陸鈺

在解答數(shù)列問題時，經(jīng)常會遇到求數(shù)列的前 n 項和問題，此類問題常以解答題的形式出現(xiàn)，難度系數(shù)較大.下面結合實例來探討一下求數(shù)列和的三個技巧，以幫助同學們破解此類難題.

一、分組求和

分組求和是指將數(shù)列中的各項合理拆分為易于求和的幾組，然后分組求和，最后綜合所得的結果.在運用分組求和的技巧解題時，要先仔細觀察數(shù)列的通項公式或數(shù)列中的各項，尋找其中的規(guī)律，將通項公式相同的等差、等比、常數(shù)列分別放在一起，然后根據(jù)等差、等比數(shù)列的前 n 項和公式分組進行求和.

例 1.已知數(shù)列：1 + 1 ，1a + 4 ，a12 + 7，…，1an - 1 + 3n - 2 ，試求該數(shù)列的和.

解：

仔細觀察數(shù)列中的各項，可發(fā)現(xiàn)該數(shù)列中的每一項都由等差數(shù)列 {3n - 2} 和等比數(shù)列 { } an1- 1 構成，于是將數(shù)列拆分為兩組：一組為等差數(shù)列，一組為等比數(shù)列，然后根據(jù)等差、等比數(shù)列的前 n 項和公式求和本題中 a 的值不確定，要運用等比數(shù)列的前 n 項和公. 式，需分 a = 1和 a ≠ 1兩種情況進行討論.

二、裂項相消

若數(shù)列的通項公式或各項為分式，可通過裂項相消來求得數(shù)列的和.首先將各項裂為兩項之差的形式，并使數(shù)列的前后項能夠相互抵消，如 1 n（n + k）=1k ??è?? 1n - 1 n + k 、 n +1 n + 1 = n + 1 - n ，再將各項相加，那么中間的部分項便會抵消，化簡所得的結果即可求得數(shù)列的和.

例2.設數(shù)列 { } an 的前 n 項和 Sn = -3n2 ，{ } bn 為單調遞增的等比數(shù)列，b1b2b3 = 512 ，a1 + b1 = a3 + b3 .（1）求數(shù)列{ } an ，{ } bn 的通項公式;（2）若cn = bn （ ） bn - 2 （bn - 1） ，求數(shù)列{ } cn的前 n 項和 Tn .

解：（1）略;（2）由（1）可得：cn = 2n + 1 （2n + 1 - 2）（ ） 2n + 1 - 1 = 2n （ ） 2n - 1 （ ） 2n + 1 - 1 = 1 （ ） 2n - 1 - 1 （ ） 2n + 1 - 1 ，則 Tn = c1 +…+ cn = ?è???÷ 211- 1 - 221- 1 + ?è???÷ 221- 1 - 231- 1 +…+ ?è???÷ 2n1- 1 - 2n +11 - 1 = 1 21 - 1 - 2n +11 - 1 = 1 - 1 2n + 1 - 1 .

經(jīng)觀察可發(fā)現(xiàn) { } cn的通項公式的分母 （ ） 2n - 1 ? （ ） 2n + 1 - 1 為兩項乘積，于是將其裂項： 2n （2n - 1）（ ） 2n + 1 - 1 = （ 1 ） 2n - 1 - （ 1 ） 2n + 1 - 1 ，直接采用裂項相消法求和.將各項相加，那么中間的前后項便會抵消，剩下的項之和即為所求的前 n 項和.

三、錯位相減

若一個數(shù)列中的各項由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應項的乘積構成，則可采用錯位相減法來求和.將數(shù)列的前 n 項和左右同乘以等比數(shù)列的公比q ，得到qSn，再將兩式錯開一位，使 q 的次數(shù)相同的項相減，通過運算求得 Sn 的表達式，即可求得數(shù)列的前 n 項和.

例 3. 若 x ≠ 1 ，求 Sn = 1 + 3x + 5x2 + 7x3 +…+（2n -1）xn - 1 .

解：Sn = 1 + 3x + 5x2 + 7x3 +…+ （2n - 1）xn - 1 ①，xSn = 1x + 3x2 + 5x3 + 7x4 +…+ （2n - 1）xn②，將① - ②可得：（1 - x）Sn = 1 + 2x + 2x2 + 2x3 + 2x4 +…+ 2xn - 1 - （ ） 2n - 1 xn，化簡可得 Sn = 2（ ） 1 - xn - 1 （ ） 1 - x 2 + 1 - （ ） 2n - 1 xn 1 - x .

該數(shù)列的通項公式為 （ ） 2n - 1 xn - 1 ，是由等差數(shù)列與等比數(shù)列 { } xn - 1 的乘積構成，可采用錯位相減法來求和.在數(shù)列的和式左右同時乘以公比，再將其與數(shù)列的和式錯位相減，即可求得數(shù)列的和.

在求數(shù)列的前 n 項和時，要學會將數(shù)列的通公式或和式進行適當?shù)淖冃?，可將?shù)列中的各項分為幾組，也可將數(shù)列的通項裂為兩項之差，還可將數(shù)列的和式左右同乘以等比數(shù)列的公比，這樣便能采用分組求和、裂項相消、錯位相減的技巧順利求得數(shù)列的和.

（作者單位：江蘇省興化市第一中學）