曹森山，許鋒，羅雄麟

（中國(guó)石油大學(xué)（北京）信息科學(xué)與工程學(xué)院自動(dòng)化系，北京 102249）

引 言

在化工過(guò)程系統(tǒng)中經(jīng)常會(huì)遇到循環(huán)物流，這一般是為了充分利用物料[1-3]，例如，在工藝反應(yīng)后分離出未反應(yīng)的或剩余的反應(yīng)物而進(jìn)行循環(huán)，以提高該反應(yīng)物流的轉(zhuǎn)化率；在吸收過(guò)程中，將吸收液中的溶劑在解吸塔中解吸出來(lái)循環(huán)回到吸收塔中，實(shí)現(xiàn)吸收劑的循環(huán)利用，減少了溶劑消耗；在液相或固相催化劑作用下的化學(xué)反應(yīng)中，對(duì)反應(yīng)混合物進(jìn)行分離后，對(duì)液相或固相的催化劑再進(jìn)行循環(huán)；此外，還有共沸精餾中共沸劑的循環(huán)利用和萃取過(guò)程中萃取劑的回收循環(huán)等等。因此，對(duì)含有循環(huán)物流的化工過(guò)程進(jìn)行流程模擬研究是非常必要的。

在進(jìn)行化工過(guò)程的流程模擬時(shí)，從計(jì)算策略的角度出發(fā)，要解決兩個(gè)基本問(wèn)題，一是流程的分隔，二是包含循環(huán)物流的子系統(tǒng)迭代。兩者相比，如何處理循環(huán)物流的迭代是更困難的任務(wù)，因?yàn)檠h(huán)物流系統(tǒng)中的循環(huán)是貫穿整個(gè)系統(tǒng)的，在進(jìn)行迭代計(jì)算時(shí)會(huì)出現(xiàn)代數(shù)環(huán)[4-8]問(wèn)題。代數(shù)環(huán)讓輸入輸出同時(shí)參與迭代計(jì)算，引起邏輯混亂，使得迭代計(jì)算無(wú)法繼續(xù)進(jìn)行。目前，化工過(guò)程流程模擬方法主要有序貫?zāi)K法[9-12]、聯(lián)立模塊法[13-14]和聯(lián)立方程法[15-16]，其中，應(yīng)用最廣泛的是序貫?zāi)K法，該方法的主要思路是將整個(gè)系統(tǒng)劃分為若干個(gè)相互連接的不可分割模塊，分別計(jì)算每個(gè)模塊，使其輸出相應(yīng)的信號(hào)，最后聯(lián)立模塊計(jì)算出最終模型解。對(duì)于如何處理化工過(guò)程模擬計(jì)算中的循環(huán)物流，避免流程模擬迭代計(jì)算時(shí)出現(xiàn)代數(shù)環(huán)的問(wèn)題，主要有擇優(yōu)選擇斷裂物流[17-19]、提供較優(yōu)初始值、選擇合適的加速收斂方法[20-22]、增大迭代次數(shù)[23-27]等方法，這對(duì)于流程模擬計(jì)算的收斂具有重要意義。序貫?zāi)K法在對(duì)其進(jìn)行模擬計(jì)算時(shí)要將所有回路斷裂，并給斷裂流股變量賦初值，然后依次調(diào)用單元模塊不斷進(jìn)行迭代計(jì)算，直至斷裂流股變量的計(jì)算結(jié)果收斂。在20世紀(jì)60年代初，Kou等[28]就提出了斷裂的思想。此后，Shacham 等[29]、Motard 等[30]、Naseem 等[31]分別對(duì)斷裂技術(shù)的發(fā)展進(jìn)行了系統(tǒng)的評(píng)述，給出了系統(tǒng)的斷裂最優(yōu)準(zhǔn)則。隨著流程模擬技術(shù)的不斷發(fā)展，目前主流的流股斷裂方法主要有Lee-Rudd(L-R)分解法、Upadhye-Grens(U-G)斷裂法。而對(duì)于斷裂后如何迭代計(jì)算，常用的迭代方法有直接迭代法、加權(quán)迭代法、牛頓迭代法以及擬牛頓法等。汪德友等[32]通過(guò)直接法和牛頓法對(duì)機(jī)坪管網(wǎng)水力流程模擬計(jì)算,證明了牛頓迭代法相對(duì)于直接迭代法收斂更快。管慧瑩[33]提出在以牛頓迭代法為主函數(shù)的基礎(chǔ)上，引入插值法與其結(jié)合，提高了迭代算法的效率。王曉鋒[34]提出了兩種修正的牛頓迭代法，分析了它們的穩(wěn)定性和迭代速度，用數(shù)值實(shí)驗(yàn)證明了兩方面都優(yōu)于經(jīng)典牛頓迭代法。Fang等[35]通過(guò)假定最后三次迭代得到信息關(guān)系來(lái)近似雅可比矩陣，建立新的擬牛頓迭代方程，具有局部超線性收斂性質(zhì)，提高了迭代收斂速度。 Bublitz 等[36]基于 Dulmage-Mendelsohn 算法形成塊對(duì)角雅可比矩陣，降低了擬牛頓迭代方程對(duì)子系統(tǒng)初始量的敏感度，確保了整個(gè)系統(tǒng)的收斂。這些研究成果都是對(duì)牛頓迭代法的有效性進(jìn)行研究，或是提出新的修正格式，以使收斂結(jié)果更加接近真實(shí)值。但是這些方法仍然存在一些問(wèn)題，比如對(duì)簡(jiǎn)單過(guò)程系統(tǒng)尚可，對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)則因其規(guī)模龐大，很難計(jì)算收斂，還有關(guān)于循環(huán)回路的切斷優(yōu)化判據(jù)自相矛盾或者與某些實(shí)例不符等等，說(shuō)明在如何處理含循環(huán)物流的流程模擬計(jì)算仍需要更深一步的研究。

本文針對(duì)含循環(huán)物流的化工流程模擬計(jì)算難收斂的問(wèn)題，將穩(wěn)態(tài)模擬計(jì)算轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)化的差分方程，用離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論解決收斂性問(wèn)題。該方法首先把過(guò)程系統(tǒng)的對(duì)象模型劃分為正向模型和反向模型兩類(lèi)，并且將循環(huán)物流中的變量定義為迭代變量和收斂變量，在每個(gè)正向模型和反向模型相鄰的位置進(jìn)行斷裂，加入增益系數(shù)，進(jìn)而得到收斂遞推式。利用控制理論中的穩(wěn)定性理論來(lái)確定迭代方程的增益系數(shù)，使得整個(gè)系統(tǒng)流程模擬計(jì)算達(dá)到收斂。根據(jù)收斂遞推式的形式，采用勞斯判據(jù)確定增益系數(shù)穩(wěn)定范圍。以催化裂化裝置反應(yīng)-再生系統(tǒng)為例進(jìn)行穩(wěn)態(tài)流程模擬計(jì)算，以反應(yīng)器作為正向模型，再生器作為反向模型，以再生溫度和再生催化劑含碳量作為迭代變量，構(gòu)造了催化裂化裝置反應(yīng)-再生系統(tǒng)流程模擬的迭代方程，模擬計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證了該方法的可行性和有效性。

1 正向反向模型

化工過(guò)程系統(tǒng)是較為復(fù)雜和龐大的工業(yè)過(guò)程，其涉及的建模問(wèn)題較為復(fù)雜，涉及的模型種類(lèi)也較多。一般情況下需要對(duì)真實(shí)的化工過(guò)程系統(tǒng)單元進(jìn)行一定的簡(jiǎn)化處理，使建立的模型能夠用現(xiàn)有的數(shù)學(xué)工具進(jìn)行求解。由于化工過(guò)程系統(tǒng)中的各種單元設(shè)備都可以用合適的模型方程進(jìn)行描述，其模型方程都具有一定的相似性，因此在進(jìn)行流程模擬計(jì)算之前，根據(jù)化工過(guò)程單元模型的計(jì)算形式，可以分為正向模型和反向模型兩種。

定義X為單元設(shè)備的入口變量；Y為單元設(shè)備的出口變量。

正向模型如圖1所示。

圖1 正向模型Fig.1 Forward model

正向模型單元數(shù)學(xué)表達(dá)式為f(X) =Y，顯式表達(dá)式，物料流從入口到出口，如實(shí)線所示，計(jì)算流也是從入口到出口，如虛線所示。這表明正向模型單元在進(jìn)行流程模擬計(jì)算時(shí)，其可以從入口一步一步直接計(jì)算到出口，不需要附加方法對(duì)其處理。管式反應(yīng)器為典型的正向模型。

反向模型如圖2所示。

圖2 反向模型Fig.2 Backward model

反向模型單元數(shù)學(xué)表達(dá)式為g(Y) =X，隱式表達(dá)式，物料流從入口到出口，如實(shí)線所示，但是計(jì)算流不能直接從入口計(jì)算到出口，計(jì)算流如虛線所示，需要對(duì)其做斷裂，加入附加條件處理后才能進(jìn)行迭代計(jì)算。全混流反應(yīng)釜為典型的反向模型。

2 循環(huán)物流系統(tǒng)

一個(gè)化工過(guò)程系統(tǒng)可由正向模型與反向模型組合表達(dá)。如催化裂化裝置的反應(yīng)-再生系統(tǒng)，提升管是正向模型，計(jì)算流與物料流方向相同，從入口計(jì)算到出口；而密相床再生器是反向模型，物料流從入口到出口，但是從入口到出口的計(jì)算是隱式方程，不能直接從入口計(jì)算到出口，需要進(jìn)行反向計(jì)算，計(jì)算流與物料流方向相反。正向模型與反向模型組合得到的化工系統(tǒng)如圖3所示。

圖3 含循環(huán)物流的信息流圖Fig.3 Information flow diagram with stream circulation

圖3 所示的一個(gè)簡(jiǎn)單化工流程中，物料流如實(shí)線所示，從入口到出口再到入口組成了一個(gè)循環(huán)流。但是整個(gè)系統(tǒng)的計(jì)算流卻不能按物料流的順序進(jìn)行迭代計(jì)算，只有正向模型單元可以按物料流順序計(jì)算，而反向模型單元無(wú)法按物料流順序計(jì)算。因?yàn)檎蚰Ｐ驮谀M計(jì)算時(shí)因其數(shù)學(xué)模型是顯式表達(dá)式，出口變量可有入口變量直接計(jì)算得到；反向模型因其數(shù)學(xué)表達(dá)式為隱式表達(dá)式，無(wú)法從入口到出口直接計(jì)算。在模擬計(jì)算起始時(shí)，應(yīng)對(duì)正向模型與反向模型直接的循環(huán)流進(jìn)行流股斷裂，加入增益系數(shù)模塊，然后再對(duì)整個(gè)過(guò)程系統(tǒng)進(jìn)行流程模擬計(jì)算。

對(duì)圖3中正向模型和反向模型之間進(jìn)行流股斷裂，如圖4所示，其中，X為迭代變量，Y為斷裂變量，加入增益系數(shù)后有

圖4 斷裂后的含循環(huán)物流的信息流圖Fig.4 Information flow diagram of stream circulation system after tearing stream

根據(jù)圖4，對(duì)正向模型和反向模型之間進(jìn)行流股斷裂，加入增益系數(shù)后，解決了代數(shù)環(huán)問(wèn)題。

化工過(guò)程一般為非線性系統(tǒng)，f()和g()為非線性函數(shù)，對(duì)其基于穩(wěn)態(tài)點(diǎn)進(jìn)行線性化，得

式(2)為循環(huán)物流系統(tǒng)的迭代方程(1)的線性化形式，如果式(2)是穩(wěn)定的，則式(1)必然收斂，即含循環(huán)物流的系統(tǒng)在進(jìn)行流程模擬計(jì)算時(shí)會(huì)達(dá)到計(jì)算收斂，所以應(yīng)當(dāng)設(shè)法通過(guò)調(diào)整增益系數(shù)陣K使式(2)穩(wěn)定。

3 增益系數(shù)的穩(wěn)定范圍

對(duì)于迭代方程的線性化方程式(2)，要想滿足穩(wěn)定性，根據(jù)雅可比迭代收斂的充分必要條件，(I-KA)的特征值λ必須滿足|λ| ≤1。由特征值λ和特征向量X的關(guān)系有

式(3)是一個(gè)齊次線性方程，存在非零解的充要條件是系數(shù)行列式為零，即

式(4)是一個(gè)關(guān)于λ的高階方程，與控制理論中離散系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程形式相同。當(dāng)方程式(4)的根滿足在單位圓內(nèi)的條件時(shí)，λ的取值滿足|λ| ≤1。

可以利用線性離散系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)中的勞斯判據(jù)對(duì)式(4)方程的根是否在單位圓內(nèi)進(jìn)行判斷，進(jìn)而得出增益系數(shù)陣K的元素取值范圍。

對(duì)增益系數(shù)陣K求解的流程如圖5所示。

圖5 求取收斂模塊的流程圖Fig.5 The flow chart for obtaining convergence module

線性離散系統(tǒng)的勞斯判據(jù)具體要點(diǎn)如下。

表1 勞斯表Table 1 Rolls table

如此繼續(xù)，每一行的系數(shù)由前兩行系數(shù)組成相應(yīng)的行列式進(jìn)行計(jì)算。

(4)由勞斯表判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。為保證系統(tǒng)穩(wěn)定，必須有勞斯表第一列全部大于零，即滿足式(6)。

只要式(6)成立，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即式(4)的根都在單位圓內(nèi)，迭代式(1)必將收斂。

對(duì)于規(guī)模較小的系統(tǒng)(迭代變量X的維數(shù)小于等于2)，勞斯表中的元素可表示為增益系數(shù)K的函數(shù)，利用控制理論中線性離散系統(tǒng)的勞斯判據(jù)，根據(jù)圖5 所示的計(jì)算流程可求解增益系數(shù)K的穩(wěn)定范圍。當(dāng)增益系數(shù)K在穩(wěn)定范圍內(nèi)時(shí)，則迭代方程式(1)必然收斂，進(jìn)而含循環(huán)物流的系統(tǒng)在進(jìn)行流程模擬計(jì)算時(shí)也會(huì)達(dá)到收斂。對(duì)于規(guī)模較大的系統(tǒng)，也可以利用控制理論中線性離散系統(tǒng)的勞斯判據(jù)，判斷增益系數(shù)K是否能使迭代方程式(1)收斂，無(wú)須進(jìn)行模擬計(jì)算。該方法避免了對(duì)反向單元隱式數(shù)學(xué)模型求解的復(fù)雜性，使得不用直接求解隱式數(shù)學(xué)模型就可以使得整體系統(tǒng)流程模擬迭代達(dá)到計(jì)算收斂。

4 實(shí)例分析

4.1 甲苯氧化反應(yīng)-分離系統(tǒng)

甲苯氧化制苯甲酸過(guò)程是一個(gè)簡(jiǎn)單的反應(yīng)分離再循環(huán)系統(tǒng)。在反應(yīng)器中進(jìn)行甲苯氧化制苯甲酸反應(yīng)后，由于甲苯的注入必須過(guò)量，有部分甲苯?jīng)]反應(yīng)完，如果不處理這些甲苯，將導(dǎo)致資源的浪費(fèi)，故將反應(yīng)器中的物料注入到分離器（精餾塔）中，塔底采出產(chǎn)品苯甲酸，塔頂將未反應(yīng)完的甲苯和未采出的苯甲酸一同采出再回流到反應(yīng)器中，以此來(lái)不斷循環(huán)利用甲苯，以節(jié)約甲苯資源，提高甲苯利用率。甲苯氧化制苯甲酸反應(yīng)-分離循環(huán)的工藝流程如圖6所示。

圖6 甲苯氧化制苯甲酸反應(yīng)-分離系統(tǒng)流程圖Fig.6 Schematic diagram of the reaction-separation cycle for the oxidation of toluene to benzoic acid

流股1 為新鮮甲苯進(jìn)料，流股1 與從分離器出來(lái)的循環(huán)流股3（主要為未反應(yīng)的甲苯和未分離出的苯甲酸）混合后進(jìn)入反應(yīng)器，從反應(yīng)器出來(lái)的混合流股2 進(jìn)入分離器后，在塔底得到苯甲酸產(chǎn)品流股4，在塔頂將未反應(yīng)完的甲苯和未采出的苯甲酸冷凝得到流股3 循環(huán)至反應(yīng)器，以此為一個(gè)循環(huán)過(guò)程，不斷重復(fù)下去。從圖5 中可以看出甲苯氧化制苯甲酸是一個(gè)單回路循環(huán)過(guò)程，其中，反應(yīng)器數(shù)學(xué)模型可以歸結(jié)為反向模型，分離器數(shù)學(xué)模型可以歸結(jié)為正向模型。

(1) 分離器數(shù)學(xué)模型 分離器數(shù)學(xué)模型的入口變量為反應(yīng)器出來(lái)的混合流股2的苯甲酸摩爾分?jǐn)?shù)x2、混合流股2 摩爾流量q2、產(chǎn)品流股4 摩爾流量q4，假設(shè)分離過(guò)程為等溫過(guò)程，對(duì)分離器應(yīng)用物料衡算，可以計(jì)算出循環(huán)流股3 的苯甲酸摩爾分率x3、產(chǎn)品流股4摩爾流量x4等出口變量，表示為

因此，分離器為正向模型。

(2) 反應(yīng)器數(shù)學(xué)模型 反應(yīng)器數(shù)學(xué)模型的入口變量為循環(huán)流股3的苯甲酸摩爾分率x3、循環(huán)流股3摩爾流量q3、新鮮甲苯進(jìn)料流股1 摩爾流量q1，假設(shè)甲苯氧化制苯甲酸過(guò)程為等溫反應(yīng)，對(duì)反應(yīng)器應(yīng)用物料衡算，計(jì)算混合流股2 的苯甲酸摩爾分率x2等出口變量。由于反應(yīng)器近似為全混流CSTR 反應(yīng)器，在阿倫尼烏斯反應(yīng)速率方程中反應(yīng)器出口苯甲酸摩爾分率x2為非線性形式，由入口變量計(jì)算出口變量需要迭代計(jì)算，而由出口變量計(jì)算入口變量則可以直接計(jì)算，表示為

因此，反應(yīng)器為反向模型。

根據(jù)圖6 的甲苯氧化制苯甲酸的工藝流程，令X=x2,Y=x3，可得反應(yīng)分離循環(huán)系統(tǒng)流程模擬的信息流如圖7所示。

圖7 反應(yīng)-分離的信息流圖Fig.7 Information flow diagram for reaction-separation

對(duì)圖7中正向模型和反向模型之間進(jìn)行流股斷裂，X為迭代變量，Y為斷裂變量，加入增益系數(shù)K后，得到循環(huán)物流系統(tǒng)迭代方程

只需要k值滿足上述范圍,則迭代方程式(10)必然收斂，進(jìn)而循環(huán)物流系統(tǒng)在進(jìn)行流程模擬時(shí)也會(huì)達(dá)到收斂。

如果按照通常的序貫?zāi)K法的計(jì)算流程，對(duì)式(9)，以x3為自變量，以x2為因變量，通過(guò)求解非線性方程進(jìn)行由x3到x2的正向計(jì)算，同樣在x3處進(jìn)行斷裂，分別采用直接迭代法、加權(quán)迭代法和牛頓法對(duì)x3進(jìn)行迭代計(jì)算。

直接迭代法

式中，x(k-1)2與x(k-1)3之間存在隱函數(shù)關(guān)系x3=g(x2)，需要通過(guò)求解非線性方程由x3計(jì)算x2。

本文分別采用常規(guī)序貫?zāi)K法的3種迭代法和本文所述的正向/反向迭代法對(duì)甲苯氧化制苯甲酸過(guò)程進(jìn)行流程模擬計(jì)算，模擬計(jì)算結(jié)果如圖8所示。

由圖8 可以看出，常規(guī)序貫?zāi)K法的3 種迭代法和本文所述的正向/反向迭代法的計(jì)算結(jié)果最后都能達(dá)到收斂，但常規(guī)序貫?zāi)K法需要進(jìn)行求解非線性方程的內(nèi)部迭代計(jì)算，會(huì)增加計(jì)算時(shí)間。此外，本文所述的正向/反向迭代法與直接迭代法相比，其優(yōu)點(diǎn)是收斂過(guò)程穩(wěn)定，不易出現(xiàn)振蕩；與加權(quán)迭代法相比，其收斂系數(shù)K的穩(wěn)定范圍是可求的，只要K值在穩(wěn)定范圍里，迭代方程式必然收斂，而加權(quán)迭代法里的迭代權(quán)因子是未知的，需要進(jìn)行試湊才可能使迭代式收斂；與牛頓迭代法相比，本文方法不需要在線求導(dǎo)，使用更方便，且通過(guò)選擇合適的收斂系數(shù)，收斂速度不亞于牛頓迭代法。

圖8 甲苯氧化反應(yīng)-分離系統(tǒng)四種模擬計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig.8 Comparison simulation of four iterative methods for reaction-separation cycle of the toluene oxidation

4.2 催化裂化裝置反應(yīng)-再生系統(tǒng)

催化裂化裝置[37-38]是一個(gè)高度非線性、強(qiáng)耦合、分布參數(shù)不確定的復(fù)雜系統(tǒng)，其反應(yīng)-再生系統(tǒng)主要由提升管反應(yīng)器、汽提段、再生器三部分組成，三者之間有著錯(cuò)綜復(fù)雜、相互關(guān)聯(lián)的流體力學(xué)、傳熱、傳質(zhì)、催化裂化反應(yīng)動(dòng)力學(xué)等關(guān)系。整個(gè)催化裂化裝置反應(yīng)-再生系統(tǒng)可以看成一個(gè)循環(huán)系統(tǒng)，其中催化劑含碳量和溫度是貫穿整個(gè)系統(tǒng)的循環(huán)變量。

以某催化裂化裝置為例進(jìn)行研究，此催化裂化裝置為高低并列式提升管催化裂化裝置，處理量為600 kt/a，加工減壓瓦斯油，單再生器單段再生，添加CO 助燃劑進(jìn)行完全再生，實(shí)現(xiàn)焦炭的完全燃燒，再生效果好，無(wú)內(nèi)外取熱系統(tǒng)。其工藝流程如圖9 所示，該催化裂化裝置過(guò)程數(shù)據(jù)見(jiàn)表2。

表2 催化裂化裝置過(guò)程數(shù)據(jù)Table 2 Process data of FCCU

圖9 催化裂化裝置結(jié)構(gòu)示意圖Fig.9 Schematic diagram of FCCU

本文建立單段普通密相床再生的催化裂化裝置的數(shù)學(xué)模型，提升管反應(yīng)器采用五集總反應(yīng)動(dòng)力學(xué)模型[39-40]，再生器采用分子篩催化劑燒碳、燒氫反應(yīng)動(dòng)力學(xué)模型[39]，再生器流化床采用兩個(gè)虛擬CSTR 串聯(lián)模型對(duì)再生器密相段進(jìn)行模擬[41]。據(jù)此，對(duì)催化裂化裝置反應(yīng)-再生系統(tǒng)按提升管反應(yīng)器、汽提段、再生器密相床分別建立穩(wěn)態(tài)數(shù)學(xué)模型，對(duì)其進(jìn)行流程模擬計(jì)算，該裝置是由提升管反應(yīng)器、汽提段、再生器三部分組成的一個(gè)催化劑循環(huán)系統(tǒng)。

提升管數(shù)學(xué)模型和汽提段數(shù)學(xué)模型可以歸結(jié)為正向模型，再生器數(shù)學(xué)模型可以歸結(jié)為反向模型。

(1)提升管穩(wěn)態(tài)數(shù)學(xué)模型 取提升管反應(yīng)器內(nèi)微元高度分別進(jìn)行物料和熱量衡算，穩(wěn)態(tài)模型數(shù)學(xué)表達(dá)式簡(jiǎn)化如下:

原料未轉(zhuǎn)化率yA

柴油產(chǎn)率yD

式(24)和式(27)表明提升管反應(yīng)器和汽提段的數(shù)學(xué)模型是正向模型，對(duì)其進(jìn)行流程模擬迭代計(jì)算時(shí)，可以從入口到出口直接計(jì)算。

(3) 再生器穩(wěn)態(tài)數(shù)學(xué)模型 對(duì)于再生器，用虛擬CSTR 串聯(lián)模型進(jìn)行模擬，假設(shè)待生催化劑上焦炭中碳?xì)浣M成為恒定，氫碳比為η；再生器催化劑藏量恒定，密相床藏量占總藏量的80%，虛擬CSTR 藏量均為密相床藏量的1/2。

第1 個(gè)CSTR 物料衡算和熱量衡算的穩(wěn)態(tài)數(shù)學(xué)模型表達(dá)式為：

第2 個(gè)CSTR 物料衡算和熱量衡算的穩(wěn)態(tài)數(shù)學(xué)模型表達(dá)式為：

含碳量Crg2

式(32)和式(36)說(shuō)明再生器的兩個(gè)虛擬CSTR 模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式是反向模型，對(duì)其進(jìn)行流程模擬迭代計(jì)算時(shí)，需要對(duì)其進(jìn)行斷裂處理后，才能進(jìn)行迭代計(jì)算。由催化裂化反應(yīng)-再生系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)模型向量方程式(24)、式(27)、式(32)、式(36)可知催化劑含碳量C和溫度T是貫穿整個(gè)系統(tǒng)的循環(huán)變量，使提升管反應(yīng)器、汽提段、再生器有機(jī)聯(lián)系起來(lái)，在進(jìn)行流程模擬計(jì)算時(shí)，需要對(duì)其進(jìn)行整體考慮。

再生器的入口條件為：

對(duì)于催化裂化反應(yīng)-再生系統(tǒng)，根據(jù)圖9的催化裂化裝置流程可得反應(yīng)-再生系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)流程模擬如圖10所示。

因?yàn)樘嵘軘?shù)學(xué)模型和汽提段數(shù)學(xué)模型是正向模型，則對(duì)其進(jìn)行流程模擬計(jì)算時(shí)，可以從入口到出口進(jìn)行計(jì)算。

對(duì)于再生器，其數(shù)學(xué)模型為反向模型，在對(duì)其進(jìn)行流程模擬迭代計(jì)算時(shí)不能直接計(jì)算，需要做斷裂處理，因?yàn)樵偕鞅环纸獬蓛蓚€(gè)虛擬的CSTR 都是反向模型，所以在CSTR1 和CSTR2 之間加入一個(gè)單位正向模型1。對(duì)圖10中正向模型和反向模型之間進(jìn)行流股斷裂并加入增益系數(shù)后如圖11所示。

圖10 催化裂化裝置反應(yīng)-再生系統(tǒng)的信息流Fig.10 Information flow diagram of the FCCU reaction-regeneration system

圖11 斷裂后催化裂化裝置反應(yīng)-再生系統(tǒng)的信息流Fig.11 Information flow diagram of the FCCU reaction-regeneration system after tearing stream

斷裂后，對(duì)于再生器的兩個(gè)反向模型的迭代方程有

式中，X2、X4為斷裂變量；X3、X5為迭代變量；k為迭代步數(shù)；K1、K2為增益系數(shù)陣。

對(duì)催化裂化反應(yīng)-再生系統(tǒng)中的迭代方程式(42)～式(45)中的非線性部分F、g1、g2進(jìn)行線性化，得

即

所有根分布在單位圓內(nèi)，離散線性系統(tǒng)式(48)穩(wěn)定，迭代方程將收斂。

根據(jù)特征方程式(49)寫(xiě)出勞斯表，應(yīng)用勞斯判據(jù)判斷離散線性系統(tǒng)式(48)是否穩(wěn)定，得到符合穩(wěn)定性條件的增益系數(shù)陣K1,K2。

基于MATLAB 軟件對(duì)催化裂化反應(yīng)-再生系統(tǒng)進(jìn)行流程模擬計(jì)算。仿真模擬結(jié)果如圖12 和圖13所示，橫坐標(biāo)代表迭代步數(shù)，縱坐標(biāo)代表迭代變量。圖12 表示提升管反應(yīng)器和汽提段主要變量迭代收斂曲線，圖13 表示再生器主要變量迭代收斂曲線。圖12 和圖13 的迭代曲線表明，在使用本文的方法對(duì)催化裂化反應(yīng)-再生系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)態(tài)流程模擬時(shí)，主要變量最終都能達(dá)到收斂至穩(wěn)態(tài)點(diǎn)。本文模擬結(jié)果與生產(chǎn)數(shù)據(jù)誤差如表3所示。

圖12 提升管與汽提段主要變量迭代收斂曲線Fig.12 Iterative convergence curves for the main variables in riser and strip section

圖13 再生器主要變量迭代收斂曲線Fig.13 Iterative convergence curves for the main variables in regenerator

表3 本文模擬計(jì)算的穩(wěn)態(tài)值和生產(chǎn)數(shù)據(jù)對(duì)比Table 3 Comparison of simulated steady-state values and production data from this paper

由表3 可得，總體上本文模擬結(jié)果與生產(chǎn)數(shù)據(jù)基本一致，兩種方法下最大的相對(duì)誤差不超過(guò)5%，最小的相對(duì)誤差為0.02%，證明本文提出的解決含循環(huán)物流的流程模擬方法是十分有效的。

5 結(jié) 論

基于催化裂化裝置反應(yīng)-再生系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)數(shù)學(xué)模型，采用流股斷裂并且加入增益系數(shù)的方法進(jìn)行穩(wěn)態(tài)流程模擬計(jì)算，從模擬結(jié)果可以得到以下結(jié)論：(1)針對(duì)復(fù)雜化工過(guò)程系統(tǒng)模型，可采用正向/反向模型對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分解處理，變成由正向模型和反向模型組合的流程；(2)對(duì)分解后的過(guò)程系統(tǒng)模型，對(duì)正向模型進(jìn)行直接計(jì)算，對(duì)于反向模型，為了解決其迭代時(shí)出現(xiàn)的代數(shù)環(huán)問(wèn)題，對(duì)其與正向模型相鄰位置進(jìn)行流股斷裂，得到切斷變量和收斂變量，加入增益系數(shù)陣，得到迭代方程；(3)由迭代方程的收斂原則，聯(lián)系到控制理論中的穩(wěn)定性理論，依據(jù)穩(wěn)定性判據(jù)，求解增益系數(shù)陣的穩(wěn)定范圍；(4)當(dāng)增益系數(shù)位于穩(wěn)定范圍內(nèi)時(shí)，迭代方程必然收斂，即流程模擬計(jì)算達(dá)到迭代收斂。

該方法彌補(bǔ)了傳統(tǒng)方法難以處理含有多循環(huán)回路及多個(gè)嵌套循環(huán)回路的復(fù)雜大型過(guò)程系統(tǒng)的不足。對(duì)于復(fù)雜過(guò)程系統(tǒng)，都可以將其看成多個(gè)正向模型和反向模型的組合，然后再進(jìn)行斷裂，加入增益系數(shù)陣，解決了迭代時(shí)出現(xiàn)的代數(shù)環(huán)問(wèn)題。然后用控制理論的穩(wěn)定性理論來(lái)求解增益系數(shù)陣，找到增益系數(shù)的收斂范圍并選擇合適的增益系數(shù)，進(jìn)而使流程模擬計(jì)算達(dá)到收斂。