史文譜,閆家正,王 浩

(煙臺大學機電汽車工程學院,山東 煙臺 264005)

在石油化工、天然氣輸送、水利工程、造紙和航空航天等領(lǐng)域存在著大量的管道布置,其中常常24 h流淌著高速流體,這些流體的流速一旦達到某個臨界值往往會導致管道的失穩(wěn),從而引起它們的振動而產(chǎn)生噪聲,振動會引起管道的疲勞損壞和周邊設備工作條件的惡化,噪聲增加了環(huán)境污染,所以這是一個長期存在但不容忽視的問題[1-2]。結(jié)構(gòu)失穩(wěn)的原因有很多種,比如桿件的軸向壓力和軸向分布力等,實際上高速流動著的液體或氣體也會導致流管的失穩(wěn),這種失穩(wěn)的定義是當因為某種其他原因使得管道有所彎曲時,由于其中高速流動著的流體流動方向的改變導致了一旦外部擾動因素消除,但流管不再能恢復原來直線狀態(tài)的現(xiàn)象,可以說這是一種流固耦合的必然結(jié)果。實際上這種現(xiàn)象在現(xiàn)實生活和工程實際中是普遍存在的。目前分析桿件或管件失穩(wěn)的方法已有很多,如微分方程法、加權(quán)殘數(shù)法[3]、脈沖函數(shù)法[4]、傳遞矩陣法[5]、剛度法[6]和能量法[7-8]等?？v觀參考的文獻來看,詳細考慮流管不同約束條件下的流固失穩(wěn)的論文未見有發(fā)表,本文利用單元體受力分析,在假設不可壓縮理想流體模型的前提下推出了流管失穩(wěn)狀態(tài)時的力學模型并進行了分析求解,探討了4種典型約束條件下最小臨界流速問題,且進行了數(shù)值計算,本文結(jié)果對于工程中流管的設計、選型和應用具有一定的理論參考意義。

1 問題模型及分析

圖1是一段左端鉸支右端鉸支的流管(其他約束流管不再繪出),其內(nèi)直徑為d,外直徑為D,管長L，材料楊氏模量為E,截面慣性矩為I,流管中流體的體積密度為γ,流速為V,在下文分析中,為簡化起見,假設考慮的流體是理想不可壓縮的。

圖1 兩端鉸支流管

假定流管已經(jīng)發(fā)生某種彎曲變形,從流管中任意取出一個微分單元體dx(圖2)。

圖2 流管微元受力分析

對上述流管單元進行受力分析有

(1)

根據(jù)剪切力Q(x)和截面內(nèi)力矩M(x)的微分關(guān)系以及曲率和彎矩的定義[3]有

(2)

將式(2)代入式(1)中有

(3)

假如流管是等截面均質(zhì)材料,則式(3)可簡化為

或

(4)

解方程(4)得

w(x)=c1cos(kx)+c2sin(kx)+c3x+c4,

(5)

其中,cj(j=1,2,3,4)是待定系數(shù)。

下面針對幾種約束情況,討論式(5)中待定系數(shù)(cj,j=1,2,3,4)的確定問題。

(1)兩端鉸支情形,問題的邊界條件可表示為

(6)

其中,w″(x)是撓度函數(shù)w(x)關(guān)于x的二階導數(shù)。

將式(5)代入式(6)有

為了保證撓度解w(x)不總是為零,只有滿足

sin(kL)=0,

即,kL=nπ,n=1,2,…。

取n=1得最小臨界速度Vmin為

(7)

(2)兩端固支情形,問題的邊界條件可表示為

(8)

其中,w′(x)是撓度函數(shù)w(x)關(guān)于x的一階導數(shù)。

將式(5)代入式(8)中有

(9)

為了保證方程組(9)有非零解,須滿足

即

(10)

求解方程(10)得

(11)

(3)一端固支一端鉸支情形,邊界條件可寫為

(12)

將式(5)代入式(12)中有

(13)

為了保證方程組(13)有非零解,需滿足

tg(kL)=kL,

其對應的最小臨界速度為

(14)

(4)一端固定一端自由的情形,邊界條件可寫為

(15)

將式(5)代入式(15)中有

(16)

2 算例與分析

考慮如下6種材質(zhì)管材,分別是聚四氟乙烯、PVC(聚氯乙烯)、ABS(丙烯腈-丁二烯-苯乙烯共聚物)、尼龍1010、尼龍66和PA6(尼龍6);它們的楊氏模量分別為E1=1.4 GPa、E2=3.5 GPa、E3=0.2 GPa、E4=1.07 GPa、E5=8.3 GPa和E6=2.32 GPa;3種約束(兩端鉸支、兩端固定和一端固定一端鉸支),管材的內(nèi)徑和外徑一樣,分別為d=0.1 m和D=0.12 m,管長為L=2 m;流體以水為例,密度為γ=1000 kg/m3。采用Matlab7.0計算結(jié)果如表1。

從計算結(jié)果看,上述6種材質(zhì)管材在同一約束條件下的不失穩(wěn)最小臨界流速從高到低排序依次為尼龍66管、PVC管、PA6(尼龍6)管、聚四氟乙烯管、尼龍1010和ABS管。尼龍66管最不容易失穩(wěn),ABS管最容易失穩(wěn),這顯然是與實際情況相吻合的,因為楊氏模量大的管不容易失穩(wěn)。此外,對于同樣材質(zhì)的管來說,兩端固定約束的流管明顯比其他兩種約束情況下的流管最小臨界不失穩(wěn)流速要大。另外,從式(7)、(11)和(14)可以看出,管的截面慣性矩越大,相應的最小臨界流速也越大;流體密度越大,對應的最小臨界失穩(wěn)流速越小。

表1 流管不失穩(wěn)最小臨界流體速度

3 結(jié) 論

從上述討論和算例結(jié)果可得如下結(jié)論

(1)高速流體流動是可以導致流管失穩(wěn)的,且流管抗彎剛度越大,不失穩(wěn)最小臨界流速就越大;

(2)流體密度越大,流管不失穩(wěn)的最小臨界流速就越小;

(3)一端固定一端自由的約束流管在文中假設條件下是不會失穩(wěn)的;

(4)按照不失穩(wěn)最小臨界流速從低到高的順序排列,兩端鉸支約束的流管最差,一端固定一端鉸支約束的流管次之,兩端固定約束的流管最好。

當然,實際上流管約束的方式很多,上述結(jié)論也只是針對前文討論的4種約束情況而言。其他情形可類似討論。