之間的夾角為θA，下固定平臺(tái)的半徑為R，上平臺(tái)的半徑為r。

（2）固定平臺(tái)的6個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)空間坐標(biāo)分別為：

（3）假定平臺(tái)高度為h，為便于建系，設(shè)定上下平臺(tái)連接的兩個(gè)萬向節(jié)夾角為30°，用AutoCAD畫出上下平臺(tái)俯視圖，如圖3所示。對(duì)于上面的平臺(tái)的6個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)的空間坐標(biāo)分別為：

圖3 上下平臺(tái)俯視圖Fig.3 Top View of Upper and Lower Platform

（4）當(dāng)h不變及下平臺(tái)固定（下平臺(tái)固定中心坐標(biāo)為O A(0，0，0)，上平臺(tái)原中心坐標(biāo)為O B(0，0，h)）時(shí)，上平臺(tái)水平向任意方向移動(dòng)，如圖4所示。假設(shè)移至空間坐標(biāo)點(diǎn)O1(x0，y0，h)，則方 向 向 量已 知，且 移 動(dòng) 距 離 為已 知 ，則且平移方向的夾角為

圖4 平臺(tái)移動(dòng)圖Fig.4 Platform Mobility

對(duì)于B1點(diǎn)，設(shè)B'1(x1，y1，h)，則x1=0+Ssin?，y1=-r+Scos?，h不變。故，

（6）為避免公式推算繁瑣，利用MATLAB編程對(duì)實(shí)例進(jìn)行數(shù)值求解。編寫function函數(shù)，theta_A=pi∕7，theta_B=pi∕7，h=15，R=20，r=10，x0=1，y0=0時(shí)，L1=18.8921，L2=19.6445，L3=19.9897，L4=20.6488，L5=19.5517，L6=20.6766。

2.1.2 高度不變，已知桿長求移動(dòng)的中心點(diǎn)—正解

利用MATLAB中的隱函數(shù)符號(hào)變量計(jì)算，但收斂速度慢，故修改solve的誤差限，用2.1.1中的桿長，求得中心坐標(biāo)，如圖5所示。并對(duì)比正反解數(shù)據(jù)，如表1所示。

圖5 位置逆解隱函數(shù)圖Fig.5 Implicit Function Graph of Inverse Position Solution

表1 正解精確度Tab.1 Precision of Positive Solution

數(shù)據(jù)分析：在表1正反解結(jié)果對(duì)比中，由于計(jì)算數(shù)據(jù)保留精度的影響，保留4位小數(shù)得出的誤差僅在0.05%內(nèi)，說明方法可行，求解結(jié)果準(zhǔn)確度高。

2.2 旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換

上平臺(tái)在初始狀態(tài)下與下平臺(tái)平行，描述在保持上平臺(tái)初始中心位置不變的情況下，向任意方向傾斜某一角度，此時(shí)六根支桿的長度隨傾角變化的情況。

畫出同一坐標(biāo)系中的原始坐標(biāo)和旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)，如圖6所示。

圖6 坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)Fig.6 Coordinate Rotation

繞Z軸旋轉(zhuǎn)：原始坐標(biāo)為XOY，繞Z軸旋轉(zhuǎn)γ度得到坐標(biāo)系X'O Y'。Q'為坐標(biāo)變換Q對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，即Q'=R Z,γQ，則

同時(shí)，坐標(biāo)系繞X軸旋轉(zhuǎn)角度α的變換矩陣為：

坐標(biāo)系繞Y軸旋轉(zhuǎn)角度β的變換矩陣為：

故總坐標(biāo)系變換矩陣為：

2.3 復(fù)合姿態(tài)

復(fù)合姿態(tài)包含坐標(biāo)軸方向的運(yùn)動(dòng)、繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的運(yùn)動(dòng)及通過某一指定路徑實(shí)現(xiàn)該姿態(tài)。

復(fù)合運(yùn)動(dòng)變換=旋轉(zhuǎn)矩陣+平移矩陣=R[x0，y0，z0]T+T，式中：T=［XT，Y T，ZT］T，XT，YT，Z T分別是沿X、Y、Z軸移動(dòng)距離。

3 運(yùn)動(dòng)控制與MATLAB∕SimMechanics仿真

SimMechanics擁有一系列的模塊庫，機(jī)械模型和仿真工具。故采用科學(xué)計(jì)算軟件MATLAB中Simulink的SimMechanics對(duì)并聯(lián)機(jī)器人進(jìn)行動(dòng)態(tài)仿真。機(jī)器人仿真系統(tǒng)原理圖，如圖7所示。

3.1 建立機(jī)械系統(tǒng)模型

3D模型最終可視化動(dòng)畫化效果圖，如圖8所示?？梢詮牟煌慕嵌瓤刂剖髽?biāo)進(jìn)行查看平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)。桿伸縮量結(jié)算模塊圖，如圖9所示。編寫function函數(shù)leg_length.m計(jì)算。其中，軌跡規(guī)劃部分，如圖10所示，軌跡規(guī)劃作為輸入，輸出為桿伸縮量。用Goto模塊（圖9）和From模塊（圖12）代替信號(hào)連接線。

圖8 MATLAB仿真三維模型可視化Fig.8 Visualization of 3D in MATLAB Simulation

圖9 桿伸縮量結(jié)算模塊Fig.9 Rod Expansion Settlement Module

圖10 軌跡規(guī)劃器Fig.10 Trajectory Planner

3.2 執(zhí)行機(jī)構(gòu)模型

建立平臺(tái)與支鏈之間的機(jī)械關(guān)系，如圖11所示。上下平臺(tái)的參數(shù)通過編制m文件設(shè)置計(jì)算得出，并在CS1至CS6設(shè)定參數(shù)。運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的坐標(biāo)檢測(cè)傳感器用Body Sensor模塊，將其連接到剛體的附加輸出端，用以檢測(cè)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的位置、速度等信息，并且可后接示波器顯示出來。Env模塊定義環(huán)境參數(shù)。

圖11 執(zhí)行機(jī)構(gòu)Simulink模塊總圖Fig.11 General Drawing of Simulink Module of Actuator

以桿4為例，桿件4支鏈模型，如圖12所示。上下桿用Body模塊表示為實(shí)體，Revolute模塊為轉(zhuǎn)動(dòng)副，約束兩個(gè)實(shí)體間只有轉(zhuǎn)動(dòng)。Cylindrical模塊為柱面副，代表缸（介質(zhì)為液或電或氣）內(nèi)既可以轉(zhuǎn)動(dòng)又可以移動(dòng)。

圖12 桿4支鏈模型連接圖Fig.12 Connection Diagram of Rod 4 Branch Chain Model

其中，S輸入模塊，如圖13所示。驅(qū)動(dòng)器Joint Actuator驅(qū)動(dòng)桿運(yùn)動(dòng)。

圖13 S輸入驅(qū)動(dòng)模塊圖Fig.13 Input Driver Module Diagram

3.3 數(shù)據(jù)模擬實(shí)證

MATLAB仿真獲得的Y坐標(biāo)隨時(shí)間的變化曲線，如圖14所示。軌跡輸入為斜坡函數(shù)，得到的軌跡與預(yù)設(shè)軌跡相符，說明仿真結(jié)果和解算方法較為理想，軌跡跟蹤效果良好，滿足預(yù)設(shè)系統(tǒng)要求。

圖14 數(shù)據(jù)實(shí)例模擬Fig.14 Data Instance Simulation

4 結(jié)束語

主要對(duì)Stewart型六自由度并聯(lián)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)正解研究，首先建立了運(yùn)動(dòng)平臺(tái)空間運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型，提出一種新的正解方法——隱函數(shù)圖解法，通過MATALB程序求解可快速獲得末端執(zhí)行器的位姿序列。通過數(shù)值模擬驗(yàn)證，結(jié)果表明，該方法運(yùn)算效率更高，且誤差在0.05%內(nèi)。之后，建立了MATLAB∕Sim‐Mechanics模型，設(shè)計(jì)了平臺(tái)軌跡規(guī)劃（即軌跡的設(shè)定與約束），其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)參數(shù)均可實(shí)現(xiàn)靈活調(diào)控，同時(shí)又可實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)姿態(tài)可視化，具有Solidworks等軟件不可比擬的優(yōu)越性，經(jīng)過數(shù)值模擬驗(yàn)證，其軌跡與預(yù)設(shè)軌跡的一致性非常好，與傳統(tǒng)方法相比，其對(duì)平臺(tái)的實(shí)時(shí)控制更加高效準(zhǔn)確。該項(xiàng)研究對(duì)于并聯(lián)機(jī)器人的正解求解提供了新的思路，有助于這一難點(diǎn)的進(jìn)一步突破，對(duì)Stewart型平臺(tái)運(yùn)動(dòng)分析與控制具有很大的指導(dǎo)意義。