梁 進(jìn)，張柳青

（同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，上海 200092）

貸款是銀行的一種基本信用經(jīng)濟(jì)活動(dòng)，銀行通過貸款的方式將所集中的貨幣和貨幣資金投放出去，可以滿足社會(huì)發(fā)展對(duì)資金的需要。同時(shí)，銀行也可以由此取得貸款利息收入，增加自身的積累。貸款的還款方式主要有兩種：等額本息還款和等額本金還款。韓慧麗［1］、楊玉國［2］、王順［3］等人對(duì)兩種還款方式進(jìn)行了簡單分析與比較，并給出了各自的適用人群。但這兩種還款方式基本上都要求還款本息在還款期內(nèi)均勻分布，銀行可以由此確定未來的現(xiàn)金流，卻沒有給借款人更多的可以根據(jù)自身收入分布狀況選擇還款方式的余地。事實(shí)上，無論從借款人借款的初衷和銀行最初設(shè)計(jì)貸款的本意來看，雙方都希望能夠按照合同規(guī)定的期限和利率按時(shí)足額償還貸款本息［4］。

在助學(xué)貸款領(lǐng)域，經(jīng)濟(jì)學(xué)家Milton Friedman［5］于1955年首次提出了按收入比例還款型學(xué)生貸款（income-contingent repayment loan，以下簡稱ICL），其內(nèi)涵主要是指接受高等教育的學(xué)生以畢業(yè)后收入的一定比例來償還大學(xué)期間獲得的現(xiàn)金支持。澳大利亞ICL的設(shè)計(jì)者Bruce Chapman［6］指出，ICL是一種在貸款的覆蓋面、利率資助和回收機(jī)制等方面均優(yōu)于傳統(tǒng)定期定額貸款的新型貸款方案。到目前為止，ICL已經(jīng)在世界多國廣泛應(yīng)用，逐步發(fā)展了以澳大利亞模式、英美模式與德國混合型模式為代表的ICL經(jīng)典模式。劉麗芳［7］、馮濤［8］等學(xué)者立足我國1999年以來一直實(shí)行按揭型助學(xué)貸款的背景，分析了ICL在我國的可行性，并設(shè)想了適合中國國情的ICL方案。

ICL最顯著的特點(diǎn)是“償還額度是學(xué)生未來收入的函數(shù)［9］”?；诖?，梁進(jìn)和劉兆雅［10］將ICL的思想應(yīng)用到了更加一般的貸款形式中，具體提出了依賴借款方資產(chǎn)的靈活還款方式和模型：在假定借款方資產(chǎn)滿足隨機(jī)過程的基礎(chǔ)上，建立了借款方每期償還當(dāng)期資產(chǎn)固定比例的數(shù)學(xué)模型，并求解得到了模型的解析解。相比于傳統(tǒng)還款方式中每期償還固定的金額，這種還款方式大大降低了借款方違約的可能性。對(duì)于銀行而言，借款方在資金充裕時(shí)多還款可以加速銀行的資金回流，而在資金緊張時(shí)不違約，則可以取得更多的利息收入。

然而當(dāng)借款方資產(chǎn)長期處于一個(gè)較低水平時(shí)，還款額就會(huì)十分有限，無形之中可能會(huì)拉長還款期限，從而影響銀行的資金流動(dòng)。梁進(jìn)和毛家琪［11］在劉兆雅模型的基礎(chǔ)上為定期還款額設(shè)置了一個(gè)下界，同時(shí)還款方式保持不變。而一旦定期還款額碰到下界則貸款立刻終止，借款方隨即將當(dāng)時(shí)所有資產(chǎn)用于償還剩余貸款，這樣既保障了借款方可以靈活還款，同時(shí)也在一定程度上確保了還款期限不會(huì)被無限拉長。但由于剩余貸款價(jià)值和借款方資產(chǎn)并沒有直接聯(lián)系，清算時(shí)將借款方全部資產(chǎn)用于償還可能還多或還少，會(huì)對(duì)借貸雙方造成損失。

本文在劉兆雅和毛家琪的研究基礎(chǔ)上，進(jìn)一步修正和推廣了上述模型，從而為這種還款方式在未來貸款業(yè)務(wù)中發(fā)揮廣泛作用提供了可能。具體而言，本文將繞過借款方資產(chǎn)而直接對(duì)剩余貸款價(jià)值設(shè)置下障礙。類似于美式期權(quán)，一旦剩余貸款價(jià)值達(dá)到下障礙，貸款立刻終止，借款方隨即償還剩余貸款進(jìn)行清還。另外，考慮到當(dāng)借款方資產(chǎn)處于較高水平時(shí)，還款額也較高，不會(huì)使得還款時(shí)間延長，因此本文首先將借款方資產(chǎn)劃分為高資產(chǎn)以及低資產(chǎn)兩個(gè)區(qū)域，并在兩個(gè)區(qū)域中設(shè)定不同的還款條款，最終建立關(guān)于剩余貸款價(jià)值的帶限制的自由邊界問題模型。該模型的設(shè)定可以在減小借款方定期還款壓力，降低違約可能性的同時(shí)，加快貸款方資金回收，進(jìn)而保護(hù)貸款方的利益，從而對(duì)借貸雙方都有很強(qiáng)的吸引力。

1 模型的建立

1.1 基本假設(shè)與符號(hào)

（4）給定常數(shù)下障礙水平d(d＜Q)，同時(shí)記Φ(S，t)為t時(shí)刻借款方資產(chǎn)St＝S時(shí)的剩余貸款價(jià)值，則Φ(S，t)滿足初始條件，即

（5）借款方不違約，期望意義下在T時(shí)刻還清貸款。進(jìn)一步假設(shè)借款方資產(chǎn)St≥d，以確保在還清時(shí)刻借款方可以足額償還。

（6）（資產(chǎn)邊界）設(shè)定資產(chǎn)邊界K＝qd/δ＞d，將借款方資產(chǎn)劃分為低資產(chǎn)區(qū)域{St：d≤St＜K}和高資產(chǎn)區(qū)域{St：St≥K}。

（7）（還款條款）在高資產(chǎn)區(qū)域內(nèi)，借款方正常還款。但在低資產(chǎn)區(qū)域內(nèi)，一旦剩余貸款價(jià)值等于d，或者借款方資產(chǎn)降為d，則貸款隨即終止，借款方均立刻償還d。

在假設(shè)（5）中，T的含義是指[0，T]時(shí)間內(nèi)借款方還款總額貼現(xiàn)價(jià)值的期望等于貸款金額Q，即T滿足初始條件（1），下文稱T為期望還清貸款時(shí)間。T事先未知，求解T的過程分為兩步：首先給定T，在特定的還款條款下求解Φ(S，t；T)的終值問題，隨后根據(jù)初始條件（1）嘗試確定T。在文獻(xiàn)［10-11］中，根據(jù)不同的還款條款，條件（1）分別為

1.2 現(xiàn)金流分析

根據(jù)資產(chǎn)的劃分，在低資產(chǎn)以及高資產(chǎn)兩個(gè)區(qū)域內(nèi)，首先將剩余貸款價(jià)值Φ(S，t)分別記為ΦL(S，t)與ΦH(S，t)。當(dāng)借款方資產(chǎn)處于低資產(chǎn)區(qū)域時(shí)，根據(jù)假設(shè)（7），剩余貸款價(jià)值ΦL(S，t)始終大于等于d。當(dāng)剩余貸款價(jià)值ΦL(S，t)大于d時(shí)，它在未來有4種可能：第1種在期望還清貸款時(shí)間T之前，由于資產(chǎn)進(jìn)入高資產(chǎn)區(qū)域，剩余貸款價(jià)值ΦL(S，t)變?yōu)橐环萏摂M高資產(chǎn)區(qū)域中的剩余貸款價(jià)值ΦH(S，t)；第2種在期望還清貸款時(shí)間T之前，剩余貸款價(jià)值ΦL(S，t)已經(jīng)達(dá)到d，貸款提前終止；第3種在期望還清貸款時(shí)間T之前，由于資產(chǎn)變?yōu)閐而使貸款提前終止；第4種則是在期望還清貸款時(shí)間T之前，不發(fā)生第1～3種情況，剩余貸款價(jià)值ΦL(S，t)在T時(shí)刻達(dá)到d。

由此，定義如下3個(gè)隨機(jī)變量τ1、τ2與τ3，分別表示借款方資產(chǎn)首次由低資產(chǎn)區(qū)域進(jìn)入高資產(chǎn)區(qū)域時(shí)刻、剩余貸款價(jià)值ΦL(S，t)首次達(dá)到d時(shí)刻以及資產(chǎn)首次達(dá)到d時(shí)刻。

當(dāng)借款方資產(chǎn)處于高資產(chǎn)區(qū)域時(shí)，剩余貸款價(jià)值ΦH(S，t)在未來有2種可能：第1種在期望還清貸款時(shí)間T之前，由于資產(chǎn)進(jìn)入低資產(chǎn)區(qū)域，剩余貸款價(jià)值ΦH(S，t)變?yōu)橐环萏摂M低資產(chǎn)區(qū)域中的剩余貸款價(jià)值ΦL(S，t)；第2種在期望還清貸款時(shí)間T之前，資產(chǎn)始終處于高資產(chǎn)區(qū)域，剩余貸款價(jià)值ΦH(S，t)在T時(shí)刻達(dá)到d。

同理，定義借款方資產(chǎn)首次由高資產(chǎn)區(qū)域進(jìn)入低資產(chǎn)區(qū)域時(shí)刻τ4如下：

則高資產(chǎn)區(qū)域中的剩余貸款價(jià)值ΦH(S，t)可以表示為如下條件期望：

1.3 模型推導(dǎo)

基于上述現(xiàn)金流表達(dá)式，下文將推導(dǎo)在低資產(chǎn)區(qū)域以及高資產(chǎn)區(qū)域內(nèi)，剩余貸款價(jià)值分別滿足變分不等式和偏微分方程，而在資產(chǎn)邊界K處，通過引入一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)條件使得模型具有唯一解。

1.3.1 低資產(chǎn)區(qū)域

在低資產(chǎn)區(qū)域中，根據(jù)貸款執(zhí)行情況可將剩余貸款價(jià)值ΦL(S，t)分為以下兩個(gè)部分：

（1）繼續(xù)還款區(qū)域：Σ1＝{(S，t)∈[d，K)×[0，T]|ΦL(S，t)＞d}.

（2）貸款結(jié)束區(qū)域：Σ2＝{(S，t)∈[d，K)×[0，T]|ΦL(S，t)＝d}.

而在貸款結(jié)束區(qū)域Σ2內(nèi)，剩余貸款價(jià)值為d，則?ΦL+δS＝δS-qd＝δ(S-K)＜0。因此在低資產(chǎn)區(qū)域內(nèi)，剩余貸款價(jià)值ΦL(S，t)滿足

在邊界S＝d處，由模型假 設(shè)（7），ΦL(d，t)＝d，表示當(dāng)借款方資產(chǎn)降為d時(shí)，貸款隨即終止，借款方立刻一次性償還d。相比于文獻(xiàn)［11］中的情形，由于ΦL(S，t)≥d，此時(shí)借款方只可能少還而不會(huì)多還剩余貸款，進(jìn)而一定程度上保證了借款方的利益。

綜上討論，在低資產(chǎn)區(qū)域中，剩余貸款價(jià)值

1.3.2 高資產(chǎn)區(qū)域

1.3.3 帶限制的自由邊界問題模型

在資產(chǎn)邊界K上，根據(jù)現(xiàn)金流表達(dá)式（2）和式（3），有

根據(jù)上述討論，若剩余貸款價(jià)值ΦL(S，t)與ΦH(S，t)均足夠光滑，則它們是如下耦合問題的

由偏微分方程的理論可知，耦合問題（4）解存在但不唯一，因?yàn)樵谫Y產(chǎn)邊界K處的條件僅為ΦL(K，t)＝ΦH(K，t)，想要得到唯一解必須在資產(chǎn)邊界K處添加新的條件。注意到障礙問題的解一般具有連續(xù)的一階空間導(dǎo)數(shù)［13］，以及線性拋物型方程的解具有無窮次可微性［14］，因此考慮在資產(chǎn)邊界K處添加一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)條件。根據(jù)文獻(xiàn)［15-16］中的討論，利用Δ-對(duì)沖方法可以得到在等價(jià)鞅測(cè)度下成立。

因此，在資產(chǎn)邊界K處也添加上述一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)條件。綜上所述，若剩余貸款價(jià)值ΦL(S，t)與ΦH(S，t)均足夠光滑，則它們是如下適定耦合問題的解：

這是一個(gè)帶限制的自由邊界問題，確切地說是一個(gè)固定邊界與自由邊界問題相耦合的偏微分方程組問題。剩余貸款價(jià)值在低資產(chǎn)區(qū)域內(nèi)滿足變分不等式，在高資產(chǎn)區(qū)域內(nèi)則滿足偏微分方程，并且剩余貸款價(jià)值在跨過資產(chǎn)邊界K時(shí)函數(shù)值以及一階導(dǎo)數(shù)均連續(xù)。

2 數(shù)值計(jì)算與分析

利用有限差分法［18］首先在給定T的情況下計(jì)算剩余貸款價(jià)值Φ(S，t；T)，隨后在低資產(chǎn)區(qū)域內(nèi)計(jì)算自由邊界。最后基于初始條件（1）：Φ(S0，0；T)＝Q，運(yùn)用打靶法［19］求解期望還清貸款時(shí)間T，并討論期望還清貸款時(shí)間與模型參數(shù)之間的關(guān)系。

2.1 有限差分法

運(yùn)用有限差分法中的顯式格式對(duì)剩余貸款價(jià)值Φ(S，t)進(jìn)行數(shù)值求解，計(jì)算如下：

2.2 剩余貸款價(jià)值及自由邊界

根據(jù)模型假設(shè)δ＜q以及充分條件（6），如無特殊聲明，取模型參數(shù)和人工邊界Smax如下：

則資產(chǎn)邊界K＝qd/δ＝5×104，低資產(chǎn)區(qū)域?yàn)閧St：104≤St＜5×104}，以及高資產(chǎn)區(qū)域?yàn)閧St：5×104≤St≤1010}。在圖1a和圖2中可以看到低資產(chǎn)區(qū)域內(nèi)的剩余貸款價(jià)值被自由邊界分為兩部分：貸款結(jié)束區(qū)域和繼續(xù)還款區(qū)域。剩余貸款價(jià)值在穿過自由邊界時(shí)發(fā)生明顯變化，而自由邊界則具有一定的單調(diào)性和凸性。類似于美式期權(quán)，此時(shí)自由邊界也可視為貸款的最佳還款邊界。根據(jù)圖1b，在高資產(chǎn)區(qū)域中，剩余貸款價(jià)值則始終大于d，直到期望還清貸款時(shí)刻等于d。

圖1 給定T=20，高低資產(chǎn)區(qū)內(nèi)剩余貸款價(jià)值Fig.1 The remaining loan value in high and low asset regions(Given T=20)

圖2 給定T=20，低資產(chǎn)區(qū)域內(nèi)的自由邊界Fig.2 Free boundary in low asset region(Given T=20)

2.3 打靶法

應(yīng)用打靶法求解期望還清貸款時(shí)間T：即首先給定T，接著通過有限差分法以及插值技巧計(jì)算Φ(S0，0；T)并與貸款金額Q相比較，最后尋找合適的T使得初始條件Φ(S0，0；T)＝Q在一定誤差范圍內(nèi)成立。注意到在有限差分法計(jì)算過程中，剩余貸款價(jià)值Φ(S，t；T)關(guān)于T單調(diào)遞增。因此，期望還清貸款時(shí)間T如果存在則必唯一。

2.4 期望還清貸款時(shí)間

同2.2節(jié)中的參數(shù)取值，另外根據(jù)模型假設(shè)S0＞Q＞d，在高低資產(chǎn)區(qū)域中分別取借款方初始資產(chǎn)S0和貸款金額Q如下：

高資產(chǎn)區(qū)域中S0＝106，Q＝5×105，低資產(chǎn)區(qū)域中S0＝4×104，Q＝2×104。

2.4.1 期望還清貸款時(shí)間與貸款金額的關(guān)系

低資產(chǎn)區(qū)域中取Q∈[1.1×104，3.9×104]，高資產(chǎn)區(qū)域中取Q∈[105，9×105]。從圖3可以看出，在其他參數(shù)一定的條件下，無論借款方初始資產(chǎn)處于低資產(chǎn)區(qū)域還是高資產(chǎn)區(qū)域，期望還清貸款時(shí)間都隨著貸款金額的增加而變長。這說明貸款金額越大，借款方的還款能力相對(duì)越低，還清貸款的時(shí)間也就越長。

圖3 高低資產(chǎn)區(qū)域內(nèi)期望還清貸款時(shí)間T與貸款金額Q的關(guān)系Fig.3 The relationship between the expected clear off time and loan amount in high and low asset regions

2.4.2 期望還清貸款時(shí)間與借款方初始資產(chǎn)的關(guān)系

低資產(chǎn)區(qū)域中取S0∈[2.1×104，4.9×104]，高資產(chǎn)區(qū)域中取S0∈[6×105，106]。從圖4可以看出，在其他參數(shù)一定的條件下，無論借款方初始資產(chǎn)處于低資產(chǎn)區(qū)域還是高資產(chǎn)區(qū)域，期望還清貸款時(shí)間都隨著初始資產(chǎn)的增加而變短。這說明借款方初始資產(chǎn)越多，還款能力相對(duì)越強(qiáng)，還清貸款的時(shí)間也就越短。

圖4 高低資產(chǎn)區(qū)域內(nèi)期望還清貸款時(shí)間T與借款方初始資產(chǎn)S0的關(guān)系Fig.4 The relationship between the expected clear off time and initial asset of the borrower in high and low asset regions

2.4.3 期望還清貸款時(shí)間與借款方資產(chǎn)期望收益率的關(guān)系

在兩個(gè)區(qū)域中，均取μ∈[0.055，0.3]。從圖5可以看出，在其他參數(shù)一定的條件下，無論借款方初始資產(chǎn)處于低資產(chǎn)區(qū)域還是高資產(chǎn)區(qū)域，期望還清貸款時(shí)間都隨著借款方資產(chǎn)期望收益率的增加而變短。這說明資產(chǎn)期望收益率越大，借款方資產(chǎn)經(jīng)營情況越好，因而還款能力相對(duì)越強(qiáng)，還清貸款的時(shí)間也就越短。

圖5 高低資產(chǎn)區(qū)域內(nèi)期望還清貸款時(shí)間T與借款方資產(chǎn)期望收益率μ的關(guān)系Fig.5 The relationship between the expected clear off time and the expected rate of return on borrower's asset in high and low asset regions

2.4.4 期望還清貸款時(shí)間與借款方資產(chǎn)波動(dòng)率的關(guān)系

在兩個(gè)區(qū)域中，均取σ∈[0.06，0.6]以及Δx＝0.04，Δt＝0.001。從圖6可以看出，在其他參數(shù)一定的條件下，當(dāng)借款方初始資產(chǎn)處于低資產(chǎn)區(qū)域時(shí)，期望還清貸款時(shí)間隨著借款方資產(chǎn)波動(dòng)率的增加而變短。這說明資產(chǎn)波動(dòng)率越大，借款方資產(chǎn)變化越大，但由于此時(shí)資產(chǎn)St有下界d，因此資產(chǎn)變化帶來的影響是不均等的，借款方的還款能力相對(duì)越強(qiáng)，還清貸款的時(shí)間也就越短。而當(dāng)借款方初始資產(chǎn)處于高資產(chǎn)區(qū)域時(shí)，期望還清貸款時(shí)間則隨著借款方資產(chǎn)波動(dòng)率的增加而變長。這說明資產(chǎn)波動(dòng)率越大，借款方資產(chǎn)變化越大，而且資產(chǎn)降低帶來的影響超過了上升的影響，即資產(chǎn)越可能進(jìn)入低資產(chǎn)區(qū)域，因此借款方的還款能力相對(duì)越低，還清貸款的時(shí)間也就越長。

圖6 高低資產(chǎn)區(qū)域內(nèi)期望還清貸款時(shí)間T與借款方資產(chǎn)波動(dòng)率σ的關(guān)系Fig.6 The relationship between the expected clear off time and the volatility of the borrower's asset in high and low asset regions

2.4.5 期望還清貸款時(shí)間與貸款利率的關(guān)系

在兩個(gè)區(qū)域中，均取q∈[0.045，0.1]。從圖7可以看出，在其他參數(shù)一定的條件下，無論借款方初始資產(chǎn)處于低資產(chǎn)區(qū)域還是高資產(chǎn)區(qū)域，期望還清貸款時(shí)間都隨著貸款利率的增加而變長。這說明貸款利率越大，借款方還款額的貼現(xiàn)價(jià)值越小，因此還款能力相對(duì)越低，還清貸款的時(shí)間也就越長。

圖7 高低資產(chǎn)區(qū)域內(nèi)期望還清貸款時(shí)間T與貸款利率q的關(guān)系Fig.7 The relationship between the expected clear off time and lending interest rate in high and low asset regions

2.4.6 期望還清貸款時(shí)間與還款強(qiáng)度的關(guān)系

低資產(chǎn)區(qū)域中取δ∈[0.004，0.012]，高資產(chǎn)區(qū)域中取δ∈[0.004，0.045]。從圖8可以看出，在其他參數(shù)一定的條件下，無論借款方初始資產(chǎn)處于低資產(chǎn)區(qū)域還是高資產(chǎn)區(qū)域，期望還清貸款時(shí)間都隨著還款強(qiáng)度的增加而變短。這說明還款強(qiáng)度越大，借款方連續(xù)還款額也越大，還款能力相對(duì)越強(qiáng)，還清貸款的時(shí)間也就越短。

圖8 高低資產(chǎn)區(qū)域內(nèi)期望還清貸款時(shí)間T與還款強(qiáng)度δ的關(guān)系Fig.8 The relationship between the expected clear off time and repayment intensity in high and low asset regions

2.4.7 期望還清貸款時(shí)間與下障礙水平的關(guān)系

低資產(chǎn)區(qū)域中取d∈[8.5×103，1.95×104]，而在高資產(chǎn)區(qū)域中取d∈[5×103，8×104]以及Δx＝0.0075，Δt＝0.001。從圖9可以看出，在其他參數(shù)一定的條件下，無論借款方初始資產(chǎn)處于低資產(chǎn)區(qū)域還是高資產(chǎn)區(qū)域，期望還清貸款時(shí)間都隨著下障礙水平d的增加而變短。這說明下障礙水平d越大，貸款相對(duì)能夠越早的終止，還清貸款的時(shí)間也就越短。

圖9 高低資產(chǎn)區(qū)域內(nèi)期望還清貸款時(shí)間T與下障礙水平d的關(guān)系Fig.9 The relationship between the expected clear off time and the level of low obstacle in high and low asset regions

3 結(jié)語

本文繼續(xù)探討了一種依賴借款方資產(chǎn)的還款方式。為了盡可能縮短還款期限以保障貸款方的利益，本文首先設(shè)置資產(chǎn)邊界將借款方資產(chǎn)分為低資產(chǎn)以及高資產(chǎn)兩個(gè)區(qū)域，并在兩個(gè)區(qū)域中設(shè)定不同的還款條款，數(shù)學(xué)上即是建立了關(guān)于剩余貸款價(jià)值的帶限制的自由邊界問題模型。接著，通過顯式差分格式計(jì)算剩余貸款價(jià)值，并由此得到了相應(yīng)的自由邊界。最后，利用打靶法求解期望還清貸款時(shí)間，在一定的參數(shù)范圍內(nèi)討論了模型參數(shù)對(duì)期望還清貸款時(shí)間的影響。

結(jié)果表明：無論借款方初始資產(chǎn)處于低資產(chǎn)區(qū)域還是高資產(chǎn)區(qū)域，期望還清貸款時(shí)間T都隨著借款方初始資產(chǎn)S0、資產(chǎn)期望收益率μ、還款強(qiáng)度δ和下障礙水平d的增大而變短，以及隨著貸款金額Q和貸款利率q的增大而變長。另外，在低資產(chǎn)區(qū)域中，期望還清貸款時(shí)間T隨著借款方資產(chǎn)波動(dòng)率σ的增大而變短，而在高資產(chǎn)區(qū)域中則相反。

作者貢獻(xiàn)聲明：

梁進(jìn)：提出研究選題與模型，研究思路、寫作指導(dǎo)。

張柳青：負(fù)責(zé)模型推導(dǎo)、數(shù)值計(jì)算、論文撰寫等工作。