周 游 曾 忠, 劉 浩 張良奇

* (重慶大學(xué)航空航天學(xué)院,重慶 400044)

? (重慶交通大學(xué)西南水運(yùn)工程科學(xué)研究所,重慶 400016)

引言

熱毛細(xì)對流是沿流體-流體界面非均勻溫度導(dǎo)致的表面張力梯度驅(qū)動的對流,其廣泛存在于晶體生長[1-2]、液滴遷移[3-4]、3D 打印[5-6]等工業(yè)應(yīng)用中,其中晶體生長是其重要的研究背景之一.浮區(qū)法是一種無坩堝高品質(zhì)單晶生長技術(shù),隨著航空航天技術(shù)的發(fā)展,空間微重力環(huán)境為浮區(qū)法生長更大尺寸和更高品質(zhì)的單晶提供了可能.在空間微重力環(huán)境中,熱浮力對流極度衰減,熱毛細(xì)對流成為浮區(qū)法晶體生長中熔體物質(zhì)與熱輸運(yùn)的主要方式.由兩塊不同溫度同軸圓盤以及圓盤之間的液柱組成液橋模型,其可當(dāng)成源于浮區(qū)法晶體生長技術(shù)的半浮區(qū)簡化模型.近40 年來,液橋模型已被廣泛運(yùn)用于熱毛細(xì)對流研究.

熔體普朗特?cái)?shù)對液橋熱毛細(xì)對流失穩(wěn)機(jī)制和失穩(wěn)模式有重要影響.Smith 和Davis[7]基于線性穩(wěn)定性分析研究了不同普朗特?cái)?shù)無限大平面液層中熱毛細(xì)對流的不穩(wěn)定性,發(fā)現(xiàn)了2 種對流失穩(wěn)類型.Levenstam等[8-9]通過三維數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)對低普朗特?cái)?shù)熔體液橋熱毛細(xì)對流研究時發(fā)現(xiàn),熱毛細(xì)對流第一次失穩(wěn)是從二維軸對稱定常流動轉(zhuǎn)變?yōu)槿S定常對流.Chen 等[10]采用微擾動法研究了低普朗特?cái)?shù)液橋熱毛細(xì)對流失穩(wěn),研究表明:當(dāng)Pr≤0.1 時,液橋熱毛細(xì)對流的第一次失穩(wěn)為靜態(tài)失穩(wěn).Ichiro 等[11]通過實(shí)驗(yàn)對高普朗特?cái)?shù)熔體液橋熱毛細(xì)對流進(jìn)行了研究,研究表明隨著溫差的增大,熱毛細(xì)對流第一次失穩(wěn)是從二維軸對稱定常流動轉(zhuǎn)變?yōu)槿S振蕩對流.Wanschura 等[12]通過線性穩(wěn)定性分析研究了不同普朗特?cái)?shù)對液橋熱毛細(xì)對流的影響,結(jié)果表明熱毛細(xì)對流失穩(wěn)存在兩種失穩(wěn)類型:當(dāng)Pr≤0.05 時,液橋熱毛細(xì)流動失穩(wěn)從二維軸對稱定常對流轉(zhuǎn)變?yōu)槿S定常對流,當(dāng)0.5≤Pr≤4.8 時,液橋熱毛細(xì)對流失穩(wěn)從二維軸對稱定常對流轉(zhuǎn)變?yōu)槿S振蕩對流,兩種失穩(wěn)模式具有不同失穩(wěn)機(jī)制.Chen 等[13]采用與Wanschura 等[12]同樣的液橋模型,通過線性穩(wěn)定性分析研究了10-10≤Pr≤8.0 的熱毛細(xì)對流失穩(wěn),結(jié)果表明:當(dāng)Pr≤0.06 時,熱毛細(xì)對流失穩(wěn)是由水動力學(xué)慣性機(jī)制引起,并且其失穩(wěn)模式為靜態(tài)失穩(wěn);當(dāng)Pr≥0.1 時,失穩(wěn)是由熱毛細(xì)機(jī)制引起,并且其失穩(wěn)模式為振蕩失穩(wěn).2001 年,Levenstam 等[14]結(jié)合數(shù)值模擬和線性穩(wěn)定性分析研究了0.001≤Pr≤7 范圍內(nèi)液橋熱毛細(xì)流的失穩(wěn)機(jī)制,他們的研究表明:當(dāng)0.001≤Pr≤0.05 時,熱毛細(xì)對流失穩(wěn)是由水動力學(xué)慣性機(jī)制引起,其失穩(wěn)模式為靜態(tài)失穩(wěn),當(dāng)0.057≤Pr≤0.068,熱毛細(xì)對流失穩(wěn)主要是由水動力學(xué)慣性機(jī)制引起,但其失穩(wěn)模式轉(zhuǎn)變?yōu)檎袷幨Х€(wěn).當(dāng)0.07≤Pr≤1.80 時,熱毛細(xì)對流失穩(wěn)是由水動力學(xué)慣性機(jī)制和熱毛細(xì)機(jī)制共同作用引起,其失穩(wěn)模式為振蕩失穩(wěn),當(dāng)0.183≤Pr≤7 時,熱毛細(xì)對流失穩(wěn)是主要是由熱毛細(xì)機(jī)制引起,其失穩(wěn)模式為振蕩失穩(wěn).上述文獻(xiàn)結(jié)果表明:液體普朗特?cái)?shù)對液橋熱毛細(xì)對流的失穩(wěn)機(jī)制和失穩(wěn)模式具有重要影響.對高普朗特?cái)?shù)液體,熱毛細(xì)對流第一次失穩(wěn)是從二維軸對稱定常對流轉(zhuǎn)變?yōu)槿S周期性振蕩對流,其失穩(wěn)機(jī)制是熱毛細(xì)失穩(wěn)機(jī)制;對低普朗特?cái)?shù)液體,熱毛細(xì)對流第一次失穩(wěn)是從二維軸對稱定常對流轉(zhuǎn)變?yōu)槿S定常對流,失穩(wěn)機(jī)制為水動力學(xué)慣性失穩(wěn)機(jī)制.

針對錫熔體(Pr=0.009)的熱毛細(xì)對流,Li 等[15]數(shù)值模擬研究了液橋高徑比對熱毛細(xì)對流失穩(wěn)的影響,結(jié)果顯示:當(dāng)高徑比在0.6～2.2 之間時,熱毛細(xì)對流失穩(wěn)臨界Marangoni 數(shù)(Mac)隨著高徑比的減小而單調(diào)增加,其熱毛細(xì)對流失穩(wěn)模式均為靜態(tài)失穩(wěn).Rybicki 和Floryan[16]數(shù)值模擬研究了液橋的熱毛細(xì)對流,結(jié)果表明高徑比對液橋熱毛細(xì)流動有重要影響.Velten 等[17]通過地面實(shí)驗(yàn)研究了高徑比對液橋熱毛細(xì)對流的影響,結(jié)果表明隨著高徑比的增加Mac逐漸減小.Chen 和Hu[18]通過線性穩(wěn)定性分析研究了液橋的高徑比對半浮區(qū)液橋熱毛細(xì)對流的影響,隨著高徑比的增加Mac數(shù)和臨界頻率隨之減小.Nishino 等[19]結(jié)合空間實(shí)驗(yàn)和線性穩(wěn)定性分析方法,研究了高徑比對高普朗特?cái)?shù)液橋熱毛細(xì)對流不穩(wěn)定性的影響,其研究結(jié)果表明:當(dāng)Pr=67 時,在高徑比As=1.25 左右,臨界頻率和Mac出現(xiàn)突降現(xiàn)象,其失穩(wěn)模式為振蕩失穩(wěn).吳勇強(qiáng)等[20]通過地面實(shí)驗(yàn)研究了液橋高徑比對液橋起振溫差的影響,研究表明隨著高徑比的增大液橋內(nèi)的起振溫差逐漸呈減小趨勢.王佳等[21]對大尺寸液橋的浮力-熱毛細(xì)對流進(jìn)行了地面實(shí)驗(yàn),實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)在高普朗特?cái)?shù)情況下,在Mac附近,流場內(nèi)會有行波現(xiàn)象出現(xiàn),隨著高徑比的變化,其流動模式發(fā)生改變.Kang 等[22]在天宮二號上進(jìn)行了高普朗特?cái)?shù)液體橋熱毛細(xì)對流的實(shí)驗(yàn)研究,以液橋高徑比和體積比為特征,研究了幾何參數(shù)對液橋熱毛細(xì)對流失穩(wěn)臨界條件的影響,首次完整地得到了微重力條件下高徑比-體積比參數(shù)空間內(nèi)熱毛細(xì)對流不穩(wěn)定性的臨界條件和振蕩特性.Wang等[23]基于地面實(shí)驗(yàn),研究了存在重力場作用時,幾何參數(shù)(高徑比和體積比)對大普朗特?cái)?shù)大尺寸液橋熱毛細(xì)對流失穩(wěn)臨界條件的影響,在不同的幾何參數(shù)下出現(xiàn)了6 種不同的失穩(wěn)狀態(tài).Liu 等[24]通過線性穩(wěn)定性分析研究了高徑比對環(huán)形液池?zé)崦?xì)對流(Pr=0.011 和Pr=1.4)的影響,研究發(fā)現(xiàn):當(dāng)高徑比較小時,失穩(wěn)模式為振蕩失穩(wěn);當(dāng)高徑比較大時,失穩(wěn)模式為靜態(tài)失穩(wěn),這表示高徑比對環(huán)形液池?zé)崦?xì)對流的失穩(wěn)模式轉(zhuǎn)變有影響,但是該現(xiàn)象尚未在液橋熱毛細(xì)對流研究的文獻(xiàn)中報(bào)道.

目前,雖然文獻(xiàn)已有很多高徑比對液橋熱毛細(xì)流失穩(wěn)影響的研究,但研究主要聚焦于高普朗特?cái)?shù)熔體和低普朗特?cái)?shù)熔體的熱毛細(xì)對流失穩(wěn),而較少關(guān)注普朗特?cái)?shù)在0.057≤Pr≤0.8[14]范圍液橋的熱毛細(xì)流失穩(wěn),特別缺乏這一范圍內(nèi)高徑比對其熱毛細(xì)失穩(wěn)影響的研究.本文針對GaAs 熔體(Pr=0.068),采用譜元法對基態(tài)解進(jìn)行求解,然后基于線性穩(wěn)定性分析確定失穩(wěn)臨界參數(shù)Mac,最后結(jié)合能量分析方法研究對流失穩(wěn)的物理機(jī)制,研究高徑比對液橋熱毛細(xì)對流失穩(wěn)臨界參數(shù)、失穩(wěn)模式和失穩(wěn)機(jī)制的影響.

1 數(shù)學(xué)模型和數(shù)值方法

1.1 物理模型與基本控制方程

采用圖1 所示的液橋模型,液橋由中心軸線重合的圓盤和圓形液柱組成,圓柱形液橋高度為H,半徑為R,高徑比定義為As=H/R.液橋上端為低溫固壁(φc),下端為高溫固壁(φh),熔體當(dāng)成不可壓縮牛頓流體.假設(shè)表面張力為溫度的線性函數(shù),圓柱自由表面絕熱并且忽略自由表面變形.

圖1 半浮區(qū)液橋模型Fig.1 Floating half-zone model

分別用H,υ/H,H2/υ 和 ρυ2/H2作為長度、速度、時間和壓力的特征物理量,對流體的控制方程進(jìn)行無量綱化,其中 υ 是運(yùn)動學(xué)黏性系數(shù),ρ 是密度,無量綱溫度定義為 T=(φ-φc)/(φh-φc),其中φc為液橋低溫圓盤固壁溫度,φh為高溫圓盤固壁高溫,φ表示表示液橋內(nèi)任意一點(diǎn)溫度.熱毛細(xì)對流失穩(wěn)前是二維軸對稱定常流,失穩(wěn)后變?yōu)槿S對流.采用柱坐標(biāo)(r,θ,z),r 為徑向坐標(biāo),θ 為周向坐標(biāo),z 為軸向坐標(biāo).無量綱控制方程為

無量綱邊界條件可以表示為:

(1) 自由表面(r=1/As)

(2) 熱壁(z=0)

(3) 冷壁(z=1)

其中u 表示徑向速度,w 表示軸向速度,無量綱參數(shù)Pr 以及Ma 分別定義為

其中 κ 為熱擴(kuò)散系數(shù),γT為流體表面張力系數(shù),Δφ=φh-φc.

1.2 線性穩(wěn)定性分析

為了得到高精度的失穩(wěn)臨界條件,采用基于時間分裂法的譜元法求解方程式(1)～式(4),得到定常軸對稱的基態(tài)解,然后在所得二維基態(tài)解上施加一個三維小擾動[25]

其中 u0,p0和 T0表示速度、壓力和溫度的基態(tài)解,表示擾動速度、擾動壓力和擾動溫度.將式(7)代入到方程式(1)～式(4)中,并忽略高階擾動項(xiàng)可導(dǎo)出擾動控制方程

擾動邊界條件為:

(1) 自由表面(r=1/As)

(2) 熱壁(z=0)

(3) 冷壁(z=1)

將擾動量表示為正則模形式

其中φ 表示u,v,w,T 和p,c.c.為復(fù)數(shù)虛部項(xiàng)的共軛.復(fù)數(shù)λ 可分為實(shí)部λr和虛部λi,其中實(shí)部λr表示為線性增長率,虛部λi表示為振蕩頻率?,k 表示為失穩(wěn)波數(shù).其中λr＜0 表示流動穩(wěn)定,λr＞0 表示流動不穩(wěn)定,而λr=0 則代表流動失穩(wěn)的臨界狀態(tài),線性穩(wěn)定性分析正是要捕捉λr=0 時的臨界參數(shù),在臨界條件下,λi=0 表示失穩(wěn)是靜態(tài)失穩(wěn),λi≠0 表示失穩(wěn)是振蕩失穩(wěn).在將表達(dá)式(12)代入式(8)～式(11),采用譜元法對擾動方程進(jìn)行離散,得到一個廣義特征值問題,即

1.3 擾動能量分析

確定流動失穩(wěn)臨界參數(shù)后,可通過擾動能量分析的方法來研究流動失穩(wěn)機(jī)制.對擾動方程(8)中的動量方程乘以?并對求整個求解域進(jìn)行積分,可得到擾動動能變化率表達(dá)式[12,30-31]

其中 ?ekin/?t 表示擾動動能的分布,Dk表示黏性耗散率,Mz和Mφ分別表示由擾動引起的熱毛細(xì)力沿液橋軸向和周向做功的功率,IV項(xiàng)表示從基態(tài)流場到擾動流場的動能傳遞率.則各個能量項(xiàng)的具體表達(dá)式為

其中

其中IV1,IV2和IV3表示基態(tài)徑向速度向擾動場的能量傳遞,而IV4和IV5則表示基態(tài)軸向速度向擾動場的能量傳遞.V 表示液橋的體積,S 表示自由表面.

2 結(jié)果與討論

2.1 網(wǎng)格依賴性和程序有效性驗(yàn)證

選取Pr=0.068,液橋高徑比As=1,計(jì)算網(wǎng)格采用8r× 9z單元劃分,單元內(nèi)分別采用5r× 5z,6r× 6z,7r× 7z階譜離散,對應(yīng)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)為41 × 46,49 × 55,57 × 64.將不同網(wǎng)格的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比,如表1 所示,不同網(wǎng)格計(jì)算的波數(shù)吻合,Mac相對誤差較小.綜合考慮計(jì)算精度和計(jì)算效率,本文以下計(jì)算采用6r× 6z階譜離散.

表1 基于不同網(wǎng)格分辨率得到的熱毛細(xì)對流(Pr=0.068)失穩(wěn)臨界Marangoni 數(shù)(Mac)和波數(shù)kcTable 1 The critical Marangoni number (Mac) and wave number kc for the instability of thermocapillary flow with Pr=0.068 under different mesh resolution conditions

選取液橋高徑比As=1 的熱毛細(xì)對流進(jìn)行程序有效性驗(yàn)證,計(jì)算網(wǎng)格采用8r× 9z單元劃分,6r×6z階譜離散,對應(yīng)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)為49 × 55.將計(jì)算Mac轉(zhuǎn)化為Rec(Rec=Mac/Pr)與Levestam 等[14]的結(jié)果進(jìn)行對比,如表2 所示.

表2 計(jì)算失穩(wěn)臨界參數(shù)(Rec,fc 和kc)與文獻(xiàn)[14]結(jié)果對比Table 2 The critical values (Rec,fc,kc) from the present computations against Ref.[14]

針對Pr=0.009 熔體熱毛細(xì)對流的失穩(wěn),基于我們自主開發(fā)譜元法程序計(jì)算結(jié)果與Li 等[15]的臨界參數(shù)(失穩(wěn)臨界Marangoni 數(shù)(Mac)和波數(shù)kc)進(jìn)行對比,如表3 所示.

表3 計(jì)算失穩(wěn)臨界參數(shù)(Mac 和kc)與文獻(xiàn)[15]結(jié)果對比Table 3 The critical values (Mac and kc) from the present computations against Ref.[15]

以上與Levestam 等[14]和Li 等[15]的結(jié)果對比表明:本文計(jì)算熱毛細(xì)對流失穩(wěn)臨界參數(shù)與他們結(jié)果吻合,我們程序的有效性得到了驗(yàn)證.

2.2 穩(wěn)定性曲線與失穩(wěn)模式

GaAs 熔體液橋熱毛細(xì)對流的基態(tài)是二維軸對稱定常對流.固定液橋的高度為1,液橋半徑的變化范圍為0.4≤R≤2.5,則對應(yīng)液橋的高徑比變化范圍為2.5≥As≥0.4.離散采用6r× 6z階譜離散,計(jì)算網(wǎng)格采用(8r-14r) × 9z單元劃分,所以液橋軸向有54 個網(wǎng)格,徑向根據(jù)高徑比的不同有48～84 個網(wǎng)格.

如表4 所示,失穩(wěn)波數(shù)隨著高徑比的增加而減小,失穩(wěn)波數(shù)的變化符合Zeng 等[32]提出的高徑比和失穩(wěn)波數(shù)之間的關(guān)系1.57≤kcAs≤3.14.如圖2 所示,臨界Mac數(shù)隨著高徑比增加,整體呈下降趨勢,Mac數(shù)在高徑比為0.67 和高徑比為1.18 處出現(xiàn)峰值點(diǎn).表4 中的線性穩(wěn)定性分析結(jié)果表明,在高徑比0.40≤As≤2.50 區(qū)間內(nèi),存在兩種失穩(wěn)模式,當(dāng)0.4≤As≤1.18 時,熱毛細(xì)對流從二維軸對稱定常對流轉(zhuǎn)捩為三維振蕩對流;當(dāng)1.20≤As≤2.5 時,熱毛細(xì)對流從二維軸對稱定常對流轉(zhuǎn)捩為三維定常對流.

圖2 Mac 隨高徑比(As)的變化(Pr=0.068)Fig.2 The variation of Mac versus the aspect ratio As for Pr=0.068

表4 Pr=0.068 時不同高徑比下的失穩(wěn)臨界參數(shù)Table 4 The critical values at different aspect ratios for Pr=0.068

在圖3 中 IV項(xiàng)表示IV1項(xiàng)到IV5項(xiàng)的總和,M 項(xiàng)表示Mz和Mφ的總和.由圖3 可知,失穩(wěn)主要是由水動力學(xué)慣性機(jī)制主導(dǎo).結(jié)合表5 擾動能量平衡分析的結(jié)果可知,IV4和IV5是造成流動失穩(wěn)的主要原因,且Mz和Mφ也占據(jù)一定比例,表明失穩(wěn)是由水動力學(xué)慣性機(jī)制占主導(dǎo),同時熱毛細(xì)機(jī)制對失穩(wěn)有所貢獻(xiàn).在高徑比As=1.82 處,由水動力學(xué)慣性機(jī)制主導(dǎo)的IV4+IV5的占比最大,而熱毛細(xì)機(jī)制引起的Mz+Mφ的占比最小,Levestam 等[14]針對高徑比As=1熔體液橋熱毛細(xì)對流失穩(wěn)研究表明:當(dāng)Pr=0.068時,液橋熱毛細(xì)對流是振蕩失穩(wěn),其失穩(wěn)機(jī)制是水動力學(xué)的慣性失穩(wěn)機(jī)制,這與本文的分析結(jié)果一致.下面具體介紹隨高徑比變化的兩種失穩(wěn)模式.

圖3 擾動能量隨高徑比As 變化Fig.3 The variation of the kinetic energy budgets with respect to the aspect ratio

圖3 擾動能量隨高徑比As 變化(續(xù))Fig.3 The variation of the kinetic energy budgets with respect to the aspect ratio (continued)

表5 Pr=0.068 時不同高徑比能量分析結(jié)果Table 5 The energy analysis results at different aspect ratios for Pr=0.068

2.3 失穩(wěn)機(jī)制

2.3.1 失穩(wěn)模式I (振蕩失穩(wěn))

由表4 可知,當(dāng)0.40≤As≤1.18 時,失穩(wěn)臨界頻率不等于零,即熱毛細(xì)對流從定常二維軸對稱流動失穩(wěn)變?yōu)槿S周期性振蕩對流.隨著高徑比的增加,失穩(wěn)的臨界波數(shù)從kc=6 逐漸減少為kc=2.由表5和圖3 可知,在失穩(wěn)模式I 中,失穩(wěn)主要是由水動力學(xué)慣性機(jī)制作用,其中IV4和IV5是造成水動力學(xué)慣性失穩(wěn)的主要原因;在這一失穩(wěn)模式中,熱毛細(xì)機(jī)制對失穩(wěn)也有一定貢獻(xiàn).通過具體分析,失穩(wěn)模式I 在不同高徑比范圍內(nèi),IV4項(xiàng)和IV5項(xiàng)對失穩(wěn)的貢獻(xiàn)略微有所不同.當(dāng)0.40≤As≤0.59 時,液橋流動失穩(wěn)的能量主要是由IV4和IV5提供(約占100%),且二者比例相當(dāng);IV2和IV3為負(fù)值,代表其對對流具有穩(wěn)定作用;同時擾動引起的熱毛細(xì)力做功(M 項(xiàng))的貢獻(xiàn)占比小于8%(表5).當(dāng)0.67≤As≤1.00 時,IV5項(xiàng)對液橋流動失穩(wěn)的貢獻(xiàn)在60%左右,是造成流動失穩(wěn)的主要原因;IV2已經(jīng)為正值,IV3仍然為負(fù)值,熱毛細(xì)力做功的貢獻(xiàn)占比為6.52%～9.86%.當(dāng)1.05≤As≤1.18 時,液橋流動失穩(wěn)主要是由IV4項(xiàng)引起,其貢獻(xiàn)在65%左右,在這一高徑比區(qū)間Mz和Mφ的對失穩(wěn)的貢獻(xiàn)有所增加,熱毛細(xì)力做功的貢獻(xiàn)占比為15.31%～27.35%,即熱毛細(xì)機(jī)制有所增強(qiáng).下面將詳細(xì)分析上述3 個高徑比區(qū)間的失穩(wěn)機(jī)制.

當(dāng)0.40≤As≤0.59 時,由表5 可知,在這一高徑比區(qū)間中,Mz和Mφ對液橋的流動失穩(wěn)貢獻(xiàn)較小,IV項(xiàng)(IV項(xiàng)表示IV1項(xiàng)到IV5項(xiàng)的總和)是造成流動失穩(wěn)的主要原因.由圖4(a)擾動能量平衡圖可以直觀的看出,失穩(wěn)主要由IV4和IV5造成,即基態(tài)的軸向速度徑向和軸向梯度為引起失穩(wěn)的擾動動能傳遞了主要的能量.由局部擾動動能極值圖(圖4(b))可知,液橋熱毛細(xì)流動最危險的失穩(wěn)區(qū)域出現(xiàn)在距液橋自由液面R/3 處并靠近熱壁附近.在液橋自由液面的擾動溫度圖(圖5(b))上分布了5 個熱極和5 個冷極,其中紅色表示熱極,藍(lán)色表示冷極,自由液面的擾動速度從熱極指向冷極,與擾動熱毛細(xì)力的方向相同.從圖5(a) 中可以看出,在靠近自由液面約R/3 處出現(xiàn)擾動溫度強(qiáng)斑,截面處的擾動速度從熱極指向冷極,并在冷極處形成擾動速度流胞.

圖4 高徑比As=0.48,Pr=0.068 的臨界狀態(tài)(Mac=1936.3)下:(a)擾動能量平衡條狀圖,(b)局部擾動動能極值圖Fig.4 (a) The disturbance energy balance and (b) distribution of the local disturbance kinetic energy extreme value under critical condition(Mac=1936.3) at As=0.48,Pr=0.068

圖5 高徑比As=0.48,Pr=0.068 的臨界狀態(tài) (Mac=1936.3) 下:(a) z=0.51 截面擾動溫度 (云圖) 和擾動速度矢量 (箭頭),(b)自由液面擾動溫度 (云圖) 和擾動速度矢量 (箭頭)Fig.5 The disturbance temperature (colored contour) and disturbance velocity vector (arrow):(a) the z=0.51 cross section,(b) the free surface under the critical condition (Mac=1936.3) at As=0.48,Pr=0.068

在0.67≤As≤1 區(qū)域內(nèi),由圖6 的擾動能量平衡圖可知,當(dāng)高徑比在這一范圍內(nèi),失穩(wěn)依然是由水動力學(xué)慣性機(jī)制占主導(dǎo),但與0.40≤As≤0.59 這一高徑比范圍內(nèi)失穩(wěn)的具體擾動動能項(xiàng)存在一些差異,該高徑比范圍內(nèi)液橋的流動失穩(wěn)主要是由IV5項(xiàng)主導(dǎo),即基態(tài)軸向速度的軸向梯度為流動失穩(wěn)提供了主要能量.流動最危險的失穩(wěn)位置出現(xiàn)在靠近熱壁處距離自由液面R/2 附近(圖6(b)).如圖7(a)中擾動溫度所示,該高徑比范圍內(nèi)擾動溫度的特征與0.40≤As≤0.59 時不同,在這一高徑比范圍內(nèi),擾動溫度的特征是:在靠近對稱軸R/3 處和靠近自由液面附近出現(xiàn)強(qiáng)斑.在自由液面處擾動速度從熱極指向冷極,與擾動熱毛細(xì)力的方向相同(圖7(b)).

圖6 高徑比As=0.77,Pr=0.068 的臨界狀態(tài) (Mac=1083.9) 下:(a)擾動能量平衡條狀圖,(b)局部擾動動能極值圖Fig.6 (a) The disturbance energy balance and (b) distribution of the local disturbance kinetic energy extreme value under critical condition(Mac=1083.9) at As=0.77,Pr=0.068

圖7 高徑比As=0.77,Pr=0.068 的臨界狀態(tài) (Mac=1083.9) 下:(a) z=0.51 截面擾動溫度 (云圖) 和擾動速度矢量 (箭頭),(b)自由液面擾動溫度 (云圖) 和擾動速度矢量 (箭頭)Fig.7 The disturbance temperature (colored contour) and disturbance velocity vector (arrow):(a) the z=0.51 cross section,(b) the free surface under the critical condition (Mac=1083.9) at As=0.77,Pr=0.068

當(dāng)1.05≤As≤1.18 時,由擾動能量平衡圖(圖8(a))可知,在這一高徑比范圍內(nèi),熱毛細(xì)機(jī)制對失穩(wěn)的貢獻(xiàn)增大,但液橋熱毛細(xì)流動失穩(wěn)仍是由水動力學(xué)的慣性機(jī)制主導(dǎo).與上述兩種情況不同,在這一高徑比范圍內(nèi)IV4項(xiàng)是造成失穩(wěn)的主要原因,但 IV2項(xiàng)對流動失穩(wěn)有較為明顯的抑制作用,即基態(tài)軸向速度的徑向梯度為流動失穩(wěn)提供了主要能量,而基態(tài)徑向速度的軸向梯度有抑制流動失穩(wěn)的作用.根據(jù)圖8(b)可知,最危險的失穩(wěn)位置出現(xiàn)在熱壁附近,并距離對稱軸R/3 處.從自由液面展開圖(圖9(a))顯示:在靠近冷壁附近擾動速度從熱極指向冷極,而在靠近熱壁附近擾動速度從冷極指向熱極.根據(jù)z=0.20,z=0.51 和z=0.74 截面擾度溫度和擾動速度矢量圖(圖9(b)～圖9(d))可知,在z=0.20 截面處擾動速度從冷極指向熱極附近,擾動溫度模式的特征為輪輻狀強(qiáng)斑,并且布滿整個液橋橫截面;在z=0.51 截面處,擾動速度在靠近對稱軸附近是由熱熱極指向冷極,在靠近自由液面附近是由冷極指向熱極,從而擾動速度在熱極和冷極之間形成一個擾動流動循環(huán),擾動溫度模式特征為:在靠近自由液面附近形成橢圓形強(qiáng)斑;在z=0.74 截面中擾動速度從熱極指向冷極,擾動溫度特征為:在自由液面附近和靠近自由液面R/3 處形成強(qiáng)斑.

圖8 高徑比As=1.11,Pr=0.068 的臨界狀態(tài) (Mac=1273.6) 下:(a)擾動能量平衡條狀圖,(b)局部擾動動能極值圖Fig.8 (a) The disturbance energy balance and (b) distribution of the local disturbance kinetic energy extreme value under critical condition(Mac=1273.6) at As=1.11,Pr=0.068

圖9 高徑比 As=1.11，Pr=0.068 的臨界狀態(tài)(Mac=1273.6)下擾動溫度(云圖)和擾動速度矢量(箭頭)Fig.9 The disturbance temperature (colored contour) and disturbance velocity vector (arrow) under the critical condition (Mac=1273.6) for the case of As=1.11 and Pr=0.068

2.3.2 失穩(wěn)模式II (靜態(tài)失穩(wěn))

根據(jù)表4 可知,在1.20≤As≤2.50 區(qū)域內(nèi),失穩(wěn)臨界頻率等于零,表示在這一高徑比范圍內(nèi),熱毛細(xì)對流從二維軸對稱定常對流失穩(wěn)變?yōu)槿S定常對流.隨著高徑比的增加,失穩(wěn)的臨界波數(shù)kc=2 轉(zhuǎn)變?yōu)閗c=1.由表5 和圖3 可知,液橋的流動失穩(wěn)依然是由IV項(xiàng)主導(dǎo),這表明失穩(wěn)模式II 仍然是水動力學(xué)慣性失穩(wěn)機(jī)制主導(dǎo),其中M 項(xiàng)在失穩(wěn)中的占比隨高徑比的增加先增大,再減小最后再增大(圖3(a)).在失穩(wěn)模式II 中IV4和IV5是引起液橋流動失穩(wěn)的主要原因,但在不同的高徑比下 IV4項(xiàng)和IV5項(xiàng)的占比存在差異.在1.20≤As≤1.54 范圍內(nèi),液橋的流動失穩(wěn)是由IV4項(xiàng)主導(dǎo)(約占43%),但I(xiàn)V5項(xiàng)對失穩(wěn)的貢獻(xiàn)同樣較大(約占28%),M 項(xiàng)的占比在13.39%～22.18%;在1.67≤As≤2.50,IV4項(xiàng)對失穩(wěn)的貢獻(xiàn)增大,而IV5項(xiàng)和M 項(xiàng)的在失穩(wěn)中的占比減小,同時IV2和IV3變?yōu)樨?fù)值,所以IV4項(xiàng)是引起流動失穩(wěn)的主要原因.下面對失穩(wěn)模式II 進(jìn)行具體分析.

在1.20≤As≤1.54 范圍,失穩(wěn)臨界波數(shù)kc=2.根據(jù)圖10(a)所示,IV4和IV5是造成流動失穩(wěn)的主原因,即基態(tài)軸向速度的徑向梯度和軸向梯度為引起失穩(wěn)的擾動動能傳遞了主要的能量,其中IV4項(xiàng)比IV5項(xiàng)的貢獻(xiàn)更大,Mz和Mφ項(xiàng)在流動失穩(wěn)中的占比也相對較大.流動失穩(wěn)最危險的位置出現(xiàn)在液橋中部偏上附近并靠近自由液面處(圖10(b)).從自由液面展開圖(圖11(a))可知,擾動速度在靠近冷壁處是由熱極指向冷極,在熱壁附近則是由冷極指向熱極,這與圖12 所示的低普朗特?cái)?shù)(Pr=0.009)液橋在自由液面處擾動速度的指向不同,在低普朗特?cái)?shù)液橋中自由有液面的擾動速度都是從冷極指向熱極,且失穩(wěn)都是水動力學(xué)慣性機(jī)制作用下的失穩(wěn),熱毛細(xì)機(jī)制對失穩(wěn)沒有貢獻(xiàn).由圖11(b)～圖11(d)可知,z=0.20 截面處擾動溫度的特征為:靠近自由液面R/3 形成強(qiáng)斑,截面處的擾動速度由冷極流向熱極;在z=0.51 截面處,擾動溫度特征為:在自由液面R/3 形成橢圓形強(qiáng)斑,并衍生出來的弱斑向自由液面靠近,截面處的擾動速度在靠近對稱軸處是由熱級指向冷極,在靠近自由液面附近是由冷極指向熱極;在z=0.74 截面處,擾動溫度特征為:擾動溫度強(qiáng)斑向自由液面靠近,截面處的擾動速度是由熱極流向冷極.

圖10 高徑比As=1.43,Pr=0.068 的臨界狀態(tài) (Mac=531.9) 下:(a)擾動能量平衡條狀圖,(b) 局部擾動動能極值圖Fig.10 (a) The disturbance energy balance and (b) distribution of the local disturbance kinetic energy extreme value under critical condition(Mac=531.9) at As=1.43,Pr=0.068

圖11 高徑比As=1.43,Pr=0.068 的臨界狀態(tài)(Mac=531.9)下擾動溫度(云圖)和擾動速度矢量(箭頭)Fig.11 The disturbance temperature (colored contour) and disturbance velocity vector (arrow) under the critical condition (Mac=531.9) for the case of As=1.43 and Pr=0.068

圖12 高徑比As=1.43,Pr=0.009 臨界狀態(tài)(Mac=531.9)下自由液面處擾動溫度(云圖)和擾動速度矢量(箭頭)Fig.12 The disturbance temperature (colored contour) and disturbance velocity vector (arrow) at the free surface under the critical condition(Mac=531.9) for the case of As=1.43 and Pr=0.009

在1.67≤As≤2.50 區(qū)間內(nèi),失穩(wěn)臨界波數(shù)kc=1.由圖13(a)可知,IV4是造成流動失穩(wěn)的主要原因,即基態(tài)軸向速度的徑向梯度為流動失穩(wěn)提供了最主要能量,而Mz也對液橋的流動失穩(wěn)有所影響,這表明失穩(wěn)仍然是由水動力學(xué)慣性機(jī)制主導(dǎo),同時熱毛細(xì)機(jī)制對失穩(wěn)有所影響.與上述所有失穩(wěn)機(jī)制不同的是,在該高徑比范圍內(nèi)Mφ項(xiàng)起抑制流動失穩(wěn)的作用.由圖13(b)可知,最危險的失穩(wěn)位置出現(xiàn)在液橋中部并靠近自由液面.在圖14(a)中,擾動速度在靠近液橋冷壁處是由熱極指向冷極,在靠近液橋熱壁處擾動速度從冷極指向熱極,在1.05≤As≤1.18 和1.20≤As≤1.54 這兩個高徑比范圍內(nèi)都曾出現(xiàn)這一現(xiàn)象,但在該高徑比范圍內(nèi)這一現(xiàn)象更加明顯,擾動速度更多地從冷極指向熱極.由圖14(a)和圖15 對比分析可知,低普朗特?cái)?shù)(Pr=0.009)液橋自由液面的擾動速度是從冷極指向熱極,這與GaAs 熔體液橋自由液面的擾動速度指向不同,由圖14(b)～圖14(d)可知,在z=0.20,z=0.51,z=0.74 的橫截面的邊緣處,擾動速度都是從冷極指向熱極,同樣驗(yàn)證了自由液面處擾動速度更多的是從冷極指向熱極;這三處橫截面的擾動溫度特征為:隨著z 坐標(biāo)的增大,擾動溫度強(qiáng)斑逐漸向自由液面靠近.

圖13 高徑比 As=2.00，Pr=0.068 的臨界狀態(tài) (Mac=234.6) 下:(a)擾動能量平衡條狀圖,(b)局部擾動動能極值圖Fig.13 (a) The disturbance energy balance and (b) distribution of the local disturbance kinetic energy extreme value under critical condition(Mac=234.6) at As=2.00,Pr=0.068

圖14 高徑比As=2.00,Pr=0.068 的臨界狀態(tài)(Mac=234.6)下擾動溫度(云圖)和擾動速度矢量(箭頭)Fig.14 The disturbance temperature (colored contour) and disturbance velocity vector (arrow) under the critical condition (Mac=234.6) for the case of As=2.00 and Pr=0.068

圖15 As=2.00 Pr=0.009 時臨界狀態(tài)(Mac=234.6)下自由液面處擾動溫度(云圖)和擾動速度矢量(箭頭)Fig.15 The disturbance temperature (colored contour) and disturbance velocity vector (arrow) at the free surface under the critical condition(Mac=234.6) for the case of As=2.00 and Pr=0.009

2.3.3 基態(tài)流函數(shù)和溫度分布

由圖16 和圖17 可知,在失穩(wěn)模式I 和失穩(wěn)模式II 中,隨著高徑比的增大基態(tài)渦胞的位置始終靠近自由液面附近.從圖16 和圖17 可以看出,當(dāng)高徑比較小時,溫度場在靠近自由液面R/3 處向熱壁處擠壓,同時溫度場也在自由液面處向冷壁處擠壓,從而形成較大溫度梯度;但隨著高徑比增加,這種溫度場的擠壓相對減緩,從而隨著高徑比的增加溫度場沿軸向分布相對均勻.

圖16 失穩(wěn)模式I 在臨界狀態(tài)下的基態(tài)流函數(shù)(云圖)和基態(tài)溫度場(等值線)Fig.16 The basic flow (colored contour) and temperature (isotherm) of instability mode I under critical condition

圖17 失穩(wěn)模式II 在臨界狀態(tài)下的基態(tài)流函數(shù)(云圖)和基態(tài)溫度場(等值線)Fig.17 The basic flow (colored contour) and temperature (isotherm) of instability mode II under critical condition

圖17 失穩(wěn)模式II 在臨界狀態(tài)下的基態(tài)流函數(shù)(云圖)和基態(tài)溫度場(等值線) (續(xù))Fig.17 The basic flow (colored contour) and temperature (isotherm) of instability mode II under critical condition (continued)

3 結(jié)論

基于已有文獻(xiàn)可知,液橋模型中熔體普朗特?cái)?shù)對熱毛細(xì)對流失穩(wěn)機(jī)制和失穩(wěn)模式具有重要影響:對典型高普朗特?cái)?shù)熔體(例如Pr＞1),熱毛細(xì)對流第一次失穩(wěn)是從二維軸對稱定常對流轉(zhuǎn)變?nèi)S周期性振蕩對流,其失穩(wěn)機(jī)制是熱毛細(xì)失穩(wěn)機(jī)制;對典型低普朗特?cái)?shù)熔體(例如Pr=0.011),熱毛細(xì)對流第一次失穩(wěn)是從二維軸對稱定常對流轉(zhuǎn)變?yōu)槿S定常對流,失穩(wěn)機(jī)制是水動力學(xué)慣性失穩(wěn).同時文獻(xiàn)工作顯示液橋高徑比對熱毛細(xì)流對流的失穩(wěn)臨界參數(shù)具有重要影響,但是未發(fā)現(xiàn)高徑比會影響熱毛細(xì)對流失穩(wěn)機(jī)制和失穩(wěn)模式(三維靜態(tài)失穩(wěn)和三維振蕩失穩(wěn)).

本文在基于譜元法線性穩(wěn)定性分析對GaAs 熔體(Pr=0.068)液橋熱毛細(xì)對流研究發(fā)現(xiàn),在同一普朗特?cái)?shù)不同高徑比的情況下,隨著高徑比的改變液橋出現(xiàn)兩種失穩(wěn)模式:當(dāng)0.4≤As≤1.18 時,熱毛細(xì)對流是由二維軸對稱定常對流直接轉(zhuǎn)變?yōu)槿S周期性振蕩對流(振蕩失穩(wěn));當(dāng)1.20≤As≤2.5 時,熱毛細(xì)對流是由二維軸對稱定常對流轉(zhuǎn)變?yōu)槿S定常流動(靜態(tài)失穩(wěn)).基于能量分析我們發(fā)現(xiàn),GaAs 熔體液橋的熱毛細(xì)對流失穩(wěn)是由水動力學(xué)慣性機(jī)制占主導(dǎo),兩種機(jī)制(水動力學(xué)慣性機(jī)制和熱毛細(xì)機(jī)制)共同作用造成.兩種機(jī)制對失穩(wěn)的貢獻(xiàn)隨著高徑比的變化而變化,其失穩(wěn)現(xiàn)象更加復(fù)雜,從而隨著高徑比的改變出現(xiàn)了兩種不同的失穩(wěn)模式.由IV項(xiàng)各項(xiàng)的占比可知,IV4和IV5是造成流動失穩(wěn)的主要原因,即基態(tài)軸向速度徑向梯度和軸向梯度為擾動場的失穩(wěn)轉(zhuǎn)遞了主要的能量.在失穩(wěn)模式I(振蕩失穩(wěn))中,最危險的失穩(wěn)位置出現(xiàn)在熱壁附近,并隨著高徑比的增加逐漸向?qū)ΨQ軸靠近;在失穩(wěn)模式II(靜態(tài)失穩(wěn))中,最危險的失穩(wěn)位置液橋中部橫截面并靠近自由液面附近.