范舒銅 申永軍,

* (石家莊鐵道大學(xué)機械工程學(xué)院,石家莊 050043)

? (省部共建交通工程結(jié)構(gòu)力學(xué)行為與系統(tǒng)安全國家重點實驗室,石家莊 050043)

引言

黏彈性材料具有較好的耗能性能,它能同時提供剛度和阻尼,容易構(gòu)造,并可應(yīng)用于任何尺寸和形狀的結(jié)構(gòu)[1-3].這種材料最初應(yīng)用于航空航天領(lǐng)域,解決航天器因疲勞引起的振動問題[4].后來,Asami等[5-6]將黏彈性器件引入動力吸振器中,發(fā)現(xiàn)具有結(jié)構(gòu)簡單的特點并且具有獨特的應(yīng)用優(yōu)勢.Filho 等[7]將一種黏彈性吸振器應(yīng)用于旋轉(zhuǎn)系統(tǒng),降低了振動和噪聲水平.周穎等[8]和Cristina 等[9]發(fā)現(xiàn)黏彈性材料在高速鐵路橋共振、地震響應(yīng)方面具有較優(yōu)的控制效果.近年來,黏彈性材料仍在不同領(lǐng)域廣泛應(yīng)用,且在提高結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的振動控制效果方面起著關(guān)鍵作用.黏彈性材料用于地鐵[10]、土木[11]、航空[12]等方面,均具有較好減振效果和發(fā)展前景.

黏彈性材料可簡化成兩種典型的模型,即Kelvin模型或者Maxwell 模型.Kelvin 模型是用一個彈簧和一個阻尼器并聯(lián)而成,它可體現(xiàn)蠕變過程,卻不能表示應(yīng)力松弛;Maxwell 模型由一個彈簧和一個阻尼器串聯(lián)而成,它能體現(xiàn)松弛現(xiàn)象,但不表示蠕變.為了更好地描述黏彈性材料的特性,學(xué)者提出一種既能體現(xiàn)蠕變過程又能表示應(yīng)力松弛的模型-Zener 模型,該模型也稱為三參數(shù)模型,由Maxwell模型并聯(lián)一個彈簧元件組成.針對Zener 模型,Brennan等[13]研究了在自由振動和受迫振動的條件下剛度以及阻尼對黏彈性Zener 系統(tǒng)性能的影響.王超新等[14]給出了三參數(shù)隔振器最優(yōu)阻尼的設(shè)計方法.Brennan 等[13],王超新等[14]和Ruzicka[15]描述了Zener 模型的線性行為.隨著黏彈性材料的不斷發(fā)展,其模型不斷復(fù)雜化,故線性模型不可避免地出現(xiàn)了一定局限性[16].對于含非線性因素的黏彈性系統(tǒng),Wang 等[17]利用非線性剛度元件來提高Zener 模型阻尼隔振器的傳遞率.Lucas 等[18]用非線性立方彈簧取代線性主彈簧并利用諧波平衡法對運動方程進行了分析.劉海平等[19]將幾何非線性引入黏彈性Zener模型利用諧波平衡法進行近似求解,有效抑制其諧振頻段的動態(tài)響應(yīng).魏威等[20]和王江來等[21]將非線性阻尼用于黏彈性Zener 模型中模擬支座的速度相關(guān)性,更加真實地反映結(jié)構(gòu)響應(yīng).另外,金濤等[22]和徐明[23]分別運用隨機平均法和等效非線性化方法研究了高斯白噪聲激勵下多自由度黏彈性非線性系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)和強非線性黏彈性系統(tǒng)隨機響應(yīng).Davood 和Hamed[24]和王波和蔣敏[25]利用多尺度方法分別研究了亞音速氣流作用下黏彈性壁板的非線性共振特性和軸向運動黏彈性Rayleigh 梁的非線性受迫振動.章新等[26]采用平均法對履帶式工程車輛黏彈性懸架系統(tǒng)的非線性阻尼減振特性進行了研究.龔順明[27]研究了強非線性黏彈性阻尼器在長周期地震動下的減震規(guī)律,取得了較好的減振效果.因此,引入非線性因素并結(jié)合黏彈性材料的優(yōu)異特性將有效提高振動控制的效果.

對于非線性動力系統(tǒng)的研究,主要方法有攝動法、諧波平衡法、平均法、多尺度法、漸進法等[28-30].其中多尺度法是一種經(jīng)典且廣泛應(yīng)用的方法,它不但對嚴(yán)格的周期運動適用,也適用于耗散系統(tǒng)的衰減振動和非穩(wěn)態(tài)過程[31].20 世紀(jì)50 年代,Sturrock首次提出了多尺度法.此后,Nayfeh 和Mook[32]進一步地發(fā)展和完善了該方法.眾多學(xué)者采用該方法對非線性系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)進行分析.杜曉蕾和李明[33]和逄錦飛等[34]運用多尺度法分別討論了船用旋轉(zhuǎn)機械-氣囊隔振系統(tǒng)的非線性振動及振動篩的非線性諧波共振問題,并驗證了多尺度法分析的正確性.文獻(xiàn)[35]采用多尺度法對彈性管路模型的內(nèi)共振進行了分析.李航等[36-37]運用多尺度法分析Duffing系統(tǒng)的主-超諧、主-亞諧聯(lián)合共振.上述文獻(xiàn)使用多尺度法研究系統(tǒng)的動力學(xué)問題,均是針對偶數(shù)階的微分方程.

含Maxwell 黏彈性器件的非線性動力系統(tǒng)通常會使系統(tǒng)增加半個自由度,進而增加系統(tǒng)的復(fù)雜性且會推導(dǎo)出奇數(shù)階微分方程.目前,大多數(shù)研究運用多尺度法求解的非線性微分方程均為偶數(shù)階.另外,很少研究將非線性因素引入到黏彈性模型中去分析其動力學(xué)行為,并且大多數(shù)研究都采用諧波平衡法進行近似解析計算從而不能分析瞬態(tài)解,尚未見多尺度法在該類非線性系統(tǒng)中的應(yīng)用.基于黏彈性材料的優(yōu)良特性,本文將多尺度法從偶數(shù)階系統(tǒng)推廣到奇數(shù)階系統(tǒng),并以非線性Zener 模型為例,驗證了該推廣方法的正確性,進一步對非線性Zener 模型的動力學(xué)現(xiàn)象進行了分析.

1 多尺度法的推廣

多尺度法是研究非線性系統(tǒng)時廣泛使用的定量分析方法之一,其基本思想是引入表示不同時間尺度的時間變量,將這些時間變量看作獨立變量并將對時間的導(dǎo)數(shù)寫成對各個不同時間尺度的多元復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),然后基于消去永年項的條件來確定各階的解.本節(jié)將多尺度法推廣到奇數(shù)階微分動力系統(tǒng),考察具有線性阻尼、線性剛度和非線性項的1.5 自由度系統(tǒng),即非線性Zener 模型,如圖1 所示.其中m 為主系統(tǒng)的質(zhì)量,k 為主系統(tǒng)主彈簧的線性剛度系數(shù),g(x,x˙) 為該模型的非線性項,c 和k1分別為Maxwell 黏彈性元件的阻尼系數(shù)和剛度系數(shù),F0和 ω 分別為外激勵的幅值和頻率.

圖1 非線性Zener 模型Fig.1 Nonlinear Zener model

根據(jù)牛頓第二定律得到系統(tǒng)的動力學(xué)方程為

引入變換

式(1)可簡化成如下形式

應(yīng)用多尺度法研究該模型的近似解析解,引入時間尺度

將上述時間尺度視為獨立變量,設(shè)式(2)的解為

定義偏導(dǎo)數(shù)算子表示導(dǎo)數(shù)算子

將式(4)和式(5)代入式(2)中,比較 ε 的同次冪,得到一系列的偏微分方程組

上述方程組可以依次求解.為了方便,式(6)的解可寫成復(fù)數(shù)形式

其中,cc 表示前面各項的共軛項.

將式(8)代入式(7)中的第一個式子,消除永年項,即

記

其中,a(T1,T2,···),β(T1,T2,···) 分別為慢變振幅和相位.

分離式(9)的實部和虛部,得到慢變振幅 a 和慢變相位 β 滿足的微分方程組

其中

在這組條件下求解方程(7),即可得到一次近似解.類似地求解消除永年項的條件進而可求出二次近似解等等.

上述求解過程主要針對非線性黏彈性系統(tǒng)的主共振.對于其他的共振情況,如超諧共振、亞諧共振、組合共振、聯(lián)合共振等,將上述過程稍加改動即可.

2 Zener 模型主共振的一次近似解

應(yīng)用推廣的多尺度法研究該模型的一次近似解,引入兩個時間尺度 T0=t,T1=εt .按照第1 小節(jié)的求解過程,消除永年項,可得

分離式(13)的實部和虛部,得到慢變振幅 a 和慢變相位 β 滿足的微分方程組

從而非線性Zener 模型的一次近似解可以表示為

其中,a 和 β 由式(14)確定.

3 非線性Zener 模型的定常解及穩(wěn)定性條件

引入 σT1-β=φ,式(14)可寫成自治微分方程組

相對應(yīng)的一次近似解為

為了驗證式(16)和式(17)一次近似解的正確性,利用Runge-Kutta 法對系統(tǒng)(12)的數(shù)值解進行仿真并與一次近似解對比.取系統(tǒng)參數(shù) m=1,k=4,k1=1,α1=0.1,c=0.02,F0=0.1,ε=0.1,計算穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的幅頻特性.取 t=1000 s,將前80%略去,取后20% 響應(yīng)的幅值為穩(wěn)態(tài)幅值.當(dāng) c 分別取0.02，0.2 時,得到模型的幅頻響應(yīng)曲線如圖2 所示,其中實線代表解析解,圓圈代表數(shù)值解.從圖2 中可以觀察出,系統(tǒng)解的個數(shù)會受系統(tǒng)參數(shù)的影響.對于強阻尼系統(tǒng),系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)曲線沒有出現(xiàn)多值解.但是對于弱阻尼系統(tǒng),在一定的頻率范圍內(nèi)存在多值解的現(xiàn)象.取系統(tǒng)參數(shù) c=0.02,激勵頻率 ω=2.2,對比位移時間歷程.選取初值 (a0,φ0)=(0.1,0),代入式(16)計算 (a,φ),再將結(jié)果代入式(17)計算近似解;將式(17) 求導(dǎo)得到,再將(a0,φ0)=(0.1,0) 代入x(t),得到進一步將結(jié)果代入 ε0所對應(yīng)偏微分方程組的第二個式子求出,然后將作為初始值代入系統(tǒng)求數(shù)值解,最后得到系統(tǒng)的位移時間曲線如圖3 所示.從圖3 很明顯地可以看出無論是瞬態(tài)響應(yīng)還是穩(wěn)態(tài)響應(yīng),數(shù)值解和解析解都基本一致,驗證了前述結(jié)果的正確性.

圖2 幅頻曲線的比較Fig.2 Comparison of amplitude-frequency curves

圖3 位移時間歷程對比Fig.3 Comparison of displacement time histories

令式(16) 中的 D1a=0,D1φ=0,得到振幅a ˉ 和相位 φˉ 滿足的代數(shù)方程

進一步可以得到幅頻響應(yīng)方程和相頻響應(yīng)方程

關(guān)于穩(wěn)態(tài)解的穩(wěn)定性,用式(16)中 a 和 φ 組成二維的狀態(tài)向量,則二維向量函數(shù)為

其特征方程為

其中 P=trJ,Q=det J,由此可解出

根據(jù) Lyapunov 穩(wěn)定性理論[22]可知,系統(tǒng)在定常解處漸近穩(wěn)定的條件是 P ＜0 且 Q ＞0 .對于有阻尼系統(tǒng),總有 P ＜0,故系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)周期運動在Lyapunov 意義下的穩(wěn)定性條件為 det J ＞0,即

4 系統(tǒng)參數(shù)的影響

選取一組系統(tǒng)參數(shù) m=1,k=4,k1=1,c=0.02,F0=0.2,ε=0.1,調(diào)諧參數(shù) σ 的取值范圍為[-20,20],即 ω 的取值范圍為[0,4],改變非線性系數(shù) α1,得到非線性系數(shù) α1對系統(tǒng)響應(yīng)的影響如圖4 所示.從圖中可見,無論是剛度硬化還是剛度軟化,隨著系統(tǒng)參數(shù) α1絕對值的逐漸增大(即非線性程度逐漸增強),共振峰逐漸降低,多解區(qū)域逐漸擴大.另外,分析激勵幅值F0對系統(tǒng)的影響,選取 m=1,k=4,k1=1,c=0.02,ε=0.1,α1=0.4,從圖5 中可以觀察到F0對幅頻特性的骨架線影響很小,對幅頻曲線的形態(tài)影響較大.

圖4 非線性系數(shù)α1 的影響(圓圈代表穩(wěn)定解,星號代表不穩(wěn)定解)Fig.4 Effects of nonlinear coefficient α1 (the circles represent stable solution and the asterisks represent unstable solution)

圖5 激勵幅值F0 的影響Fig.5 Effects of excitation amplitude F0

此外,為了進一步分析系統(tǒng)參數(shù)對共振幅值的影響,將分別考慮Maxwell 黏彈性元件的阻尼系數(shù)c 和剛度系數(shù)k1對系統(tǒng)響應(yīng)的影響.分別選取系統(tǒng)參數(shù) m=1,k=4,c=0.02,α1=0.4,F0=0.2,ε=0.1和 m=1,k=4,k1=1,α1=0.4,F0=0.2,ε=0.1,改變k1和c,計算系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線,如圖6 和圖7所示.從圖6 的整體圖和局部放大圖中可觀察出系統(tǒng)的共振幅值隨著參數(shù)k1的增大而有一定的增大,但是增量較小.從圖7 中可以觀察出共振振幅隨著阻尼的不斷增大逐漸減小,且多解區(qū)域減小,最終多解現(xiàn)象消失.

圖6 參數(shù)k1 的影響Fig.6 Effects of parameter k1

圖7 阻尼c 的影響Fig.7 Effects of damp c

5 結(jié)論

本文將多尺度法從偶數(shù)階系統(tǒng)推廣到奇數(shù)階系統(tǒng),解決了非線性奇數(shù)階系統(tǒng)的動力學(xué)求解問題.以Zener 模型為例說明了該推廣方法的正確性,利用推廣多尺度法得到非線性Zener 模型主共振的一次近似解析解,并通過數(shù)值方法驗證了瞬態(tài)解和穩(wěn)態(tài)解都可良好地吻合.由Lyapunov 穩(wěn)定性理論得到了定常解的穩(wěn)定條件,發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)最多存在一個穩(wěn)定解和兩個不穩(wěn)定解.討論了系統(tǒng)參數(shù)對定常解的幅頻特性和穩(wěn)定性的影響,發(fā)現(xiàn)在一定頻率范圍內(nèi),非線性系數(shù) α1分別取正負(fù)時對系統(tǒng)響應(yīng)有類似的影響,即不管剛度硬化還是剛度軟化,都可以使共振幅值逐漸降低,多解區(qū)域擴大.另外,外激勵的幅值對幅頻特性的骨架線影響很小,對幅頻曲線的形態(tài)影響較大.Maxwell 元件的剛度系數(shù)對幅頻特性的影響較小;Maxwell 元件阻尼系數(shù)的增大會使共振幅值降低,且多解區(qū)域減小,最終多解現(xiàn)象消失.