錢俞君

新課程標準中明確提出了培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求.高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)分析.其中數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達問題、用數(shù)學(xué)知識與方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng).數(shù)學(xué)建模的過程主要為：在實際情境中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，構(gòu)建模型，求出結(jié)論，驗證和完善模型，分析和解決問題.數(shù)學(xué)建模是解決實際應(yīng)用問題的重要手段.在教學(xué)中，教師將生活實際問題引入課堂教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生進行探究、分析，構(gòu)建出合適的數(shù)學(xué)模型，從而解決問題.下面重點談一談培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)建模能力的幾個措施.

一、創(chuàng)設(shè)問題情境，培養(yǎng)學(xué)生的建模意識

很多學(xué)生對數(shù)學(xué)建模不夠了解，接觸的機會少，缺少建模意識.對此，教師可在教學(xué)中創(chuàng)設(shè)問題情境，引入一些生活實際問題，將其與所講解的知識關(guān)聯(lián)起來，讓學(xué)生對其進行探究，激發(fā)其學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)建模意識.這樣學(xué)生也能將數(shù)學(xué)知識與生活實際關(guān)聯(lián)起來，明白數(shù)學(xué)知識的實用價值.

以“函數(shù)模型”教學(xué)為例，為了吸引學(xué)生的注意力，筆者創(chuàng)設(shè)了這樣的問題情境：（1）某商店每月按出廠價每瓶3元購進一種飲料，根據(jù)以前的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，若零售價定為每瓶4元，每月可銷售400瓶;若零售價每降低（升高）0.5元，則可多（少）銷售40瓶，在每月的進貨當(dāng)月銷售完的前提下，為獲得最大利潤，銷售價應(yīng)定為_____元/瓶.（2）物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻規(guī)律來描述：設(shè)物體的初始溫度是 T0，經(jīng)過一定時間 t 后的溫度為 T ，則 T-Ta=（T0-Ta）·（12）th ，其中Ta 稱為環(huán)境溫度，h 稱為半衰期.現(xiàn)有一杯用88℃熱水沖的速溶咖啡，放在 24℃的房間中，如果咖啡降到40℃需要 20 分鐘，那么此杯咖啡從 40℃降溫到 32℃時，還需要____分鐘.這兩個問題與學(xué)生的生活實際比較貼近，有助于消除學(xué)生對函數(shù)模型的陌生感，能激發(fā)他們的探究欲望.很多學(xué)生便會嘗試著將其與函數(shù)知識關(guān)聯(lián)起來，建立數(shù)學(xué)模型：（1）設(shè)設(shè)銷售價每瓶定為 x 元，利潤為 y 元，建立函數(shù)關(guān)系式 y=（x-3）·（ ） 400 + 4 - x0.5× 40 （x ≥ 3） ，通計算便可得出當(dāng) x=6 時，y 取得最大值（. 2）根據(jù)已知的關(guān)系式 T-Ta=（T0-Ta ）·，找出對應(yīng)的 Ta、T0、T、t 的值，將其代入求得t=10 .

這樣學(xué)生在探究問題的過程中，逐步樹立了建模的意識，明確了函數(shù)知識與生活實際問題之間的聯(lián)系，并在思考問題的過程中提出問題、分析問題，嘗試建立和求解模型，分析和解決問題.

二、組織學(xué)生開展小組活動，探究建模的方法

在建模時學(xué)生常常會遇到困難，這時教師可組織他們開展小組合作學(xué)習(xí)，以解決問題.在小組合作學(xué)習(xí)過程中，教師要給學(xué)生提供自主探究的機會，讓他們對建模的步驟和方法進行探究.這樣在小組成員的共同努力下，探究出解決問題的方案，學(xué)生才能真正體會到建模的樂趣，并學(xué)會運用數(shù)學(xué)建模思想去處理問題.

以“數(shù)列模型”的教學(xué)為例，當(dāng)學(xué)生學(xué)完數(shù)列知識后，筆者給學(xué)生展示了這樣一個生活實際問題：某銀行設(shè)立了教育助學(xué)貸款，規(guī)定一年期以上貸款月均等 額還本付息，如果貸款10000元，兩年還清，月利率為 0.4575%，那么每月應(yīng)還多少錢呢？然后要求學(xué)生通 過小組合作的方式對該問題進行探討.學(xué)生紛紛在小 組內(nèi)進行了交流、討論.有的學(xué)生認為：“兩年還清的意 思是，24個月內(nèi)還清.”有的學(xué)生表示：“每個月的付 款額呈現(xiàn)出一定的規(guī)律.”受到該學(xué)生的啟發(fā)，隨后一 名學(xué)生表示：“貸款過程中的利息不變，可以設(shè)其為 ?x .”緊接著一名學(xué)生表示：“如果設(shè)貸款過程中利息為 ?x，那么每個月的付款額為 x，（1+0.004575）x，（1+0.004575）2 x，（1+0.004575）3 x，…，（1+0.004575）23 x .”另一名學(xué)生表示：“而各月所付款等于貸款本金與貸 款付清時的利息之和，可建立關(guān)系式： x +（1+0.004575）x +（1+0.004575）2 x +…+（1+0.004575）23 x =10000×（1+0.004575）24.”這樣學(xué)生通過分析題意，了解 了問題的實際背景，提煉出有用的信息，然后建立了 數(shù)列模型.通過該觀察、討論，小組成員很快發(fā)現(xiàn)和式 中的各項成等比數(shù)列，其首項為1，公比為1.004575.于 是運用等比數(shù)列前 n 項和公式來計算，解得 x ≈440.91.最后，有的學(xué)生提出要對建立的模型進行檢驗，經(jīng)檢驗發(fā)現(xiàn)所得的結(jié)果與生活實際相符，最終運用數(shù)列模型解決了該實際問題.

這樣，學(xué)生在小組合作探究中熟悉了構(gòu)建模型的步驟：分析題目——提出假設(shè)——構(gòu)建模型——解答模型——檢驗?zāi)Ｐ?，也掌握了建模的方?在建模的過程中，學(xué)生還認識到合作的力量.

三、加強課堂訓(xùn)練，強化學(xué)生的建模能力

當(dāng)學(xué)生掌握了建模的方法之后，教師要注意對他們加強訓(xùn)練.訓(xùn)練的題目應(yīng)具有層次性和差異性，讓學(xué)困生、學(xué)優(yōu)生都能得到鍛煉，保證每一位學(xué)生都能在習(xí)題作答的過程中學(xué)會運用數(shù)學(xué)模型解決實際問題，最終在鍛煉中提升建模能力，并促進數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.

例如，當(dāng)學(xué)生掌握了數(shù)學(xué)建模方法后，筆者給學(xué)生布置了以下習(xí)題：

（1）某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金的投入.若該公司2016年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是______年.

（2）某城市現(xiàn)有人口為100萬，如果20年后該城市人口總量不超過120萬，年自然增長率應(yīng)控制在多少以內(nèi)？

（3）某地區(qū)2011年至2017年農(nóng)村居民家庭人均純收入 y （單位：千元）的數(shù)據(jù)如表：

分析2011年至2017年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預(yù)測該地區(qū)2019年農(nóng)村居民家庭人均純收入.

（4）某人有一套房子，室內(nèi)面積共計180 m2，擬分隔成兩類房間作為旅游客房，大房間每間面積為18 m2，可住游客5名，每名游客每天住宿費40元;小房間每間面積為15 m2，可住游客3名，每名游客每天住宿費50元.裝修大房間每間需要1000元，裝修小房間每間需要600元.如果他只能籌款8000元用于裝修，且游客能住滿客房，他應(yīng)隔出大房間和小房間各多少間，每天才能獲得最大的房租收益？

第一、二個題目的難度較小，可要求學(xué)習(xí)能力較差的學(xué)生完成;第三、四個題目的難度較大，可要求學(xué)習(xí)能較強的學(xué)生完成，這樣能讓每個學(xué)生都能得到鍛煉和發(fā)展.學(xué)生將以上四個生活實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并建立數(shù)學(xué)模型加以解決.他們在熟悉建模的方法的同時，提升了解決實際應(yīng)用問題的能力.這樣不僅積累了數(shù)學(xué)實踐經(jīng)驗，強化了建模能力，也能培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

四、完善教學(xué)評價，引導(dǎo)學(xué)生反思建模的過程

想要在課堂中培養(yǎng)學(xué)生的建模能力，教師要不斷完善教學(xué)評價，對學(xué)生的建模意識、建模步驟、建模成果等進行評價，讓他們在評價中總結(jié)自身的不足以及優(yōu)勢，不斷地調(diào)整學(xué)習(xí)方法，提升建模能力，最終通過教學(xué)評價檢驗學(xué)習(xí)效果，在反思中培養(yǎng)建模素養(yǎng).

例如，在教學(xué)完“三角函數(shù)”這一知識點時，筆者展示了這樣一道題目：下表是某地一年中10天的白晝時間.日期1月1日2月28日3月21日4月27日5月6日

（1）選用一個三角函數(shù)來近似描述白晝時間與日期序號之間的函數(shù)關(guān)系;

（2）用（1）中的函數(shù)模型估計該地7月8日的白晝時間.

學(xué)生紛紛運用所學(xué)的知識開始作答：第一步，按表中的數(shù)據(jù)作出散點圖;第二步，由散點圖找到最值、周期;第三步，設(shè)出函數(shù)模型，并將數(shù)據(jù)代入求出各參數(shù);第四步，根據(jù)題意列出不等式組，解得答案.在學(xué)生完成解題后，筆者對學(xué)生的課堂表現(xiàn)進行了評價，其中評價內(nèi)容包括：第一，為什么要畫出散點圖？第二，為什么要構(gòu)建三角函數(shù)模型？其他模型是否也可以？第三，是否能夠順利構(gòu)建三角函數(shù)模型？第四，是否能夠根據(jù)生活實際、數(shù)據(jù)、散點圖順利求出三角函數(shù)？第五，能否用模型解釋生活中白晝時間與日期的關(guān)系？學(xué)生在反思的過程中，重新梳理問題與數(shù)學(xué)知識，能有效地提升應(yīng)用能力和反思能力.總之，通過教師的評價以及對自己的建模過程的反思，學(xué)生就會發(fā)現(xiàn)自身的不足，并加以改進，最終在不斷提升建模能力.

培養(yǎng)高中生的建模能力，不是一朝一夕就能完成的.教師在教學(xué)過程中既要依據(jù)課程標準提出的教學(xué)要求制定目標、設(shè)計教學(xué)活動，又要根據(jù)學(xué)生的興趣和喜好將數(shù)學(xué)知識與生活實際關(guān)聯(lián)起來，以讓他們學(xué)會發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題并解決問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力.

（作者單位：山東淄博實驗中學(xué)）