尹俊淇

設(shè)-扭自由素環(huán)，，設(shè)，且-導(dǎo)子，并帶有伴隨-導(dǎo)子.若對(duì)任意，滿足且，則或上.若滿足且，則或上.用廣義導(dǎo)子的相關(guān)性質(zhì)研究與其對(duì)應(yīng)的映射之間的關(guān)系。

素環(huán) ?理想 ?導(dǎo)子 ?廣義導(dǎo)子

?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A???文章編號(hào)：1672-3791（2022）02（b）-0000-00

?

Let ?be a 2-torsion free prime ring and be a nonzero Jordan ideal?and a subring of . Suppose ?is an automorphism of ?and ?：?→ ?is a generalized （）-derivation with associated （）-derivation .Ifwith，then either?on or??.Ifwith，then either ?on or.

?Prime ring;?Jordan ideal;?Derivation;?Generalized?derivation

2008年，Asma Ali和Deepak Kumar1證明：設(shè)-扭自由素環(huán)，，設(shè)，且-導(dǎo)子，并帶有伴隨-導(dǎo)子。若，則。設(shè)-扭自由素環(huán)，，設(shè)，且-導(dǎo)子，并帶有伴隨-導(dǎo)子。若，則受前人的啟發(fā)，結(jié)合相關(guān)論文，通過(guò)對(duì)映射進(jìn)行展開(kāi)替換并規(guī)定相關(guān)條件，將一些結(jié)果展開(kāi)推廣相關(guān)性質(zhì)。

文中是帶有中心的結(jié)合環(huán)。環(huán)是素環(huán)（或半素環(huán)）滿足若，則或（或若，則）。如果環(huán)-扭自由的，環(huán)中任意取，若，則必有。對(duì)任意，有，。其中若，則稱可加子群Jordan理想。若，則稱可加子群Lie理想。，若滿足任意，都有，則稱。若映射，設(shè)，則稱可加映射-導(dǎo)子。但下述情況不是上的導(dǎo)子：。設(shè)，都有，則稱。設(shè)，且存在-導(dǎo)子，若滿足任意，都有則稱-導(dǎo)子。

已有相關(guān)學(xué)者研究并證明素環(huán)上的廣義導(dǎo)子的相關(guān)性質(zhì)。該文中筆者對(duì)同態(tài)映射，則，則的相關(guān)結(jié)果推廣到廣義導(dǎo)子與。

設(shè)，若，則。

設(shè)扭自由素環(huán)，，若，則或。

設(shè)是-扭自由素環(huán)，，設(shè)自同構(gòu)，若-導(dǎo)子，且，則或。

設(shè)是-扭自由素環(huán)，，若，則。

設(shè)-扭自由素環(huán)，，設(shè)，且-導(dǎo)子，并帶有伴隨-導(dǎo)子。若對(duì)任意，滿足且，則或上。

由題設(shè)有

故得到

在上式中用得到

等式兩端展開(kāi)得到

又由，則有

由上式可得到

又由得

由引理2得到，又由題設(shè)，就有

再根據(jù)引理3以及引理4就有。

?設(shè)-扭自由素環(huán)，，設(shè)，且-導(dǎo)子，并帶有伴隨-導(dǎo)子。若對(duì)任意，滿足且，則或上。

由題設(shè)有

故得到

在上式中用替代得到

又由可得到

在上式中用

再將左乘得到

將上兩式相減得到

由上式則有

又由得

由引理2得到或，又由題設(shè)，就有

再根據(jù)引理3以及引理4就有。

在一些學(xué)者對(duì)廣義導(dǎo)子在素環(huán)上的相關(guān)研究成果的基礎(chǔ)上，在已知廣義導(dǎo)子不滿足同態(tài)映射的條件下繼續(xù)推廣研究廣義導(dǎo)子與，從而得到一些有意義的結(jié)果，并完善廣義導(dǎo)子在素環(huán)上更為廣泛性的結(jié)論。

[1] ALI A，REHMAN N，SHAKIR A.On Lie Ideals with Derivations as Homomorphisms and Anti-homomorphisms[J].Acta Math.Hungar，2003，101：79–82.

[2]馮偉.環(huán)上廣義Jordan*-導(dǎo)子的結(jié)構(gòu)研究[D].長(zhǎng)春：長(zhǎng)春理工大學(xué)，2021.

[3]常洪亮.李代數(shù)的一種新的廣義導(dǎo)子[D].長(zhǎng)春：東北師范大學(xué)，2020.

[4]許瑩.作為同態(tài)與反同態(tài)的廣義（θ，θ）-導(dǎo)子的研究[J].佳木斯大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2019，37（2）：324-325.

[5]楊悅，杜奕秋.對(duì)σ-素環(huán)上廣義導(dǎo)子性質(zhì)的研究[J].寧夏師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2021，42（4）：17-19，43.

[6]許瑩.素環(huán)上的廣義（θ，θ）-導(dǎo)子[J].洛陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2021，40（5）：5-6.

[7]李思曄.2-扭自由σ-素環(huán)上的廣義導(dǎo)子的性質(zhì)①[J].佳木斯大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2019，37（6）：1021-1022.

[8]鐘佩伶.素環(huán)上的廣義（θ，θ）-導(dǎo)子[J].商丘師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2019，35（3）：15-17.