陳偉鋒

（河北師范大學(xué)附屬小學(xué)，河北 石家莊 050011）

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“信息技術(shù)的發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)教育的價(jià)值、目標(biāo)、內(nèi)容以及教學(xué)方式產(chǎn)生了很大的影響。數(shù)學(xué)課程的設(shè)計(jì)與實(shí)施應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況合理地運(yùn)用現(xiàn)代信息技術(shù)，要注意信息技術(shù)與課程內(nèi)容的整合?！笨梢?jiàn)將信息技術(shù)有機(jī)地融合在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中，具有重要的意義。

信息技術(shù)介入教育是一個(gè)自然而然的過(guò)程，因?yàn)樵诳陀^上人們從來(lái)就無(wú)法抗拒。所以，具有實(shí)用與效率優(yōu)勢(shì)的信息技術(shù)，如何在其自帶的工具理性與教育的價(jià)值理性之間找到結(jié)合點(diǎn)，便是現(xiàn)今課堂教學(xué)融合的關(guān)鍵點(diǎn)。

一、起始與設(shè)想

2020 年2 月22 日，中科院院士張繼平為全國(guó)青年帶來(lái)了一堂精彩的數(shù)學(xué)課，字字珠璣，句句箴言，盡顯了數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)家的魅力。張教授說(shuō)，《九章算術(shù)》中的“算術(shù)”即為算法，算法正是我們今天計(jì)算機(jī)應(yīng)用的基礎(chǔ)，我們正處于一個(gè)信息化、數(shù)字化的時(shí)代，計(jì)算機(jī)的優(yōu)勢(shì)越來(lái)越明顯，但是機(jī)器最大的弱點(diǎn)在于它只能處理有限的、離散的數(shù)據(jù)，對(duì)于所有的無(wú)限的、連續(xù)的數(shù)據(jù)，還需要靠人把它化成有限的、離散的數(shù)據(jù)，然后讓機(jī)器去做，這就是算法，這就是把實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化、數(shù)學(xué)問(wèn)題代數(shù)化、代數(shù)問(wèn)題機(jī)械化的過(guò)程。中國(guó)古代數(shù)學(xué)已經(jīng)開(kāi)辟或奠定了數(shù)學(xué)機(jī)械化的道路，這是相當(dāng)偉大的！

從《九章算術(shù)》到計(jì)算機(jī)應(yīng)用編程，技術(shù)的革新一直伴隨著人類(lèi)社會(huì)的發(fā)展，這節(jié)課就從一張A4 紙開(kāi)始，以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的方式，力求創(chuàng)建一個(gè)有活力、有張力的課堂，促進(jìn)所有學(xué)生的感官、情感和思維發(fā)展，探尋信息技術(shù)與小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有效融合。

二、設(shè)計(jì)與實(shí)施

本課教學(xué)基于問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)法，其中，問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)法即基于問(wèn)題的教學(xué)方法（Problem-Based Learning，PBL），是一種以學(xué)生為主體、以專(zhuān)業(yè)領(lǐng)域內(nèi)的各種問(wèn)題為學(xué)習(xí)起點(diǎn)，以問(wèn)題為核心規(guī)劃學(xué)習(xí)內(nèi)容，讓學(xué)生圍繞問(wèn)題尋求解決方案的一種學(xué)習(xí)方法。教師在此過(guò)程中的角色是問(wèn)題的提出者、課程的設(shè)計(jì)者以及結(jié)果的評(píng)估者。

問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)法的典型特點(diǎn)是：1.學(xué)習(xí)過(guò)程以問(wèn)題為激發(fā)和驅(qū)動(dòng)，圍繞問(wèn)題獲取知識(shí)與技能，構(gòu)成一個(gè)螺旋上升的迭代發(fā)展的過(guò)程；2.以學(xué)習(xí)者為中心，通過(guò)實(shí)際操作、協(xié)作探究解決問(wèn)題，教師為促進(jìn)者、引導(dǎo)者，師生構(gòu)成學(xué)習(xí)共同體；3.注重推理過(guò)程，使用各種學(xué)習(xí)工具和資源，幫助學(xué)生更有效地解決問(wèn)題。

基于以上內(nèi)容，分兩個(gè)部分將課程進(jìn)行說(shuō)明，分別是：內(nèi)容設(shè)計(jì)和課堂實(shí)錄。

（一）內(nèi)容設(shè)計(jì)

1.主題分析

本課主題來(lái)源于冀教版四年級(jí)下冊(cè)第五單元“分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)”中的一道練習(xí)題：有一張長(zhǎng)是18 厘米、寬是12 厘米的長(zhǎng)方形紙，把它剪成邊長(zhǎng)是整厘米數(shù)的若干正方形，不能有剩余，有幾種剪法？正方形的邊長(zhǎng)各是多少厘米？這道題是通過(guò)對(duì)“邊長(zhǎng)整厘米數(shù)的正方形”“不能有剩余”的分析，得出正方形的邊長(zhǎng)應(yīng)該是18 和12 的公因數(shù)；如果再加條件“正方形邊長(zhǎng)最大是多少”或者“正方形最少有多少個(gè)”，問(wèn)題的結(jié)果就是18 和12 的最大公因數(shù)了?；趯?duì)這道題目的理解，本節(jié)課的問(wèn)題設(shè)計(jì)為：把一張A4 紙分成若干個(gè)正方形，你想怎么做？試圖把“邊長(zhǎng)是否為整厘米數(shù)”“是否有剩余”和“正方形的個(gè)數(shù)”作為學(xué)生的質(zhì)疑點(diǎn)，使他們?cè)谝苫?、思考和交流中加深?duì)這些關(guān)鍵詞語(yǔ)的把握。適用于四年級(jí)及以上學(xué)生進(jìn)行綜合實(shí)踐活動(dòng)。

2.學(xué)情分析

教學(xué)對(duì)象為六年級(jí)學(xué)生，各方面情況分析如下：

（1）心理特點(diǎn)。隨著知識(shí)的積累和生活體驗(yàn)的深化，開(kāi)始注意對(duì)事物的分析和主觀體會(huì)，對(duì)同一問(wèn)題能有自己的想法；在分析問(wèn)題的過(guò)程中，可以找到主要矛盾，抓住事物的關(guān)鍵。但討論問(wèn)題時(shí)所尋找的理由主要來(lái)自自己的生活感受，一般沒(méi)有更大范圍的論證能力，教學(xué)中需要提供更多的資源和技術(shù)支持。

（2）思維特點(diǎn)。第二學(xué)段是學(xué)生由形象思維向抽象思維發(fā)展的關(guān)鍵時(shí)期。學(xué)生逐步掌握和應(yīng)用初步的科學(xué)定義，并嘗試獨(dú)立進(jìn)行邏輯論證。這時(shí)的思維活動(dòng)仍然要與直接的、感性的材料聯(lián)系在一起，具有很大成分的具體抽象性，而且思維缺乏批判性和靈活性，教學(xué)中要注意理性思考的設(shè)置和引導(dǎo)。

（3）知識(shí)與技能基礎(chǔ)。學(xué)生會(huì)用直尺測(cè)量長(zhǎng)度；會(huì)求兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)和最大公因數(shù)；有豐富的動(dòng)手操作的經(jīng)驗(yàn)，能在分析的基礎(chǔ)上進(jìn)行推理；有一定的空間想象能力，對(duì)極限有所認(rèn)識(shí)；學(xué)生有進(jìn)行本次活動(dòng)的基本知識(shí)和技能儲(chǔ)備。

3.教學(xué)目標(biāo)分析

知識(shí)與技能：能對(duì)給定題目?jī)?nèi)容進(jìn)行分析并提出質(zhì)疑；會(huì)通過(guò)折紙或者測(cè)量和計(jì)算得出正方形的邊長(zhǎng)；能表達(dá)自己的想法也能認(rèn)真傾聽(tīng)他人發(fā)言并提出合理化建議。

過(guò)程與方法：學(xué)生經(jīng)歷猜想、驗(yàn)證和歸納的實(shí)踐活動(dòng)，獲得解決問(wèn)題的方法與經(jīng)驗(yàn)。在活動(dòng)過(guò)程中，借助操作實(shí)驗(yàn)進(jìn)行推理，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想和代數(shù)化進(jìn)程。

情感、態(tài)度與價(jià)值觀：在解決問(wèn)題的過(guò)程中，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)和探索數(shù)學(xué)的科學(xué)精神，培養(yǎng)善于協(xié)作、敢于質(zhì)疑和自我反思的學(xué)習(xí)品質(zhì)。了解我國(guó)古代數(shù)學(xué)的偉大成就，產(chǎn)生對(duì)現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的強(qiáng)烈興趣，增強(qiáng)民族自豪感和民族責(zé)任感。

4.教學(xué)準(zhǔn)備：A4 紙，直尺，鉛筆

（二）課堂實(shí)錄

教學(xué)環(huán)節(jié)一：提出問(wèn)題，創(chuàng)設(shè)探究情境

師：今天的數(shù)學(xué)課就從一張A4 紙開(kāi)始。（出示問(wèn)題）把一張A4 紙分成若干個(gè)正方形，你想怎么做？

【設(shè)計(jì)意圖】思維起于問(wèn)題、貫穿于求解于探究之中，問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)無(wú)疑是開(kāi)啟高階思維的最大動(dòng)力。

師：你覺(jué)得問(wèn)題中的關(guān)鍵詞是什么呢？

生：A4 紙、若干、正方形……

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生充分理解題目?jī)?nèi)容，明確具體要求，在調(diào)動(dòng)舊知的同時(shí)提出疑問(wèn)。

師：你對(duì)這個(gè)問(wèn)題有疑問(wèn)嗎？

生1：分的時(shí)候是平均分嗎？

生2：能有剩余嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】使學(xué)生在疑問(wèn)中思考，更加深入地理解題目要求；在分析、辨別條件的過(guò)程中，初步設(shè)計(jì)不同情況下解決問(wèn)題的策略，產(chǎn)生探究的興趣。

教學(xué)環(huán)節(jié)二：自主探究，嘗試解決問(wèn)題

師：剛才同學(xué)們給出了一些提示，在接下來(lái)的試驗(yàn)中大家可以參考一下，如果有自己的想法了，就動(dòng)手試一試吧！時(shí)間3分鐘，開(kāi)始。

學(xué)生自主探究。1.通過(guò)折紙，連續(xù)找出A4紙上的正方形；2.測(cè)量A4 紙長(zhǎng)和寬的長(zhǎng)度，求出兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)，以此數(shù)作為正方形的邊長(zhǎng)，劃分A4 紙；3.用直尺和鉛筆，以1 厘米或者n 厘米為邊長(zhǎng)，劃分出相同的正方形。

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生把想法付諸于實(shí)踐活動(dòng)中，在操作中逐步梳理、完善計(jì)劃，形成有條理的思路，為接下來(lái)的交流、調(diào)整做好準(zhǔn)備。

教學(xué)環(huán)節(jié)三：整理思路，集體交流

按時(shí)停止活動(dòng)，交流做法。

1.折紙法

（1）討論操作方法。

師：我看到好多同學(xué)一直在折紙，咱們先采訪一下。

師：你是怎么想的？

生1：我先對(duì)折，就能得到一個(gè)大正方形；剩下的還可以再折，又得到兩個(gè)正方形（圖1）。

圖1

生2：還可以再折，不過(guò)，得先剪下這三個(gè)正方形（圖2），剩下的長(zhǎng)方形就可以再折出正方形了（圖3）。

圖2

圖3

生3：這樣的話，就可以一直折下去，得到無(wú)數(shù)個(gè)正方形。

生4：我覺(jué)得一直折下去，也不是無(wú)數(shù)個(gè)。就是紙會(huì)越來(lái)越小，越來(lái)越不好折。

生5：我覺(jué)得最終能得到正方形就行了，不用一直折下去。

師：達(dá)到目的就結(jié)束，有主見(jiàn)！

生6：折紙的思路可以試試，但是折紙誤差太大，可能會(huì)對(duì)結(jié)果產(chǎn)生影響。

生7：那咱們用這種方法，通過(guò)計(jì)算證實(shí)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，會(huì)不會(huì)好一些？

生8：那就先測(cè)量A4 紙長(zhǎng)和寬的長(zhǎng)度吧。

【設(shè)計(jì)意圖】交流互動(dòng)是小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要方法，也是學(xué)生深入學(xué)習(xí)的重要方式。讓學(xué)生相互啟發(fā)、相互補(bǔ)充，便于他們掌握豐富的數(shù)學(xué)思想及方法，提升自身自主學(xué)習(xí)能力的同時(shí)，促使學(xué)生得以共同性及全面性的發(fā)展。

（2）嘗試計(jì)算驗(yàn)證折紙法（圖4）

圖4

生1：我剛才折紙發(fā)現(xiàn)第一個(gè)正方形是以A4紙的寬為邊長(zhǎng)的，就是210毫米；剩下的長(zhǎng)方形中，長(zhǎng)是210毫米，寬是297－210＝87（毫米），這時(shí)可以折出兩個(gè)邊長(zhǎng)是87毫米的正方形；剩下的長(zhǎng)方形中，長(zhǎng)是87毫米，寬是210－87×2＝36（毫米）；接下來(lái)就可以不用折紙，按這個(gè)規(guī)律計(jì)算就可以。

87－36×2＝15（毫米）

36－15×2＝6（毫米）

15－6×2＝3（毫米）

6－3＝3（毫米）

生1：這樣就得出了若干個(gè)正方形，還能知道最后正方形的邊長(zhǎng)是3毫米。

生2：這些正方形的大小不一樣呢。

生3：我發(fā)現(xiàn)，如果往回推的話，都可以分成邊長(zhǎng)是3毫米的正方形，因?yàn)?是15、36、87、210、297的因數(shù)。

生4：那這種方法能把任意的長(zhǎng)方形分成正方形嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】沒(méi)有問(wèn)題思維就難起波瀾，教學(xué)中要立足學(xué)生、立足課堂，引爆學(xué)生思維的燃點(diǎn)，面對(duì)新的視角、新的情境，學(xué)生必然產(chǎn)生許多新的思考、新的困惑，充分利用典型問(wèn)題，提升課堂思維的“熱度”，引發(fā)學(xué)生探究的興趣和思維的挑戰(zhàn)。

（3）提出質(zhì)疑，進(jìn)入高階思維

師：好問(wèn)題，我們可以自己假設(shè)情況，試試看能得出什么結(jié)論。

典型情況舉例如下：

①長(zhǎng)方形長(zhǎng)86 厘米，寬24 厘米。

86－24×3＝14（厘米）

24－14＝10（厘米）

14－10＝4（厘米）

10－4×2＝2（厘米）

4－2＝2（厘米）

②長(zhǎng)方形長(zhǎng)48 厘米，寬24 厘米。

48－24×2＝24（厘米）

③長(zhǎng)方形長(zhǎng)25 厘米，寬24 厘米。

25－24＝1（厘米）

24÷1＝24（個(gè)）

生1：我發(fā)現(xiàn)，我們?cè)谇竽芊殖鰩讉€(gè)正方形時(shí)會(huì)用到除法，而余數(shù)就是下一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)。比如第一小題，可以這么算：

86÷24＝3（個(gè)）……14（厘米）

24÷14＝1（個(gè)）……10（厘米）

14÷10＝1（個(gè)）……4（厘米）

10÷4＝2（個(gè)）……2（厘米）

4÷2＝2（個(gè)）

生1：沒(méi)有余數(shù)的時(shí)候，除數(shù)就是最后一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)。

生2：我用短除法求得的最大公因數(shù)就是折紙法得出的正方形邊長(zhǎng)，是不是可以說(shuō)，折紙法得出的就是這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)呢？

【設(shè)計(jì)意圖】課堂中生成的問(wèn)題，其“挑戰(zhàn)性”能吸引學(xué)生的注意力，其“開(kāi)放性”能使學(xué)生思維活躍，其“層次性”能讓思維“跳起來(lái)夠得著”。教學(xué)中的生成問(wèn)題來(lái)自教材又高于教材，在一系列圍繞知識(shí)內(nèi)容和學(xué)習(xí)任務(wù)的引導(dǎo)性材料的支撐下，學(xué)生在問(wèn)、探、思、行中漸行漸遠(yuǎn)，實(shí)現(xiàn)在體驗(yàn)中學(xué)習(xí)、在探究中實(shí)踐、在思考中辨析。

（4）追本溯源，整理總結(jié)

師：就像大家說(shuō)的，用短除法求出的最大公因數(shù)和用折紙法找到的正方形邊長(zhǎng)是一樣的，折紙法確實(shí)是一種求最大公因數(shù)的方法。

用減法計(jì)算的方法是2000多年前我國(guó)古代第一部數(shù)學(xué)專(zhuān)著《九章算術(shù)》中記載的“更相減損術(shù)”，原文是這樣的：（PPT音頻）可半者半之，不可半者，副置分母、子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也，以等數(shù)約之。另外一種用除法計(jì)算的是公元前三百多年前的古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得（Euclid）在《幾何原本》（第Ⅶ卷，命題ⅰ和命題ⅱ）中首先提出“輾轉(zhuǎn)相除法”又稱(chēng)為“歐幾里得算法”。這兩種方法可以求出任意兩個(gè)整數(shù)的最大公約數(shù)，這不算神奇，更神奇的是這種方法都可以直接編成計(jì)算機(jī)語(yǔ)言，來(lái)進(jìn)行更大數(shù)的運(yùn)算。

教學(xué)環(huán)節(jié)四：信息技術(shù)融入數(shù)學(xué)教學(xué)。

師：想不想試試？我們今天用簡(jiǎn)單的excel表來(lái)實(shí)現(xiàn)。

1.任意輸入兩個(gè)正整數(shù)。

2.鍵入命令。

3.自動(dòng)填充，得到兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。

師：請(qǐng)大家自己試一試吧。

【設(shè)計(jì)意圖】介紹“更相減損術(shù)”與“輾轉(zhuǎn)相除法”，體會(huì)古代數(shù)學(xué)對(duì)世界數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn)。再對(duì)比我們常用的短除法求最大公因數(shù)的方法，比較它們?cè)谒惴ㄉ系漠愅徊⒃诎褦?shù)學(xué)算法轉(zhuǎn)化成計(jì)算機(jī)語(yǔ)言的過(guò)程中，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)算法與計(jì)算機(jī)處理的結(jié)合方式，體會(huì)數(shù)學(xué)的遞歸思想，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力和理性思考的精神。

教學(xué)環(huán)節(jié)五：博古通今，滲透思政教育

《九章算術(shù)》里還要很多個(gè)算法，計(jì)算機(jī)也還能做更多的事情，就像今天，我們只要把實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化、數(shù)學(xué)問(wèn)題代數(shù)化、代數(shù)問(wèn)題機(jī)械化，就能使我們的生活更便捷，就像習(xí)書(shū)記說(shuō)的：科技興則國(guó)興！試想：2000 多年前我們的古人就位后世奠定了機(jī)械化的道路，今天，中國(guó)數(shù)學(xué)是否能站在世界前沿，就看大家了，因?yàn)椋荷倌陱?qiáng)則國(guó)強(qiáng)！

【設(shè)計(jì)意圖】激發(fā)學(xué)生的民族自豪感，樹(shù)立民族責(zé)任感。

三、總結(jié)與思考

實(shí)施問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的教學(xué)策略，以問(wèn)題來(lái)設(shè)計(jì)、架構(gòu)和引領(lǐng)教學(xué)，從注重知識(shí)的傳授到注重思維的訓(xùn)練與培養(yǎng)，這也是培養(yǎng)學(xué)生問(wèn)題解決能力所要經(jīng)歷的基本過(guò)程，彰顯了思維教學(xué)的動(dòng)態(tài)性與生成性。在教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生針對(duì)教師提出的核心問(wèn)題進(jìn)行探究、思考、表達(dá)和辨析，教師則重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生在課堂上思維外化的過(guò)程，通過(guò)層層遞進(jìn)的追問(wèn)，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行高質(zhì)量的對(duì)話，動(dòng)態(tài)生成資源，使課堂教學(xué)成為不斷制造學(xué)生認(rèn)知矛盾與沖突、不斷幫助學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行同化、內(nèi)化的場(chǎng)所，有效促進(jìn)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的分解、抽象和批判性思維的發(fā)展。

現(xiàn)代信息技術(shù)與學(xué)科課程的整合，逐步實(shí)現(xiàn)了教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)方式、學(xué)生的學(xué)習(xí)方式、教師的教學(xué)方式和師生互動(dòng)方式的變革，小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)還需充分發(fā)揮現(xiàn)代信息技術(shù)的優(yōu)勢(shì)，為學(xué)生的學(xué)習(xí)和發(fā)展提供豐富多彩的教育環(huán)境和有力的學(xué)習(xí)工具。