趙亞平 李帥 陳新元 李公法

摘要：系統(tǒng)地建立了高次方修形直廓環(huán)面蝸桿傳動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，用微分幾何和嚙合理論等理論推導(dǎo)了蝸桿副的曲率參數(shù)，嚙合函數(shù)以及曲率干涉界線函數(shù).證明了直廓環(huán)面蝸桿的齒面為不可展的直紋面，這與其蝸桿的齒面形成原理相吻合.利用最小二乘法擬合無(wú)量綱化的修形數(shù)據(jù)得到普適型高次方修形曲線，基于此曲線推導(dǎo)出工藝傳動(dòng)比的計(jì)算公式，得到高次方修形蝸桿傳動(dòng).根據(jù)不同次修形曲線修形的數(shù)值算例分析表明，高次方修形可消除原始型直廓環(huán)面蝸桿齒面的常接觸線，有效的增大了蝸桿副齒面的共軛區(qū)面積，修形后蝸桿全長(zhǎng)可被利用，承載能力強(qiáng).但高次方修形后的蝸桿副齒面存在曲率干涉界線，有可能導(dǎo)致蝸桿副發(fā)生根切.

關(guān)鍵詞：蝸輪;嚙合理論;修形;曲率干涉;傳動(dòng)比

中圖分類號(hào)：TH122

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

收稿日期：2021-07-02

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（52075083），National Natural Science Foundation of China（52075083）;武漢科技大學(xué)冶金裝備與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金項(xiàng)目（MECOF2021B02，MECOF2020B03），Open Fund of the Key Laboratory for Metallurgical Equipment and Control of Education Ministry in Wuhan University of Science and Technology（MECOF2021B02，MECOF2020B03）

作者簡(jiǎn)介：趙亞平（1975—），男，北京人，東北大學(xué)教授，博士

?通信聯(lián)系人，E-mail：zhyp_neu@163.com

直廓環(huán)面蝸桿副最初由英國(guó)的Hindley于1765年首先發(fā)明[1].1909年，美國(guó)的Cone進(jìn)行了重要改進(jìn).實(shí)際上在此之前，德國(guó)的Lorenz博士就制成過(guò)這種蝸桿副，并取得了專利權(quán)[2].

與包絡(luò)環(huán)面蝸桿副相比，直廓環(huán)面蝸桿副主要優(yōu)點(diǎn)為：1）一般不存在邊齒變尖[3].2）在軸截面內(nèi)，相應(yīng)蝸輪環(huán)面滾刀的齒廓為直線段[4]，有利于刀具檢驗(yàn)和測(cè)量.但也存在一些不足之處[5]：1）其蝸輪齒面上接觸區(qū)面積較小.2）蝸桿螺旋面是不可展的直紋面，難于按成形原理精確磨削.

直廓環(huán)面蝸桿傳動(dòng)有原始型和修正型之分.原始型傳動(dòng)由于蝸輪齒面上存在所謂的“常接觸線”，容易造成蝸輪的早期失效，多不主張采用[6].修正型傳動(dòng)按原理可以歸結(jié)為基于實(shí)測(cè)磨損量的自然修形，和基于嚙合理論的理性修形.其中前者屬于半經(jīng)驗(yàn)半解析的修形方法.

自然修形最早由前蘇聯(lián)學(xué)者提出，通過(guò)實(shí)測(cè)獲得經(jīng)過(guò)一定運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間后的蝸桿分度環(huán)面上的磨損量曲線，即所謂自然修形曲線[7].進(jìn)而采用拋物線對(duì)自然修形曲線進(jìn)行擬合，實(shí)現(xiàn)拋物線修形.由于拋物線修形在本質(zhì)上屬于變工藝傳動(dòng)比修形，在數(shù)控裝置普及之前，在生產(chǎn)實(shí)踐中實(shí)現(xiàn)，有一定困難，因之曾采用變參數(shù)修形予以替代[8].

為了提高自然修形曲線的擬合精度，80年代曾有學(xué)者提出高次方修形.在自然修形的研究過(guò)程中，長(zhǎng)期沒(méi)有獲得加工修形蝸桿的工藝傳動(dòng)比的明確計(jì)算式，后來(lái)得到該計(jì)算式后，也沒(méi)有在嚙合分析計(jì)算的過(guò)程中，始終把工藝傳動(dòng)比當(dāng)作變量處理，造成嚙合分析的結(jié)果不能準(zhǔn)確反映蝸桿副的實(shí)際工作狀況[9].作為自然修形的一個(gè)變種，曲率修形通過(guò)建立修形量微分與蝸桿齒面曲率半徑微分間的關(guān)系，修正蝸桿齒厚達(dá)到修形目的[10].

隨著嚙合理論的發(fā)展，誕生了理性修形.其基本原理是，在加工蝸桿或相應(yīng)滾刀的過(guò)程中，蝸桿毛坯與刀座的相對(duì)位置及相對(duì)運(yùn)動(dòng)，和蝸桿副嚙合過(guò)程中，蝸桿蝸輪的相對(duì)位置及相對(duì)運(yùn)動(dòng)，存在人為設(shè)置的差異，實(shí)現(xiàn)修形，達(dá)到去除常接觸線擴(kuò)大共軛區(qū)的目的.由于上述差異可以人為設(shè)置，意味著理性修形中，工藝傳動(dòng)比可以取常值，從而降低理性修形實(shí)現(xiàn)的難度.

理性修形中，可調(diào)參數(shù)較多，諸如：工藝中心距、工藝傳動(dòng)比、刀座垂直高度、以及刀座軸線偏轉(zhuǎn)角度等等，從而形成各色修形傳動(dòng).不過(guò)，按照嚙合特點(diǎn)，這些修形傳動(dòng)可以劃分為：I型傳動(dòng)、II型傳動(dòng)和角修形傳動(dòng)等有限的類型.理論研究表明，綜合施加不同參數(shù)修形，才能獲得嚙合性能較為優(yōu)越的傳動(dòng)副.

本文基于自然修形數(shù)據(jù)，對(duì)其無(wú)量綱化處理后，用高次多項(xiàng)式擬合得到具有普適性的高次修形曲線，推導(dǎo)了修形曲線與工藝傳動(dòng)比i1d的關(guān)系式.根據(jù)微分幾何及齒輪嚙合理論系統(tǒng)地建立了具有變工藝傳動(dòng)比直廓環(huán)面蝸桿副的數(shù)學(xué)模型，證明了蝸桿螺旋面是不可展直紋面.并通過(guò)相關(guān)算例分析了高次方自然修形直廓環(huán)面蝸桿的局部嚙合性能.

1加工蝸桿工藝傳動(dòng)比的計(jì)算原理

1.1高次方修形曲線高次方修形曲線的優(yōu)劣直接影響到蝸桿副的嚙

合性能，既有文獻(xiàn)中的修形曲線是在特定參數(shù)下得到的.為擴(kuò)充修形曲線的適用范圍，進(jìn)一步提高擬合精度，需建立普適型修形曲線.

在精車蝸桿螺旋面的過(guò)程中，蝸桿繞其軸線的轉(zhuǎn)角為φ，車刀的所謂標(biāo)稱角度是φx，它們的幾何關(guān)系如圖1所示.據(jù)此可以把φx表示為

式中，α是蝸桿分度環(huán)面壓力角.

文獻(xiàn)[9]中對(duì)中心距a=500mm、傳動(dòng)比i12=8的蝸桿副，按不同的標(biāo)稱角度φx，實(shí)際測(cè)量修形量（i）（i）（i）Δs，共獲得i=35組數(shù)據(jù)（φx，Δs）.建立修形曲線前，先對(duì)所得的數(shù)據(jù)無(wú)量綱化處理.為此首先定義轉(zhuǎn)角系數(shù)

式中，φw為蝸桿包圍蝸輪工作半角.

同樣定義修形量系數(shù)I=Δ（i）Δ，根據(jù)文獻(xiàn)[8]，isf不同中心距、傳動(dòng)比條件下蝸桿嚙入端修形量Δf/mm可按下式計(jì)算

其中，a為蝸桿副標(biāo)稱中心距;式中10.25≤i12≤59.

文獻(xiàn)[9]中的數(shù)據(jù)，經(jīng)上述方法處理后，得到的無(wú)量綱化的修形數(shù)據(jù)列于表1.

對(duì)上述修形數(shù)據(jù)以最小二乘法擬合得到修形量系數(shù)的函數(shù)為

對(duì)式中多項(xiàng)式冪次n取不同數(shù)值，可得到式中不同次多項(xiàng)式的系數(shù)ck，將計(jì)算的數(shù)值結(jié)果列于表2.

以3次修形量系數(shù)的函數(shù)為例，擬合得到的曲線圖像如圖2.x=-1，x=0，x=1分別對(duì)應(yīng)蝸桿副的嚙出端、喉部和嚙入端.

由式（4）和表2中的數(shù)據(jù)得到修形曲線函數(shù)表達(dá)式為

當(dāng)多項(xiàng)式冪次n=2時(shí)，式（5）為拋物線修形曲線函數(shù);當(dāng)n>2，即為高次方修形曲線函數(shù).

通過(guò)提高擬合多項(xiàng)式的次數(shù)n，可以提升式（4）的擬合精度.為此基于表1中數(shù)據(jù)計(jì)算各次曲線的誤差，其結(jié)果如表3所示.

由表3可知，單純提高擬合多項(xiàng)式的次數(shù)，并不能顯著提升擬合精度.

1.2工藝傳動(dòng)比與修形曲線函數(shù)的關(guān)系

由圖1可建立加工蝸桿毛坯時(shí)刀具的附加轉(zhuǎn)動(dòng)Δφd與修形量變化的關(guān)系式

式中，r2為蝸輪分度圓環(huán)半徑.

因此，加工修正型直廓環(huán)面蝸桿時(shí)刀具轉(zhuǎn)角為

任意轉(zhuǎn)角下刀座與蝸桿的傳動(dòng)比為

在式中，嚙入端修形量Δf、蝸輪分度圓半徑r2和工作半角φw均為常值且為正數(shù).因此，工∑藝傳動(dòng)比i1d與公稱傳動(dòng)比i12的大小關(guān)系由In′（x）=nkcxk-1k=1決定.在圖2中，In′（x）為曲線的斜率，由此可知In′（x）=0對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)角系數(shù)在x=-0.5左右，在x=-0.5附近右側(cè)，In′（x）>0，i1d<i12;在x=-0.5附近左側(cè)In′（x）<0，i1d>i12.

2高次方修形蝸桿傳動(dòng)嚙合理論

2.1坐標(biāo)系的選取及直線刀刃方程

如圖3，直廓環(huán)面蝸桿的齒面是由直線刃車刀加工而成，與蝸桿相配對(duì)的蝸輪是由與蝸桿形狀相同的滾刀加工而成.

圖3中u為直線刃車刀參數(shù)，由此可得刀刃直線方程

根據(jù)蝸桿副加工嚙合原理，可確定各坐標(biāo)系的位置關(guān)系，建立如圖4坐標(biāo)系系統(tǒng).

該坐標(biāo)系系統(tǒng)由六個(gè)坐標(biāo)系組成，其中坐標(biāo)系

系，分別與蝸桿、蝸輪和刀具固連，其余坐標(biāo)系為靜坐標(biāo)系，且與機(jī)架固連.圖中φ為刀具加工蝸桿時(shí)蝸桿轉(zhuǎn)角，φ為加工蝸輪時(shí)刀具轉(zhuǎn)角.

對(duì)式（9）做旋轉(zhuǎn)矩陣變換得到σod中刀刃直線族方程為

2.2直廓環(huán)面蝸桿螺旋面不可展性的數(shù)學(xué)證明

σ1中蝸桿的螺旋面方程也可以寫成以下形式

式（12）與直紋面的標(biāo)準(zhǔn)方程相符.在此基礎(chǔ)上證明其不可展.從式（12）計(jì)算導(dǎo)矢，分別令p（p）、（p）對(duì)p求導(dǎo)

這與可展曲面的判定條件相悖，即直廓環(huán)面蝸桿的螺旋面為不可展.綜上可得，直廓環(huán)面蝸桿的螺旋面為不可展的直紋面.

2.3蝸桿螺旋面的兩類基本量及曲率參數(shù)

由式（11）可得u、p兩個(gè)方向偏導(dǎo)矢

由式（14）（15）及第一類基本量求得坐標(biāo)系σ1中蝸桿的螺旋面單位法向量為

為計(jì)算螺旋面的第二類基本量，分別計(jì)算蝸桿螺旋面方程對(duì)up的二階偏導(dǎo)矢

從式（17）（18）（19）和（20），可以計(jì)算出直廓環(huán)面蝸桿螺旋面的第二類基本量如下：

由蝸桿螺旋面的兩類基本量可計(jì)算得沿（d），方向法曲率、測(cè)地?fù)下屎臀仐U螺旋面的平均曲率為

2.4蝸輪的齒面方程及嚙合函數(shù)

設(shè)蝸桿的角速度為d1=1rad/s，則在o1中，蝸輪的角速度（⊙）和蝸桿副的相對(duì)角速度分別為

由旋轉(zhuǎn)變換得到σ。中蝸輪齒面生成面族方程

同理蝸輪齒面生成面族的單位法向量也可由旋轉(zhuǎn)矩陣變換得到

在σ。中蝸桿螺旋面和蝸輪齒面嚙合的相對(duì)速度矢量為

由式（29）和式（30）推導(dǎo)嚙合函數(shù)如下[13-15]

由蝸桿副滿足關(guān)系Φ（u，p，p1）=0可得

對(duì)式（34）進(jìn)行三角變換

式中中滿足以下關(guān)系：

由式（35）得到一個(gè)嚙合周期內(nèi)p的兩個(gè)解：

這兩個(gè)解分別表示在子共軛區(qū)∑A和∑B中P，與u、p的關(guān)系.在σ，中蝸輪齒面兩個(gè)子共軛區(qū)∑A和∑的方程分別為

由式（33）對(duì)φ，微分得到直廓環(huán)面蝸桿副的嚙合極限函數(shù)④，為

直廓環(huán)面蝸桿嚙合過(guò)程中的瞬時(shí)接觸線的法向量為

各項(xiàng)因式乘積的計(jì)算結(jié)果表示如下：

據(jù)式（37）（38）可求得曲率干涉界限函數(shù)為

同時(shí)可求得瞬時(shí)接觸線法線方向的誘導(dǎo)法曲率k2和曲率滑動(dòng)角0如下：

3數(shù)值算例分析

仿真分析部分采用數(shù)值算例的蝸桿副參數(shù)為Z1=2，a=280mm，i12=25.表4中給出了算例所需參數(shù)的計(jì)算方法及其數(shù)值結(jié)果[16-17].

3.1原始型直廓環(huán)面蝸桿傳動(dòng)的嚙合特性

圖5基于蝸桿傳動(dòng)嚙合理論，令i1a=i2可以得到無(wú)修形的原始型傳動(dòng).按表4中的技術(shù)參數(shù)，繪出了原始型傳動(dòng)的共軛區(qū)與接觸線.

圖5（a）為蝸桿螺旋面在{O1;yo1，zo1}平面上的

投影.區(qū)域ABCD為傳動(dòng)副的共軛區(qū)ΣA，由式（34）可知，此區(qū)域內(nèi)φ1=φ，AB線和CD線分別代表蝸桿的嚙入端與嚙出端.

圖5（b）為蝸輪齒面在{O2;z2，RB}平面上的投影，縱坐標(biāo)RB=x2+y2.AB線、CD線以及接觸線1-5重合，此區(qū)域退化為常接觸線.區(qū)域A*B*FE為傳動(dòng)副的新接觸區(qū)ΣB.蝸桿螺旋面上的A*B*線代表共軛區(qū)ΣB的嚙入端，EF線為傳動(dòng)副的曲率干涉界線，沿此線Ψ=0.同時(shí)EF線是共軛區(qū)ΣA與ΣB的公共邊?Φ界，構(gòu)成傳動(dòng)副嚙合界線，沿此線?φ1=0.因此在蝸輪齒面上EF線不起曲率干涉界線的作用，不引起曲率干涉，只對(duì)在蝸桿齒面上共軛區(qū)Σ起嚙合界線的作用.沿EF線傳動(dòng)副瞬時(shí)接觸線法矢量N=0，因此它是瞬時(shí)接觸線的奇點(diǎn)軌跡.

分別在瞬時(shí)接觸線與蝸輪齒頂、蝸桿分度圓和蝸桿齒頂交點(diǎn)處選取3個(gè)采樣點(diǎn)，計(jì)算采樣點(diǎn)誘導(dǎo)法曲率k（12）和滑動(dòng)角θ的數(shù)值結(jié)果列于表5中.數(shù)據(jù)N應(yīng)力小，油膜厚度相應(yīng)增大[18].且該子共軛區(qū)的θvt值較大，尤其在EF線附近數(shù)值接近90°，表明形成油膜的條件良好.

3.2高次方修形直廓環(huán)面蝸桿傳動(dòng)的嚙合特性

為了防止過(guò)于繁冗，文中只給出3次、5次和7次曲線修形直廓環(huán)面蝸桿副的算例分析，如圖6-7和圖8所示.

圖6（a）和圖7（a）中，區(qū)域ABHG為子共軛區(qū)ΣA，相比于原始型直廓環(huán)面蝸桿副，ΣA區(qū)不再退化為常接觸線.但區(qū)域內(nèi)存在曲率干涉界線GH，ΣA區(qū)不能貫徹蝸桿螺旋面的始終.區(qū)域A*B*D*C*為子共軛區(qū)ΣB，區(qū)域內(nèi)的嚙合界線被消除，子共軛區(qū)ΣB擴(kuò)大至蝸桿的嚙出端，C*D*線為嚙出端的反映線.這表明，修形后的蝸桿仍為全長(zhǎng)可用，且在嚙入端附近實(shí)現(xiàn)部分雙線傳動(dòng).

圖6（b）和圖7（b）中，蝸輪齒面上的子共軛區(qū)ΣA和ΣB均增大.且與3次修形相比，5次修形的ΣA區(qū)更大一些.

表6和表7中，ΣA區(qū)的誘導(dǎo)法曲率k（12）值較小，滑N動(dòng)角θ值較大，嚙合性能良好.相比于原始型直廓vtB環(huán)面蝸桿，修形后Σ區(qū)中的誘導(dǎo)法曲率并無(wú)明顯變化，滑動(dòng)角θvt值略微增大，油膜的形成條件更良好.在曲率干涉界線GH上Ψ=0，誘導(dǎo)主曲率無(wú)限大，接觸應(yīng)力也無(wú)限大，導(dǎo)致蝸桿副失效.

提高修形曲線的擬合冪次后，子共軛區(qū)ΣA面積可以明顯增大，如圖8所示，ΣB區(qū)的嚙出端反映線C*D*部分進(jìn)入ΣA區(qū).D*點(diǎn)的蝸桿轉(zhuǎn)角φ（D*）=1357.7°，曲率干涉界線GH與蝸桿齒頂環(huán)面交點(diǎn)H的蝸桿轉(zhuǎn)角φ（H）=286.19°.由于φ（D*）>φ（H），說(shuō)明ΣB區(qū)的蝸桿嚙出端反映線C*D*，在曲率干涉界線GH之后進(jìn)入了共軛區(qū)ΣA，因此可以將其D*NH區(qū)域切除，也就是切除了曲率干涉界線GH靠近蝸輪齒根的部分NH.N點(diǎn)為蝸輪齒面上曲率干涉界線GH和C*D*線的交點(diǎn)，可通過(guò)求解由曲率干涉界線函數(shù)Ψ=0、蝸桿嚙出端邊界條件、以及ΣA和ΣB中N點(diǎn)在坐標(biāo)系{O2;z2，RB}中橫縱坐標(biāo)分別相等構(gòu)成的方程組確定[19].在蝸桿螺旋面上，D*N線是嚙出端在共軛區(qū)ΣA內(nèi)的反映線，如圖8（a）所示.

位于該區(qū)上的瞬時(shí)接觸線1是根據(jù)A點(diǎn)到G點(diǎn)蝸桿轉(zhuǎn)角的中間值得到的，其明顯更靠近邊界MNG，這說(shuō)明ΣA區(qū)內(nèi)瞬時(shí)接觸線分布不均勻，在邊界MNG附近瞬時(shí)接觸線更密集，在蝸桿副的傳動(dòng)過(guò)程中接觸頻率更高，容易發(fā)生點(diǎn)蝕.

表8中給出了7次修形曲線修形后誘導(dǎo)法曲率k（12）和滑動(dòng)角θ的計(jì)算結(jié)果.相比于表6和表7，ΣANvt（12）區(qū)內(nèi)滑動(dòng)角θvt變化不大，但誘導(dǎo)法曲率kN更小，齒間接觸應(yīng)力變小，油膜厚度增加.在ΣB區(qū)上，誘導(dǎo)法曲率k（12）無(wú)明顯變化，嚙入端的滑動(dòng)角θ增大，嚙出Nvt端的滑動(dòng)角θvt減小，但都處于較好的狀態(tài)，有利于蝸桿副的傳動(dòng).

4結(jié)論

通過(guò)對(duì)修形數(shù)據(jù)無(wú)量綱化處理，推導(dǎo)出了更具普適性的高次方修形曲線函數(shù)，在此基礎(chǔ)上獲得了加工直廓環(huán)面蝸桿螺旋面的工藝傳動(dòng)比的計(jì)算式.從而通過(guò)工藝傳動(dòng)比，把修形曲線的影響引入嚙合分析的計(jì)算，改變了既有文獻(xiàn)中只考慮修形曲線對(duì)蝸桿齒厚影響的舊觀念.在這個(gè)意義上，基于修形曲線的修形應(yīng)屬于變傳動(dòng)比修形，工藝傳動(dòng)比在本質(zhì)上是時(shí)間的函數(shù).數(shù)值結(jié)果表明，單純提高修形曲線函數(shù)的冪次，對(duì)于提升修形曲線擬合精度的作用是十分有限的.

基于旋轉(zhuǎn)變換矩陣，全面建立了高次方修正型直廓環(huán)面蝸桿傳動(dòng)的嚙合理論，通過(guò)所得到的工藝傳動(dòng)比公式，精確地考慮了修形曲線的影響，彌補(bǔ)了先前文獻(xiàn)在這方面的不足，嚴(yán)格論證了其蝸桿螺旋面為不可展的直紋面.

數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明，高次方修形可以去除蝸輪齒面的常接觸線，并擴(kuò)大接觸區(qū)，同時(shí)使蝸桿全長(zhǎng)參與嚙合，且在入口部分保持一定長(zhǎng)度的雙線接觸.高次方修形對(duì)誘導(dǎo)主曲率及滑動(dòng)角等局部嚙合性能指標(biāo)影響不大.主要不足之處是，蝸輪齒面中部靠近齒頂部位存在一定程度的曲率干涉，提升修形曲線函數(shù)的冪次，可以消減蝸輪齒面上曲率干涉界線的長(zhǎng)度，但難以將其去除凈盡.

綜合考量，高次方修形需按一定規(guī)律改變加工蝸桿的工藝傳動(dòng)比，在工藝方面相對(duì)比較復(fù)雜，又存在一定程度的曲率干涉，因此不宜單獨(dú)采用.

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