劉鵬

摘要：本文分析了公式法、數(shù)列分組法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、累加累乘等方法以及變式練習(xí)題在數(shù)列解題中的應(yīng)用，以期為促進(jìn)高中數(shù)學(xué)數(shù)列教學(xué)，提高學(xué)生數(shù)列解題能力提供借鑒.

關(guān)鍵詞：數(shù)列分組法;錯(cuò)位相減法;裂項(xiàng)相消法

中圖分類(lèi)號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-0333（2022）07-0007-03

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)，習(xí)題情境復(fù)雜多變，部分習(xí)題技巧性較強(qiáng).為提高解答數(shù)列試題的能力，既要總結(jié)常見(jiàn)的數(shù)列習(xí)題類(lèi)型，又要注重深入研究經(jīng)典例題，掌握題型特點(diǎn)，總結(jié)相關(guān)解題技巧.

1 數(shù)列試題解題技巧之公式法的應(yīng)用

例1在數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=an+2n+1，數(shù)列{bn}滿足bn=2log2（an+1-n），則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn為（）.

A.n2B.n2-nC.n2+nD.n2+n+1

解題技巧高中數(shù)學(xué)數(shù)列部分涉及很多公式，解題時(shí)直接套用公式可大大提高解題效率.解答該題需要從給出的已知條件出發(fā)通過(guò)構(gòu)造新的數(shù)列求解出數(shù)列{an}，通過(guò)計(jì)算得出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，而后直接套用等差數(shù)列前n項(xiàng)和計(jì)算公式.

因?yàn)閍n+1=an+2n+1，

所以an+1-2n+1=an+2n+1-2n+1=an-2n+1.

所以（an+1-2n+1）-（an-2n）=1.

因?yàn)閍1=2，所以a1-2=2-2=0.

則數(shù)列{an-2n}是以0為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.

所以an-2n=n-1，即an=n-1+2n.

因?yàn)閎n=2log2（an+1-n），

所以bn=2log2（n-1+2n+1-n）=2n.

所以Sn=b1+b2+…+bn=2（1+2+…+n）=2×n（1+n）2=n2+n，故選C.

2 數(shù)列試題解題技巧之?dāng)?shù)列分組法的應(yīng)用

例2已知數(shù)列{an}滿足a1=1，nan+1=（n+1）an+n（n+1），n∈N*，且bn=ancos2nπ3，設(shè)Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，則S2020的值為（）.

A.1B.12C.-12D.-1

解題技巧解答數(shù)列與三角函數(shù)相結(jié)合的試題不僅要運(yùn)用數(shù)列相關(guān)知識(shí)，而且需要運(yùn)用相關(guān)的誘導(dǎo)公式.該題中需根據(jù)已知條件求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，得出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，結(jié)合三角函數(shù)，找到數(shù)列{bn}中不同項(xiàng)數(shù)的通項(xiàng)公式.

因?yàn)閚an+1=（n+1）an+n（n+1），

所以an+1n+1=ann+1，即an+1n+1-ann=1.

因?yàn)閍1=1，所以數(shù)列{ann}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，即ann=n，an=n.

所以bn=ncos2nπ3.

b3k-2=（3k-2）cos（2kπ-4π3）=-12（3k-2）;

b3k-1=（3k-1）cos（2kπ-2π3）=-12（3k-1）;

b3k=3kcos2kπ=3k;

所以b3k-2+b3k-1+b3k=32.

因?yàn)?020=3×674-2，

所以b2020=-12（3×674-2）=-1010.

又因?yàn)?020=3×673+1，

故S2020=（b1+b2+b3）+（b4+b5+b6）+…+（b2017+b2018+b2019）+b2020=32×673-1010=-12.3 數(shù)列試題解題技巧之裂項(xiàng)相消法的應(yīng)用

例3已知數(shù)列{an}滿足a1=43，an+1-1=an（an-1）（n∈N*），且Sn=1a1+1a2+1a3+…+1an，則Sn的整數(shù)部分可能構(gòu)成的集合是（）.

A.{0，1，2}B.{0，1，2，3}C.{2}D.{0，2}

解題技巧部分?jǐn)?shù)列習(xí)題，需要運(yùn)用遞推關(guān)系研究相關(guān)項(xiàng)數(shù)之間的聯(lián)系，對(duì)分析以及推理能力要求較高.該題中需根據(jù)已知條件尋找相關(guān)的遞推關(guān)系，采用裂項(xiàng)相消法求出Sn.根據(jù)已知條件判斷數(shù)列{an}的單調(diào)性，而后通過(guò)分類(lèi)討論進(jìn)行解答.

因?yàn)閍n+1-1=an（an-1），兩邊取倒數(shù)，得

1an+1-1=1an-1-1an.

即1an=1an-1-1an+1-1.

故Sn=1a1+1a2+1a3+…+1an=1a1-1-1a2-1+1a2-1-1a3-1+…+1an-1-1an+1-1=3-1an+1-1.

又因?yàn)閍n+1-1=an（an-1），

所以an+1-an=（an-1）2.

因?yàn)閍n≠1，所以（an-1）2>0，數(shù)列{an}為遞增數(shù)列.

因?yàn)閍1=43，故a2=139，a3=13381，a4=134776561.

所以1a3-1=8152>1，1a4-1=65616916<1.

當(dāng)n=1時(shí)，S1=1a1=34，整數(shù)部分為0;

當(dāng)n=2時(shí)，S2=1a1+1a2=34+913=1+1352，整數(shù)部分為1;

當(dāng)n=3時(shí)，S3=1a1+1a2+1a3=34+913+81133=2+3556561，整數(shù)部分為2;

當(dāng)n≥4時(shí)，3-1an+1-1∈（2，3），其整數(shù)部分為2.

綜上可知，Sn的整數(shù)部分可能構(gòu)成的集合是{0，1，2}，故選A.

4 數(shù)列試題解題技巧之累加、累乘法的應(yīng)用

例4對(duì)于數(shù)列{an}，若存在常數(shù)M，使得對(duì)任意的n∈N*，都有|an|

A.an+an+1=1+nB.an+1-an=1-1n21B61FEF-5BE1-417A-BA74-8BCF5C05736E

C.anan+1=1+2nD.an+1an=1+1n2

解題技巧解答數(shù)列新定義類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵在于能夠構(gòu)建新定義與所學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，對(duì)要求解的問(wèn)題進(jìn)行靈活轉(zhuǎn)化，化陌生為熟悉，尤其需要靈活運(yùn)用多種解題方法進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)赝评?

對(duì)于A，C兩項(xiàng)，設(shè)數(shù)列{an}有界，根據(jù)定義可知，an

而1+n→+∞，1+2n →+∞，因此，兩項(xiàng)均錯(cuò)誤.

對(duì)于B項(xiàng)，當(dāng)n≥2時(shí)，an+1-an=1-1n≥12，所以a3-a2≥12，a4-a3≥12，…，an-an-1≥12.

累加得到：an-a2≥12（n-2）.

因?yàn)閍2-a1=0，所以a1=a2=1.

所以an≥n2，不是有界的.

對(duì)于D項(xiàng)，a2=1+1=2，an+1an=1+1n2=n2+1n2

所以an<4成立.故選D.

5 數(shù)列解題技巧之錯(cuò)位相減法的應(yīng)用

例5已知{an}是公差不為0的等差數(shù)列，已知a1=1，且a1，a2，a4成等比數(shù)列，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，b1=2，bn=Sn-1+2（n≥2，n∈N*），設(shè)an=bncn.

（1）求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式;

（2）記Tn為數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和，若對(duì)于任意的n∈N*，不等式bn·Tn>（-2）np-n恒成立，求實(shí)數(shù)p的取值范圍;

解題技巧遇到數(shù)列求和時(shí)應(yīng)注重先觀察求和數(shù)列的通項(xiàng)公式，尤其當(dāng)通項(xiàng)公式為等差數(shù)列與等比數(shù)列的復(fù)合形式時(shí)常采用錯(cuò)位相減法.

該題中首先根據(jù)已知條件求出數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式，而后借助“an=bncn”求出數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式.求{cn}的前n項(xiàng)和Tn時(shí)需要運(yùn)用錯(cuò)位相減法.

問(wèn)題（1）因?yàn)閧an}是公差不為0的等差數(shù)列，a1=1，且a1，a2，a4成等比數(shù)列.

所以a22=a1a4.

設(shè)公差為d，則（1+d）2=1×（1+3d）.

整理，得d（d-1）=0.則d=1，an=n.

因?yàn)楫?dāng)n≥2時(shí)，bn=Sn-1+2，則bn+1=Sn+2.兩式相減，得bn+1-bn=Sn-Sn-1=bn.

所以bn+1=2bn.

當(dāng)n=2時(shí)，b2=S1+2=b1+2=4，故b2=2b1.

所以數(shù)列{bn}是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列.所以bn=2×2n-1=2n.

因?yàn)閍n=bncn，所以cn=n2n.

問(wèn)題（2）因?yàn)閏n=n2n，所以Tn=1×12+2×122+3×123+…+（n-1）×12n-1+n×12n.①

所以12Tn=1×122+2×123+3×124+…+（n-1）×12n+n×12n+1.②

①-②，得

12Tn=12+122+123+…+12n-n×12n+1=12[1-（12）n]1-12-n×12n+1=1-n+22n+1.

所以Tn=2-n+22n.

因?yàn)椴坏仁絙n·Tn>（-2）np-n恒成立，

即2n·（2-n+22n）>（-2）np-n恒成立.

所以（-1）np<2-22n.

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，p<2-22n恒成立，則n=2，此時(shí)p<2-12=32;

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，-p<2-22n，p>22n-2，則n=1，p>-1.

綜上可知，p的取值范圍為（-1，32）.

參考文獻(xiàn)：

[1] 胡見(jiàn)畬.淺談數(shù)列試題解題方法與技巧[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2019（06）：46-47.

[2] 劉克江.淺析高中數(shù)學(xué)數(shù)列試題的解題方法與技巧[J].課程教育研究，2020（19）：142.

[責(zé)任編輯：李璟]21B61FEF-5BE1-417A-BA74-8BCF5C05736E