孫旗霞 莊建宏 劉百誠 沈振興

1) (沈陽理工大學裝備工程學院,沈陽 110159)

2) (蘭州空間技術物理研究所，空間環(huán)境材料行為及評價重點實驗室,蘭州 730000)

3) (燕山大學，河北省重型裝備與大型結構力學可靠性重點實驗室,秦皇島 066004)

絕緣顆粒系統(tǒng)的摩擦帶電現(xiàn)象是一種普遍現(xiàn)象,但至今仍未得到很好的認識.月球及火星表面漂浮著大量塵埃顆粒,這將嚴重影響探測設備的太陽能帆板、散熱和觀察系統(tǒng)等的正常工作.近年來,電簾除塵方法被認為是在月表進行塵埃防護的有效手段,研究表明顆粒表面摩擦帶電對月塵靜電來源貢獻最大,因此正確理解顆粒摩擦帶電的機理對分析塵埃顆粒的運動規(guī)律至關重要.本文建立了一個基于高能態(tài)電子假定的分析模型來預測顆粒間的摩擦電荷分布.計算了顆粒摩擦生電與顆粒粒度的依賴關系,以及粒度范圍對摩擦電荷產(chǎn)生的概率大小的影響.揭示了電荷分布的一個上限,并討論了可能的原因.對粒子碰撞過程中的電荷轉(zhuǎn)移進行了粒子動力學模擬,驗證了理論預測結果.

1 引言

自然界中,絕緣顆粒系統(tǒng)內(nèi)部顆粒的摩擦帶電是一種非常普遍的自然現(xiàn)象,如在沙塵暴以及火山噴發(fā)過程中,經(jīng)常會發(fā)現(xiàn)強大的電場存在[1?4].除了這些自然現(xiàn)象之外,在工業(yè)生產(chǎn)過程中,摩擦生電的現(xiàn)象也屢見不鮮,比如藥品粉末的擴散、除塵、以及顆粒的提取和分離等[5?7]過程中,都會存在摩擦生電.因此弄清顆粒流帶電機理對工業(yè)生產(chǎn)以及環(huán)境保護等都有著十分重要的意義.此外,月球及火星表面漂浮著大量塵埃顆粒,這將嚴重影響探測設備的太陽能帆板、散熱和觀察系統(tǒng)等的正常工作.月塵顆粒所帶的電量主要來源是太陽風、自身相互摩擦、光電效應以及從光散射表面得到電子,具有隨機分布特點.Sickafoose 等[8]的分析表明,比起光電效應等諸多因素,摩擦帶電是顆粒帶電最重要的來源,在顆粒最終帶電量中占主導地位.近年來電簾除塵方法被認為是在月表進行塵埃防護的有效手段,塵埃顆粒在電簾表面受到庫侖力,介電泳力以及黏附力等的綜合作用而發(fā)生運動,研究表明庫侖力是塵埃顆粒發(fā)生運動的主要驅(qū)動力,因此對塵埃顆粒流的帶電機理的研究很有必要.

近年來,越來越多的研究工作投入到在顆粒流系統(tǒng)中建立顆粒尺寸大小與顆粒帶電量的關系.然而大多數(shù)的工作都集中在實驗研究,而缺乏理論支持[9?12].摩擦生電的理論知識并不被人們所充分研究,早些時候提出的表面能理論[13]和溫差理論[14]很難解釋同種材料摩擦也能帶電的現(xiàn)象以及顆粒群在摩擦生電過程中會出現(xiàn)隨粒徑極化的現(xiàn)象.為了解決這一難題,Lowell 等[14]提出了高能態(tài)電子理論的假設,指出摩擦生電是由于兩個接觸表面之間電子的不平等交換所引起.基于這個理論模型,一些學者[10,11,15]結合硬球模型提出了可以解釋同種材料之間摩擦生電的高能態(tài)束縛電子理論模型,該模型可以很好地解釋顆粒流系統(tǒng)的帶電機制和“大顆粒帶正電,小顆粒帶負電”這一現(xiàn)象.

本文在高能態(tài)電子假定的基礎上,進一步分析了顆粒帶電量與粒徑分布的關系,發(fā)展了Lack 模型,給出了平均意義下顆粒的摩擦帶電量隨顆粒半徑的變化規(guī)律.通過考慮顆粒間的速度分布,得到了顆粒系統(tǒng)中顆粒間的電荷分布,給出了電荷分布的一個上限,并討論了可能的原因.

2 理論模型

本文所考慮的顆粒摩擦傳電的理論分析都是基于高能態(tài)電子理論展開的.高能態(tài)電子理論是基于Lowell 和Truscott[14]在1986 年提出的電子能態(tài)假設,其認為受自然界輻射、高溫等作用,材料表面的電子既有處于穩(wěn)定狀態(tài)的低能態(tài)電子,又有處于不穩(wěn)定狀態(tài)的高能態(tài)電子.對于絕緣材料的顆粒,同一個顆粒表面上的高能態(tài)電子受到束縛不能直接轉(zhuǎn)變?yōu)榈湍軕B(tài)電子.當顆粒與另一個顆粒發(fā)生碰撞摩擦時,兩顆粒的間距足夠小,一個顆粒表面的高能態(tài)電子能夠在界面間向另一個顆粒表面轉(zhuǎn)移,變成穩(wěn)定的低能態(tài)電子,在以后的碰撞中不能再次發(fā)生轉(zhuǎn)移,即這種電子轉(zhuǎn)移僅限于高能態(tài)向低能態(tài)的轉(zhuǎn)移.低能態(tài)到低能態(tài)、低能態(tài)到高能態(tài)、以及高能態(tài)到高能態(tài)之間是不發(fā)生電子轉(zhuǎn)移的.因此,在碰撞過程中,每一個顆粒在得到電子的同時又傳遞給其他顆粒一部分自己的高能態(tài)電子,顆粒的最終帶電量取決于顆粒失去的與得到的電子的差值.

下文將利用高能態(tài)電子理論分析顆粒碰撞摩擦時的電荷轉(zhuǎn)移.假定不同尺寸的顆粒表面的高能態(tài)電子密度一致,考慮在一個體積為V的空間中包含N個不同尺寸球形顆粒的顆粒系統(tǒng),顆粒的半徑為ri,表面高能態(tài)電子密度為ρ0,則半徑為ri的顆粒的表面高能態(tài)電子數(shù)為這些高能態(tài)電子在與其他N–1 個顆粒碰撞過程中轉(zhuǎn)變?yōu)榈湍軕B(tài)電子,分配到其他N–1 個顆粒上.在碰撞過程中,高能態(tài)電子從第i個顆粒轉(zhuǎn)移到第j個顆粒的概率與第i個顆粒和第j個顆粒碰撞的概率有關.如果用pi,j表示第i個顆粒與第j個顆粒發(fā)生碰撞的概率,Pi=表示所有與第i個顆粒發(fā)生碰撞的概率,則有

其中,fi,j是顆粒i的所有碰撞的顆粒中包含顆粒j的概率,即顆粒i的高能態(tài)電子數(shù)轉(zhuǎn)移到顆粒j上的比例.同樣,顆粒j的所有碰撞中包含顆粒i碰撞的概率:

確定在整個顆粒系統(tǒng)中顆粒i與顆粒j發(fā)生碰撞的概率pi,j的值時,根據(jù)Lack 等[9,13,15]的理論,如圖1 所示,顆粒i在有限的時間間隔 ?t內(nèi)以速度υ運動,如果顆粒i與顆粒j發(fā)生碰撞,則顆粒j與顆粒i的距離應小于ri+rj,那么在 ?t時間段內(nèi),顆粒i和顆粒j在顆粒i掃掠出的體積π(ri+rj)2υ?t內(nèi)都可能發(fā)生碰撞.而顆粒j位于該體積內(nèi)的概率為 π(ri+rj)2υ?t/V,該概率就是顆粒i與顆粒j發(fā)生碰撞的概率pi,j.對其求和便可得到所有碰撞中包含與顆粒i發(fā)生碰撞的概率,即

圖1 二維情形下碰撞前后顆粒高能態(tài)電子在接觸面處發(fā)生轉(zhuǎn)移轉(zhuǎn)化為穩(wěn)定低能態(tài)電子的過程(圖中黑點為高能態(tài)電子,黑圈為低能態(tài)電子)Fig.1.In the two-dimensional case the high-energy electrons of particles transfer to stable low-energy electrons at the interface before and after collision (the black dots are high energy electrons,the black circles are low energy electrons).

因此,顆粒i最終的平均帶電量為

(7)式第一項是除顆粒i以外的其他顆粒的平均表面積,第二項是顆粒i自身的表面積.顯然當某個顆粒的表面積大于顆粒的平均表面積時,該顆粒通常會帶正電;反之,表面積相對較小的顆粒更容易帶負電.因此(7)式能更好地解釋顆粒群在摩擦生電過程中出現(xiàn)的“大顆粒帶正電,小顆粒帶負電”的現(xiàn)象,并從平均意義上給出了顆粒極化的正、負分界點.

討論顆粒碰撞的過程中忽略了碰撞速度的影響,分析得到的是顆粒流碰撞過程中的平均帶電量.在某個時間間隔內(nèi),如果兩個顆粒以相同的速度和方向運動時,即使掃掠出的體積是π(ri+rj)2υ?t,也不會發(fā)生碰撞.因此,兩個顆粒之間碰撞的概率不能簡單地認為是與兩個顆粒掃掠出的體積成比例關系.考慮到顆粒流中每個顆粒速度的隨機性[16],為了更好地分析顆粒流中摩擦帶電量的分布,可以在模型中引入隨機速度,即在整個顆粒流系統(tǒng)中,每當有碰撞發(fā)生時,顆粒的碰撞速度是隨機分布的.那么(4)式中的速度應該理解為顆粒j與顆粒i的相對速度,即υi,j=υi ?υj,這樣引入相對速度后,顆粒j與顆粒i發(fā)生碰撞的概率以及所有碰撞中包含與顆粒i發(fā)生碰撞的概率應為

根據(jù)(8)式和(9)式便可得到具有分散形式的顆粒帶電量分布.然而在整個顆粒流系統(tǒng)中,某個顆粒的運動速度會隨碰撞的發(fā)生而頻繁地發(fā)生變化,很難確定該顆粒的運動速度.研究表明[17],對于一個顆粒流系統(tǒng)來說,顆粒運動速度的分布趨向于一個穩(wěn)定分布的模式,如Maxwell-Boltzmann分布等.因此在本文的計算中,假定每個顆粒在初始時具有隨機的運動速度以及運動方向,該速度分布服從Maxwell-Boltzmann 分布.將(8)式和(9)式代入(3)式,便可得到顆粒電量隨其粒度變化的規(guī)律.

3 顆粒摩擦帶電量的數(shù)值模擬

3.1 顆粒間的電荷轉(zhuǎn)移

顆粒離散元方法(DEM)是Cundall 和Strack在1979 年提出的研究非連續(xù)性顆粒物質(zhì)結構和運動規(guī)律的一種數(shù)值研究方法.顆粒離散元方法建立于牛頓第二定律的基礎上,分為基于軟球和硬球模型的顆粒離散元方法,前者與沖擊速度和沖擊粒徑有關;后者較為簡單,無需考慮顆粒間碰撞的接觸力,以動量守恒定律和能量守恒定律為基礎.由于月塵顆粒十分堅硬和尖銳,月球的表面重力僅為地球的1/6,這些塵?？梢栽谠卤頂?shù)萬米高的范圍內(nèi)長時間漂浮,不斷發(fā)生相互碰撞而生電,本文中對顆粒碰撞進行的數(shù)值模擬都是基于硬球模型建立的,結合高能態(tài)電子理論,考慮顆粒之間相互碰撞時引起的電荷轉(zhuǎn)移作用,得到顆粒物質(zhì)摩擦生電的機理和靜電分布規(guī)律,據(jù)此計算顆粒在交變電場中所受的庫侖力.

基于顆粒之間摩擦帶電的高能態(tài)電子理論模型以及顆粒碰撞的DEM 模型,可建立一個二維顆粒離散元數(shù)值模擬程序.程序中所用的參數(shù)與前面分析時的參數(shù)相同.考慮N=1000 的球形顆粒系統(tǒng),程序采用了周期性邊界條件,即當一個顆粒從左邊界移出時,會對應地從右邊界進入.由于碰撞時的表面接觸,每對碰撞顆粒表面上的高能態(tài)電子在接觸面間轉(zhuǎn)移,轉(zhuǎn)移后成為穩(wěn)定的低能態(tài)電子,如圖1 所示.假定高能態(tài)電子在顆粒表面隨機分布,宏觀上密度一定.對于二維顆粒,根據(jù)周長把顆粒分成Nsi小段,設有一個很小的長度l0,程序中任何一個球的周長為l0的Γi倍,每段上的高能態(tài)電子數(shù)為1 到10 之間的隨機數(shù)δγ,那么每個顆粒初始擁有可用來交換的電子數(shù)為由于δγ的均值是5,可知每個顆粒的高能態(tài)電子數(shù)在 5Nsi上下浮動,因此顆粒的等效高能態(tài)電子密度為ρ0=5Nsi/(l0Nsi)=5/l0.計算過程中,定義時間步長 dt,而兩個顆粒之間的距離為di,j=

在程序運行過程中,如若發(fā)現(xiàn)di,j≤0,說明兩個顆粒已經(jīng)發(fā)生重疊碰撞,此時重新更新時間步長dt=|di,j|/|vi,j|,發(fā)生碰撞的兩個顆粒以原來的速度反彈回到剛要發(fā)生碰撞的位置.如果di,j=0,說明此時的兩個顆粒正要發(fā)生碰撞.在每一次碰撞時,根據(jù)碰撞前相對速度的方向,確定碰撞點是位于哪個方向上的小段.由于每段長度很小,根據(jù)碰撞前的相對速度大小,假設存在一個碰撞寬度d,在該寬度內(nèi)的兩顆粒表面位于該段內(nèi)的高能態(tài)電子發(fā)生交換,成為對方的低能態(tài)電子.程序的終止條件設定為99.99%的高能態(tài)電子發(fā)生轉(zhuǎn)移.

3.2 摩擦帶電的分布規(guī)律

圖2(a)給出了顆粒群的平均帶電量隨粒徑變化的規(guī)律,對比圖2(a)中給出的黑實線與Lack等[9,15]的模擬結果發(fā)現(xiàn),兩者吻合得很好.圖2(a)中還給出了當顆粒群中大尺寸顆粒比例相對較多或者小尺寸顆粒比例相對較多時,顆粒的平均帶電量隨粒徑的變化規(guī)律.結果表明,當大尺寸顆粒比例較大時,帶上負電的顆粒會相對較多.反之,當小尺寸的顆粒比例較多時,帶上正電的顆粒就會相對較多.這是因為在顆粒群中,當大尺寸顆粒較多時,小顆粒從大顆粒中得到的高能態(tài)電子的機會就會越多,積少成多,帶負電的小顆粒就會越來越多.從(7)式可以看出,當顆粒群中每個尺寸的顆粒比例相同時,顆粒的摩擦帶電量分布將會在半徑為處為分界點,半徑大于的顆粒帶正電,反之則帶負電.圖2(a)中的圓圈略有偏差是由于Mi,j比1/(N ?1)略大.

圖2(b)中,考慮了速度的隨機任意分布,曲線給出的是平均意義下每種尺寸顆粒的帶電量隨粒徑的變化規(guī)律,圓點給出了隨機情況下每個顆?？赡艿膸щ娗闆r.對比圖2(b)中的曲線和圓點可以看出,盡管具有相同半徑的顆粒,其摩擦帶電的分布是分散的,整個顆粒群的摩擦電荷分布的趨勢仍與平均意義下帶電量隨粒度變化的規(guī)律一致.

從圖2(b)還可以揭示顆粒群中摩擦帶電的兩個特征:首先是高能態(tài)電子在大顆粒與小顆粒之間的轉(zhuǎn)移是非平衡的.對于一組具有某特定半徑的顆粒,如果其半徑很小,則很難帶上正電荷.這是由于小尺寸顆粒初始時帶有的高能態(tài)電子總數(shù)很少,能夠失去的電子是確定的且與表面積有關,而能夠獲取的電子總數(shù)是不受限制的,只要周邊有高能態(tài)電子就有機會獲取.另一個特征是,即使一個顆粒在顆粒群中屬于最大的類別,其最終的帶電量也可能是負數(shù).大尺寸的顆粒即使在“定向”地要向小尺寸顆粒轉(zhuǎn)移高能態(tài)的電子,但對于某些“幸運”的大顆粒,仍然有可能從其他大顆粒表面得到比自己失去數(shù)要多的電子,從而最終帶上負電.因此,那些最終帶有最多正電荷的大尺寸顆粒,是同時“非平衡”地向小尺寸顆粒轉(zhuǎn)移了很多電子,又“不巧”從其他大顆粒得到了部分電子.

圖2 (a)不同粒徑分布下,平均摩擦電荷隨粒徑的變化規(guī)律;(b)考慮任意速度時顆粒間的摩擦電荷分布Fig.2.(a) The average tribo-charge variation when increasing of the particle size for different size distributions;(b) the tribo-charge distribution among particles considering the arbitrary velocity.

圖3(a)所示為不同粒度范圍的顆粒群系統(tǒng)摩擦帶電量的分布概率.如果在一個顆粒群系統(tǒng)中,最小的顆粒與最大的顆粒差別不明顯,如2—5 μm,可以發(fā)現(xiàn)摩擦電荷的最大值很小,如圖中黑實線所示,很大比例的顆粒帶電量都為0.如果增大粒度范圍,如2—20 μm,顆粒的最大帶電量明顯增加,電荷的分布曲線變得更寬廣,更大比率的顆粒帶正電或負電.可以想象,對于一個所有顆粒都具有同樣尺寸的系統(tǒng),只有極少部分的顆粒會帶上少量的電荷.而這并不意味著高能態(tài)電子沒有在同尺寸顆粒間轉(zhuǎn)移,只是同尺寸顆粒彼此得、失電子的能力接近,很難大量出現(xiàn)得或失電子占很大優(yōu)勢的顆粒.在顆粒流系統(tǒng)中,當顆粒半徑范圍相同時,如果大顆粒的含量較高,那么就會有更多的顆粒帶電,圖3(b)給出了顆粒尺寸比例不同時,顆粒帶電量的概率分布.

圖3 (a)不同粒度范圍顆粒系統(tǒng)的摩擦電荷分布;(b)不同體積密度的大顆粒和小顆粒體系的摩擦電荷分布Fig.3.(a) The tribo-charge distributions in granular systems with different particle size range;(b) the tribo-charge distribution in granular systems with different volume density for large particles and small particles.

根據(jù)上述討論,可以看出顆粒的尺寸是影響顆粒最終摩擦帶電量的主要因素,圖2(b)中的虛線表示顆粒摩擦帶電量的分布存在上限,這就意味著相同尺寸的顆粒碰撞摩擦帶電量存在著一個極限值.假定初始受限的高能態(tài)電子數(shù)量與顆粒表面積成正比,那么在碰撞過程中得到電子數(shù)越多的顆粒最終帶電量就會越低.也就是說,在碰撞過程中顆粒得到的電子數(shù)不會低于某一個特定值.但是顆粒能得到的最大電子數(shù)目是沒有限制的,因此顆粒最終摩擦帶電量的下邊界是模糊的,這個特性對于通過電場來控制顆粒的運動非常有意義.

此外,文中還計算了二維情況下顆粒流系統(tǒng)中顆粒的最終帶電量,如圖4(a)所示.由于顆粒的表面積與半徑成正比,從圖中可以看出顆粒的帶電量隨半徑的增大而線性變化.與圖2(b)類似,得到了一個上邊界,其存在原因非常復雜,但顆粒的最終帶電量與顆粒間發(fā)生碰撞的次數(shù)息息相關,圖4(b)給出了顆粒流中發(fā)生碰撞次數(shù)隨顆粒尺寸的變化規(guī)律,如果一個顆粒發(fā)生碰撞的次數(shù)很少,那么得到高能態(tài)電子的概率就會越小.在模擬碰撞的過程中,一些顆?？赡芎堋安恍摇钡嘏鲎驳搅艘呀?jīng)失去過高能態(tài)電子的其他顆粒,那么它的最終帶電量也是不會發(fā)生變化的,因此存在著圖4(a)中的上邊界.

圖4 (a) 二維平面碰撞時顆粒流系統(tǒng)中顆粒的最終帶電量;(b) 顆粒流中的碰撞次數(shù)隨顆粒尺寸的變化規(guī)律Fig.4.(a) The simulated randomly tribo-change dispersion in two-dimensional granular systems;(b) the number of collisions undergone by particles as a function of particles size.

4 結論

基于高能態(tài)電子理論假設,研究了顆粒流系統(tǒng)中摩擦帶電量的分布情況,擴展了高能態(tài)電子理論的解析模型來預測顆粒流系統(tǒng)中的摩擦生電現(xiàn)象.基于顆粒之間的硬球碰撞模型,考慮到顆粒碰撞速度的隨機性,給出了平均意義下顆粒的摩擦帶電量隨顆粒半徑的變化規(guī)律.結果表明顆粒大小差異越大,顆粒的帶電量就越大;顆粒半徑范圍相同時,大顆粒含量越高,顆粒帶電量越大.此外還通過顆粒動態(tài)模擬程序研究了在顆粒碰撞過程中電荷的具體轉(zhuǎn)移量,得到的結果與理論分析模型預測的結果吻合.盡管顆粒系統(tǒng)中單個顆粒的具體帶電量無法準確預測,但在本文最后分析給出了其因摩擦帶電可能具有的電荷的上限值.