姜福喜,周蘭,高東旭,潘昌忠,熊培銀

(湖南科技大學(xué)信息與電氣工程學(xué)院,湖南湘潭 411201)

1 引言

在控制工程中,欠驅(qū)動機(jī)器人[1]、電液伺服系統(tǒng)[2]、小型無人直升機(jī)[3]等實際控制系統(tǒng)中不可避免地存在未建模動態(tài)、參數(shù)攝動、外部擾動以及測量噪聲等多類型、多來源的干擾,這些干擾的存在嚴(yán)重影響系統(tǒng)的控制性能.受目前加工技術(shù)水平和生產(chǎn)制造成本的限制,通過改變機(jī)械結(jié)構(gòu)的方式來提高系統(tǒng)在復(fù)雜環(huán)境下的控制精度往往收效甚微.因此,研究設(shè)計先進(jìn)控制算法對系統(tǒng)中的擾動進(jìn)行抑制或補(bǔ)償以提高系統(tǒng)的控制性能具有重要的科學(xué)意義.

根據(jù)擾動在系統(tǒng)中的分布情況,通?？蓪_動分為匹配擾動與非匹配擾動,所謂匹配擾動是指擾動與控制輸入在同一通道,反之,則為非匹配擾動.目前針對匹配擾動的抑制方法已有大量的研究,例如自抗擾控制中利用擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(extended state observer,ESO)在線估計和補(bǔ)償控制輸入通道中的總擾動,以實現(xiàn)對系統(tǒng)內(nèi)、外干擾的主動抑制[4–6].此外,滑模變結(jié)構(gòu)控制[7–8]、不確定干擾估計器[9–10]等控制方法也常用于解決此類匹配擾動的抑制問題.文獻(xiàn)[11]針對非匹配擾動抑制問題,提出了基于廣義擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(generalized extended state observer,GESO)的擾動估計方法,通過設(shè)計合適的擾動補(bǔ)償增益,有效消除了非匹配擾動對系統(tǒng)輸出的影響.但是對于具有多個擾動源的實際控制系統(tǒng),通常既含有匹配擾動又含有非匹配擾動,以上處理單一匹配擾動或非匹配擾動的方法不再適用.

反步控制是一種常用的非線性控制方法,其核心思想是將非線性系統(tǒng)分解為多個低階子系統(tǒng),并為每個子系統(tǒng)設(shè)計Lyapunov函數(shù)與虛擬控制輸入,保證各個子系統(tǒng)的鎮(zhèn)定,通過多步遞推計算完成系統(tǒng)實際控制規(guī)律的設(shè)計[12–13].傳統(tǒng)反步控制對系統(tǒng)模型的準(zhǔn)確性要求比較高,控制精度易受參數(shù)不確定性和未知外擾的影響.基于此,有研究將反步法與主動擾動抑制方法相結(jié)合,以提高反步控制系統(tǒng)的魯棒性.特別是當(dāng)擾動不滿足匹配條件時,結(jié)合了主動抗干擾機(jī)制的復(fù)合反步控制方法具有明顯的優(yōu)越性[14].

文獻(xiàn)[15]針對存在多源擾動的電液伺服系統(tǒng),設(shè)計線性ESO估計系統(tǒng)不可測狀態(tài)和匹配擾動,對于非匹配擾動則由非線性擾動觀測器進(jìn)行在線估計.文獻(xiàn)[16]將積分反步控制和多個擾動觀測器結(jié)合使用,實現(xiàn)了對多通道干擾的實時估計與有效補(bǔ)償.文獻(xiàn)[17]利用反步控制思想,將一類具有下三角結(jié)構(gòu)的高階系統(tǒng)劃分為多個一階子系統(tǒng),然后分別針對每個子系統(tǒng)設(shè)計降階擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(reduced-order extended state observer,RESO),實時估計各個子系統(tǒng)中的總擾動并加以補(bǔ)償,增強(qiáng)了系統(tǒng)的抗擾能力.進(jìn)一步地,文獻(xiàn)[18]將該方法應(yīng)用于自動導(dǎo)航車輛,實現(xiàn)了對未知摩擦和車輪打滑等不確定性的有效補(bǔ)償.然而,上述幾種處理多通道擾動的控制方法需要設(shè)計多個觀測器來估計各個通道中的擾動,增加了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜度與參數(shù)調(diào)節(jié)難度,并且繁重的計算量很容易導(dǎo)致控制執(zhí)行器延遲.

針對以上問題,本文提出基于降階廣義擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(reduced-order generalized extended state observer,ROGESO)的多源受擾系統(tǒng)反步控制設(shè)計方法.通過構(gòu)造ROGESO對多源擾動進(jìn)行同步實時估計,利用擾動估計值設(shè)計基于擾動主動補(bǔ)償?shù)膹?fù)合反步控制律,有效抑制擾動對系統(tǒng)輸出的影響,從而實現(xiàn)系統(tǒng)輸出對參考輸入信號的高精度跟蹤.本文的主要創(chuàng)新點如下:1)充分利用系統(tǒng)信息,設(shè)計一個ROGESO在線估計各個通道的擾動,有效降低一般主動擾動抑制方法中使用全維狀態(tài)觀測器引起的相位滯后;2)設(shè)計基于擾動補(bǔ)償?shù)闹噶顬V波(command filter,CF)反步控制律,同時消除匹配和非匹配擾動對系統(tǒng)輸出的影響,保證系統(tǒng)具有滿意的過渡過程性能、穩(wěn)態(tài)性能和魯棒性.

2 問題描述

考慮如下n階多源受擾系統(tǒng):

其中:ai,i+10,i=1,2,···,n ?1,b為已知非零常數(shù),In表示n階單位矩陣.設(shè)系統(tǒng)參考輸入為r(t),假定r(t)和光滑,有界并且已知.

系統(tǒng)(1)可以描述實際工程中常見的多源受擾系統(tǒng),例如電液伺服系統(tǒng)[15],雙軸伺服系統(tǒng)[20]等,其中fi(t)(i=1,2,···,n ?1)與u(t)不在同一通道,為非匹配擾動,fn(t)為匹配擾動.

假設(shè)1系統(tǒng)(1)中各通道總擾動fi(t)及其一階導(dǎo)數(shù)有界,即滿足

其中Ψi和Φi為未知正數(shù).

本文的控制目標(biāo)為:針對多源受擾系統(tǒng)(1),設(shè)計基于ROGESO的指令濾波反步控制規(guī)律,通過對各通道的總擾動進(jìn)行實時估計與動態(tài)補(bǔ)償,使系統(tǒng)穩(wěn)定,并保證輸出對參考輸入信號的高精度跟蹤.

3 基于ROGESO的指令濾波反步控制系統(tǒng)設(shè)計

本節(jié)將給出ROGESO的結(jié)構(gòu)和指令濾波反步控制器的設(shè)計步驟.基于ROGESO的指令濾波反步控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示.

圖1 基于ROGESO的指令濾波反步控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.1 Configuration of the ROGESO-based command filtered backstepping control system

3.1 構(gòu)造ROGESO

引入擴(kuò)張狀態(tài)變量

建立系統(tǒng)(1)的增廣模型

由于系統(tǒng)(1)的狀態(tài)xp(t)可測,本文僅需設(shè)計觀測器對各個通道的擾動進(jìn)行估計.將增廣系統(tǒng)(3)中的可測變量與不可測變量分離得到

聯(lián)立式(2)(5),建立降階增廣系統(tǒng)狀態(tài)空間模型

針對系統(tǒng)(6),設(shè)計如下狀態(tài)觀測器:

3.2 基于多通道擾動主動補(bǔ)償?shù)膹?fù)合反步控制律

本小節(jié)采用反步法遞歸設(shè)計虛擬控制律,并將ROGESO(9)得到的各通道擾動估計值引入到對應(yīng)子系統(tǒng)的虛擬控制律中進(jìn)行反向補(bǔ)償,實現(xiàn)各級子系統(tǒng)的鎮(zhèn)定,并保證系統(tǒng)輸出對參考輸入信號的高精度跟蹤.

步驟1設(shè)x1d(t)=r(t)為被控系統(tǒng)的期望輸出,針對系統(tǒng)(1)的x1–子系統(tǒng),分別選取狀態(tài)跟蹤誤差

和Lyapunov函數(shù)

對V1(t)求導(dǎo),并引入虛擬控制輸入α1(t)得到

將α1(t)設(shè)計為

其中k1∈R+為待選取的反步控制增益.將式(13)代入式(12)得到

其中:zi(0)=αi(0),zi+1(0)=0,zi(t)和zi+1(t)為濾波器狀態(tài),x(i+1)d(t)為濾波器輸出,0<ζ≤1,ωn>0分別為濾波器的阻尼比和自然頻率.

由式(15)得x(i+1)d(t)與αi(t)的傳遞函數(shù)為

注1由式(15)和圖2可知虛擬控制輸入αi(t)的一階導(dǎo)數(shù)估計值可由積分過程得到,從而避免了傳統(tǒng)反步控制對虛擬控制輸入直接求導(dǎo)而放大噪聲.此外,當(dāng)被控系統(tǒng)的階數(shù)較高時,傳統(tǒng)反步控制存在反復(fù)求導(dǎo)引起的計算膨脹問題,采用于基于二階指令濾波器的反步控制可大大減少計算量.

圖2 二階指令濾波器結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Structure block diagram of the second-order command filter

注2本文采用指令濾波器逼近各子系統(tǒng)的虛擬控制輸入及其一階導(dǎo)數(shù),參考輸入信號r(t)及其一階導(dǎo)數(shù)滿足光滑有界條件即可,放寬了傳統(tǒng)反步控制系統(tǒng)對參考輸入信號n階連續(xù)可導(dǎo)的要求[19].因此,與傳統(tǒng)反步控制相比,本文設(shè)計的指令濾波反步控制方法應(yīng)用范圍更廣.

步驟m(m=2,3,···,n?1) 針對系統(tǒng)(1)中的xm–子系統(tǒng),分別選取狀態(tài)跟蹤誤差

和Lyapunov函數(shù)

其中:ki∈R+為待選取的反步控制增益,εi(t)=x(i+1)d(t)?αi(t),表示第i次濾波產(chǎn)生的濾波誤差.

將αm(t)設(shè)計為

其中km∈R+為待選取的反步控制增益.將式(20)代入式(19)得到

步驟n針對系統(tǒng)(1)的xn–子系統(tǒng),分別選取狀態(tài)跟蹤誤差

和Lyapunov函數(shù)

對Vn(t)求導(dǎo)可得

其中kn∈R+為待選取的反步控制增益.

4 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

本節(jié)將給出本文所提控制方法的穩(wěn)定性證明,說明系統(tǒng)(1)在第3.2節(jié)的反步控制律作用下有界穩(wěn)定.

定理1在滿足假設(shè)1的條件下,通過選取合適的觀測器增益矩陣L,使得矩陣?為Hurwitz矩陣,則可保證擾動估計誤差動態(tài)系統(tǒng)(8)漸近穩(wěn)定,并且擾動估計誤差ef(t)指數(shù)收斂至球界.

成立.設(shè)λmin(K)為矩陣K的最小特征值,Φmax為所有通道擾動一階導(dǎo)數(shù)的最大上界.

選取Lyapunov函數(shù)

對V0(t)求導(dǎo)

注3由以上分析可知,當(dāng)擾動的一階導(dǎo)數(shù)為零即Φmax=0時,ROGESO可實現(xiàn)對各通道擾動的穩(wěn)態(tài)無偏差估計.

引理1考慮二階指令濾波器(15),若假設(shè)1成立,則對于給定任意小的正實數(shù)χ,存在充分大的濾波器自然頻率ωn,使得濾波誤差|zi(t)?αi(t)|≤χ對于任意t≥0恒成立[12].

5 仿真研究

考慮如下具有參數(shù)不確定性和外部負(fù)載干擾的S60BL-430型無刷直流電機(jī)伺服系統(tǒng)[22]:

其中:ω(t)為電機(jī)轉(zhuǎn)子的角速度,i(t)和u(t)分別為電樞電流和控制輸入電壓,Mc(t)表示外負(fù)載轉(zhuǎn)矩,其他參數(shù)定義及標(biāo)稱值列于表1.

表1 無刷直流電機(jī)參數(shù)Table 1 Parameters of the brushless DC motor(33)

電機(jī)在運(yùn)行過程中受摩擦、渦流等因素的影響,其內(nèi)部溫度會發(fā)生變化,由此導(dǎo)致電樞繞組的相電阻R和相電感Ls產(chǎn)生參數(shù)攝動.另一方面,外部負(fù)載的變化會引起轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動慣量J的攝動.設(shè)上述參數(shù)不確定性滿足關(guān)系式

其中:R0,L0,J0分別是相電阻、相電感和轉(zhuǎn)動慣量的標(biāo)稱值,R0?R,L0?L,J0?J分別是相電阻、相電感和轉(zhuǎn)動慣量的攝動量.

選取狀態(tài)變量xp(t)和控制輸出yp(t)分別為

建立系統(tǒng)(1)形式的無刷直流電機(jī)伺服系統(tǒng)狀態(tài)空間模型,相應(yīng)的系數(shù)矩陣和各通道擾動為

5.1 觀測器估計性能對比分析

由前面的分析可知,多通道干擾的估計精度將直接影響系統(tǒng)的擾動補(bǔ)償效果和跟蹤精度.本小節(jié)針對系統(tǒng)(33),從頻域的角度分析ROGESO的擾動估計性能,并與文獻(xiàn)[11]中的全階GESO對比.

設(shè)ROGESO(9)中的觀測器增益矩陣L為

設(shè)全階GESO[11]的觀測器增益矩陣Γ為

類似地,由全階GESO的估計誤差動態(tài)方程得到各通道擾動估計值與實際擾動fi(t)(i=1,2)的傳遞函數(shù)分別為

圖3 不同極點條件下GROGESO(f1)(37)的伯德圖Fig.3 Bode diagram of GROGESO(f1)(37)with different poles

圖4 ROGESO和GESO的擾動估計傳遞函數(shù)伯德圖Fig.4 The Bode diagram of the disturbance estimation transfer function for ROGESO and GESO

5.2 仿真結(jié)果對比分析

設(shè)式(34)中的參數(shù)不確定性具有如下形式:

外負(fù)載轉(zhuǎn)矩和參考輸入信號分別為Mc(t)=0.1sin(0.5πt)+0.25sin(πt)+arctan(0.2t),r(t)=(100sin(πt)+80sin(0.5πt))(1?exp(?t)).

選取反步控制器增益k1=50,k2=1.2;二階指令濾波器(15)中ζ=0.1,ωn=200;ROGESO(9)的極點={?45,?45},得到觀測器增益矩陣

圖5為ROGESO對各通道擾動的估計以及相應(yīng)的估計誤差曲線.可見,本文設(shè)計的ROGESO可以準(zhǔn)確估計各通道擾動,其中f1(t)的最大穩(wěn)態(tài)估計誤差約為其實際值的1.2485%,f2(t)的最大穩(wěn)態(tài)估計誤差約為其實際值的8.8911%.圖6為指令濾波器(15)對虛擬控制輸入α1(t)(13)的估計曲線,最大穩(wěn)態(tài)估計誤差為0.0031,因此,該濾波器具有較好的估計性能.

圖5 ROGESO(9)對f1(t)和f2(t)的估計Fig.5 Estimation curves of f1(t)and f2(t)

圖6 指令濾波器(15)對虛擬控制輸入α1(t)的估計Fig.6 Estimation curve of the command filter (15) for the virtual control input α1(t)

圖7為本文設(shè)計的基于ROGESO的指令濾波反步控制系統(tǒng)的輸出響應(yīng)曲線,其中系統(tǒng)最大穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差約為1.2459×10?4.具體性能指標(biāo)列于表2,其中tp為上升時間,ess為最大穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差,最大PTP表示穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差的最大峰值與谷值之差,uss表示最大穩(wěn)態(tài)控制輸入電壓.結(jié)合表2可知,該伺服系統(tǒng)可以準(zhǔn)確估計并有效補(bǔ)償各通道擾動,保證電機(jī)的輸出轉(zhuǎn)速高精度跟蹤參考輸入信號r(t).

圖7 基于ROGESO的無刷直流電機(jī)反步控制系統(tǒng)輸出響應(yīng)Fig.7 Output response of the ROGESO–backsteppingbased brushless DC motor servo system

表2 性能指標(biāo)對比Table 2 Performance indicators

圖8為相同控制器參數(shù)下本文所提方法與基于全階GESO的反步控制(GESO–backstepping)系統(tǒng)擾動估計誤差和系統(tǒng)跟蹤誤差對比.結(jié)合前面的頻域分析可知,相比于全階GESO,ROGESO引起的相位滯后更小,擾動估計和補(bǔ)償效果更好.由表2可知,本文所提方法下的伺服系統(tǒng)最大穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差約為GESO–backstepping系統(tǒng)的46.5079%,因此,本文方法下的系統(tǒng)跟蹤性能與抗擾性能更佳.

圖8 本文方法與基于GESO的反步控制對比Fig.8 Comparisons between the proposed method and the GESO-based backstepping control system

圖9為本文所提控制方法與文獻(xiàn)[17–18]提出的基于RESO的反步控制(RESO–backstepping)及常規(guī)反步控制系統(tǒng)跟蹤誤差對比.結(jié)合表2可知:1)與常規(guī)反步控制系統(tǒng)相比,引入主動抗干擾機(jī)制的RESO–backstepping系統(tǒng)和本文設(shè)計的系統(tǒng)擾動抑制性能更強(qiáng),跟蹤誤差更小;2)本文控制方法下的系統(tǒng)過渡過程性能、穩(wěn)態(tài)性能以及魯棒性均明顯優(yōu)于其他兩種方法.

圖9 本文方法與常規(guī)反步控制以及基于RESO的反步控制[17–18]跟蹤誤差對比Fig.9 Comparisons of tracking performance of the proposed method,conventional backstepping control and RESO-based backstepping control[17–18]

6 結(jié)論

本文針對存在多通道狀態(tài)相關(guān)不確定性和外部干擾的多源受擾系統(tǒng),提出了基于ROGESO的反步控制設(shè)計方法,證明了閉環(huán)系統(tǒng)的有界穩(wěn)定性.仿真結(jié)果表明,所設(shè)計的控制系統(tǒng)可實現(xiàn)對各通道擾動的在線估計與動態(tài)補(bǔ)償,保證系統(tǒng)對參考輸入信號的高精度跟蹤.通過時域和頻域的仿真分析比較發(fā)現(xiàn),所提方法的系統(tǒng)過渡過程性能、穩(wěn)態(tài)跟蹤性能和擾動抑制性能優(yōu)于基于全階GESO的反步控制、基于RESO的反步控制、以及常規(guī)反步控制方法.