彭科科，劉國群

(1.中國兵器工業(yè)集團(tuán)航空彈藥研究院有限公司· 哈爾濱·150000；2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院· 哈爾濱·150001)

0 引 言

在現(xiàn)代作戰(zhàn)環(huán)境下，巡航類飛行器的狀態(tài)通常為等速等高飛行，大概率會(huì)受到來自敵方威脅區(qū)的攔截器的威脅，因此飛行器需要在特定位置進(jìn)行小范圍高頻率的機(jī)動(dòng)飛行以提高其生存能力[1]?？紤]到巡航類飛行器掠地/海飛行的特點(diǎn)，其在縱向平面內(nèi)的機(jī)動(dòng)范圍有限，所以將機(jī)動(dòng)方向固定為橫向平面。傳統(tǒng)的制導(dǎo)方法如比例導(dǎo)引，由于其視線角速度的收斂特性，比例導(dǎo)引在制導(dǎo)的過程中視線角速度會(huì)逐漸趨于零，這是不利于突防的[2-3]。因此，需要找到一種合適的制導(dǎo)律使得飛行器能夠在小范圍內(nèi)進(jìn)行高頻的側(cè)向機(jī)動(dòng)。

現(xiàn)有的機(jī)動(dòng)飛行制導(dǎo)律主要集中在彈道打擊末段，其中一種方式為虛擬目標(biāo)跟蹤法。何磊等[4]根據(jù)高超聲速滑翔器螺旋機(jī)動(dòng)突防的概念，設(shè)計(jì)了一個(gè)具有曲線漸伸線性質(zhì)的虛擬目標(biāo)，然后令飛行器通過自適應(yīng)比例導(dǎo)引律對(duì)虛擬目標(biāo)進(jìn)行跟蹤。該方法能夠使飛行器較好地跟蹤瞬時(shí)虛擬目標(biāo)，從而完成螺旋機(jī)動(dòng)，但是通過其仿真結(jié)果可以看出，虛擬目標(biāo)形成的軌跡尺度較大，機(jī)動(dòng)頻率較低，并不適合小范圍機(jī)動(dòng)飛行器的制導(dǎo)律。

另一種制導(dǎo)律方法是基于滑模變結(jié)構(gòu)理論。段安娜等[5]在考慮終端約束的情況下，推導(dǎo)了基于滑模變結(jié)構(gòu)的螺旋機(jī)動(dòng)制導(dǎo)律，其在切換面引入視線角參考指令和螺旋機(jī)動(dòng)控制項(xiàng)，但是需要對(duì)制導(dǎo)律中的參數(shù)進(jìn)行試湊整定，通用性不強(qiáng)。宋貴寶等[6]設(shè)計(jì)了縱向平面和航向平面內(nèi)的螺旋機(jī)動(dòng)變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律，其視線角速度均按照正弦規(guī)律變化，能夠提高飛行器的突防概率。

黃魯豫等[7]結(jié)合虛擬目標(biāo)和滑模變結(jié)構(gòu)理論兩種方法的思想，基于自抗擾控制及反步滑?？刂疲岢隽艘环N多約束條件下的導(dǎo)彈螺旋機(jī)動(dòng)制導(dǎo)方法，采用補(bǔ)償器在攻角超出約束范圍時(shí)對(duì)指令進(jìn)行修正，以實(shí)現(xiàn)對(duì)攻角的限制。針對(duì)有界不確定性及未知干擾，設(shè)計(jì)了干擾觀測(cè)器對(duì)其進(jìn)行估計(jì)與補(bǔ)償，提高了系統(tǒng)的魯棒性。但是其螺旋軌跡過于平滑，仍不適合小頻率范圍內(nèi)的機(jī)動(dòng)。

傳統(tǒng)的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)方法，例如選擇視線角速度作為制導(dǎo)律狀態(tài)量或跟蹤虛擬目標(biāo)的方式[8-9]，存在參數(shù)整定困難、機(jī)動(dòng)頻率較小的問題。為了盡可能提高巡航類飛行器在平飛過程中的側(cè)向突防能力，本文基于導(dǎo)彈的動(dòng)力學(xué)，根據(jù)期望的飛行軌跡得到了制導(dǎo)律的解析解。該方法形式簡單且有效，無需調(diào)參，只要在一定的初始條件下即可實(shí)現(xiàn)飛行器能力范圍內(nèi)最高頻率的正弦機(jī)動(dòng)。

1 飛行器動(dòng)力學(xué)模型建立

將飛行器動(dòng)力學(xué)方程建立在彈道坐標(biāo)系上，有如下形式

(1)

式中，X、Y、Z分別為飛行器受到的阻力、升力和側(cè)向力；m為飛行器的質(zhì)量；V為飛行器的速度；θ為彈道傾角；ψ為彈道偏角；γV為傾側(cè)角；g為重力加速度。

要確定飛行器質(zhì)心相對(duì)于地面坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)軌跡(彈道)，需要建立飛行器質(zhì)心相對(duì)于地面坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程[10]

(2)

式中，x、y、z分別為發(fā)射系下飛行器3個(gè)方向的位置坐標(biāo)。

2 橫向往復(fù)高頻機(jī)動(dòng)制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

2.1 正弦機(jī)動(dòng)制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

期望巡航類飛行器能夠在橫向機(jī)動(dòng)范圍進(jìn)行高頻率的往復(fù)機(jī)動(dòng)，令側(cè)向位移為正弦形式，即發(fā)射系下有

z=Asin(ωt)

(3)

其中，A為機(jī)動(dòng)幅值；ω為機(jī)動(dòng)頻率。

同時(shí)根據(jù)動(dòng)力學(xué)方程，有

(4)

將式(3)代入式(4)，得到

(5)

又因縱向平面保持不進(jìn)行機(jī)動(dòng)的等高飛行狀態(tài)，故cosθ≈1，對(duì)式(5)移項(xiàng)可得

(6)

根據(jù)過載表示的動(dòng)力學(xué)方程可知

(7)

其中，nz為飛行器的側(cè)向過載。

將式(6)代入式(7)可得

(8)

省略小項(xiàng)后可簡化為

(9)

可見，側(cè)向的過載指令也是正弦形式。

2.2 正弦機(jī)動(dòng)制導(dǎo)律初值與最大機(jī)動(dòng)頻率的選定

由2.1節(jié)得出，側(cè)向過載為正弦形式時(shí)，在等高等速環(huán)境下也可以得到正弦形式的側(cè)向位移。但是從式(7)可以看出，該過程包含積分過程，因此需要設(shè)定合適的彈道偏角初值ψ0。

設(shè)給定側(cè)向過載為nz=A′sin(ωt)，其中A′=-Aω2/g。代入式(6)，對(duì)時(shí)間積分可得

(10)

積分常數(shù)C為

(11)

因此，彈道偏角ψ可以表示為如下形式

(12)

觀察式(6)，在等速飛行(V=const)、等高飛行(cosθ=1)和小機(jī)動(dòng)(sinψ≈ψ)的條件下，若希望側(cè)向機(jī)動(dòng)為標(biāo)準(zhǔn)正弦形式，ψ的表達(dá)式必須為標(biāo)準(zhǔn)余弦形式，否則在余弦項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)的共同影響下，側(cè)向位移會(huì)以余弦和正比例疊加的形式逐漸偏離，因此彈道偏角初值ψ0需要滿足

(13)

即

(14)

將A′的表達(dá)式代入式(14)，得到

(15)

只要給到確定的初始條件ψ0和式(9)形式的側(cè)向過載nz，即可得到z=Asin(ωt)形式的側(cè)向位移。

因機(jī)動(dòng)飛行器主要考慮的是側(cè)向平面的機(jī)動(dòng)飛行，對(duì)縱向平面要求等高飛行即可，所以縱向制導(dǎo)律可以設(shè)計(jì)為關(guān)于高度的簡單比例-微分反饋形式。綜上所述，在等高飛行的情況下，為了得到z=Asin(ωt)形式的側(cè)向位移，參考式(9)形式，設(shè)計(jì)制導(dǎo)律如下

(16)

其中,ny為縱向過載指令，nz為側(cè)向過載指令；KP、KD分別為比例系數(shù)和微分系數(shù)；yref為期望高度與實(shí)際高度之差；vy_ref為y向期望速度與實(shí)際y向速度之差。只需要確保機(jī)動(dòng)時(shí)刻t0的彈道偏角初值ψ0=-Aω/Vcosθ即可。

同時(shí)由式(16)的第2式可知，最大需用過載是由機(jī)動(dòng)幅值A(chǔ)和機(jī)動(dòng)頻率ω共同決定的，在給定機(jī)動(dòng)幅值A(chǔ)和飛行器最大可用過載的情況下，最大機(jī)動(dòng)頻率為

(17)

3 仿真試驗(yàn)及結(jié)果分析

3.1 仿真結(jié)果

對(duì)2組典型工況進(jìn)行仿真和分析：

工況1中，設(shè)定速度V=1000m/s，飛行高度y=10000m，側(cè)向過載限幅20g，機(jī)動(dòng)幅值A(chǔ)=100m，開始機(jī)動(dòng)時(shí)間為10s，機(jī)動(dòng)結(jié)束時(shí)間為60s。根據(jù)式(17)計(jì)算得到的機(jī)動(dòng)頻率為1.4rad/s。

仿真結(jié)果如圖1～圖6所示。

圖1 飛行三維圖Fig.1 Three-dimensional flight graph

圖2 z坐標(biāo)隨時(shí)間變化曲線Fig.2 Time histories of the z-position

圖4 z方向速度隨時(shí)間變化曲線Fig.4 Time histories of the z-velocity

圖5 攻角和側(cè)滑角隨時(shí)間變化曲線Fig.5 Time histories of the AOA and beta angle

圖6 過載隨時(shí)間變化曲線Fig.6 Time histories of the normal load

工況2中，設(shè)定速度V=200m/s，飛行高度y=3000m，側(cè)向過載限幅30g，機(jī)動(dòng)幅值A(chǔ)=100m，開始機(jī)動(dòng)時(shí)間為10s，機(jī)動(dòng)結(jié)束時(shí)間為60s。根據(jù)式(17)計(jì)算得到的機(jī)動(dòng)頻率為2.2133rad/s。

仿真結(jié)果如圖7～圖12所示。

采用基礎(chǔ)粒子群優(yōu)化(Particle Swarm Optimization，PSO)算法對(duì)最大機(jī)動(dòng)頻率進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算[11]，設(shè)PSO基本參數(shù)如下：

圖7 飛行三維圖Fig.7 Three-dimensional flight graph

圖8 z坐標(biāo)隨時(shí)間變化曲線Fig.8 Time histories of the z-position

圖9 偏航角隨時(shí)間變化曲線Fig.9 Time histories of the yaw angle

圖10 z方向速度隨時(shí)間變化曲線Fig.10 Time histories of the z-velocity

圖11 攻角和側(cè)滑角隨時(shí)間變化曲線Fig.11 Time histories of the AOA and beta angle

圖12 過載隨時(shí)間變化曲線Fig.12 Time histories of the normal load

種群個(gè)體數(shù)量N=20，最大迭代次數(shù)30次，慣性權(quán)重w=0.7，自我學(xué)習(xí)因子C1=0.5，群體學(xué)習(xí)因子C2=0.5。優(yōu)化變量為機(jī)動(dòng)頻率，優(yōu)化指標(biāo)為機(jī)動(dòng)頻率最大，約束條件為機(jī)動(dòng)過載小于可用過載[12]。

仿真初始條件：飛行器初始狀態(tài)為(0,10000,0,1000,0,0)(6個(gè)狀態(tài)量分別為發(fā)射系下x、y、z、V、θ、ψ)。

設(shè)最大可用過載為20g，橫向機(jī)動(dòng)幅值為50m，對(duì)最優(yōu)頻率進(jìn)行優(yōu)化，并與解析解對(duì)比，得到如圖13～圖16所示結(jié)果。

圖13 PSO過程中適應(yīng)度隨迭代次數(shù)的變化曲線Fig.13 The change curve of fitness with the number of iterations in PSO process

圖14 PSO過程中最優(yōu)頻率隨迭代次數(shù)的變化曲線Fig.14 The change curve of optimal frequency with the number of iterations in PSO process

圖15 解析最優(yōu)頻率得到的過載變化曲線Fig.15 Time histories of normal load based on analytical optimal frequency

圖16 PSO最優(yōu)頻率得到的過載變化曲線Fig.16 Time histories of normal load based on optimal frequency in PSO

3.2 結(jié)果分析

圖1～圖6仿真結(jié)果顯示，本文設(shè)計(jì)的機(jī)動(dòng)制導(dǎo)律可以較好地完成側(cè)向機(jī)動(dòng)。從圖1、圖2和圖6可以看出，機(jī)動(dòng)飛行器在制導(dǎo)律的作用下實(shí)現(xiàn)了側(cè)向機(jī)動(dòng)，機(jī)動(dòng)幅值滿足工況中的要求，同時(shí)需用過載充分利用了可用過載空間，在滿足機(jī)動(dòng)幅值的情況下實(shí)現(xiàn)了飛行器能力范圍內(nèi)最大頻率的機(jī)動(dòng)。從圖3也可以看出，在等速等高和機(jī)動(dòng)時(shí)刻的偏航角初值符合要求的情況下，偏航角也是標(biāo)準(zhǔn)的正弦形式。

圖7～圖12仿真結(jié)果體現(xiàn)的是速度較小情況下制導(dǎo)律的實(shí)現(xiàn)情況。從圖8可以看出，機(jī)動(dòng)飛行器的側(cè)向機(jī)動(dòng)幅值并沒有達(dá)到要求的100m，這是因?yàn)樵谕茖?dǎo)解析表達(dá)式的過程中，式(8)分母中根號(hào)項(xiàng)被置成了1，但是在速度較小的情況下，根號(hào)項(xiàng)會(huì)略小于1。省略導(dǎo)致式(16)第2式中正弦幅值項(xiàng)分母偏大，使得式(17)中的分子項(xiàng)偏大，得到了偏大的機(jī)動(dòng)頻率，最終制導(dǎo)指令在一個(gè)周期內(nèi)不足以激勵(lì)飛行器達(dá)到最大機(jī)動(dòng)幅值。對(duì)比表1中的結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，在速度較大的情況下，解析表達(dá)式中的省略項(xiàng)可忽略不計(jì)，因此側(cè)向機(jī)動(dòng)幅值較為準(zhǔn)確；在工況2中的200m/s的小速度下，幅值誤差會(huì)增加至10%左右。

通過圖13～圖16中PSO的仿真結(jié)果可以驗(yàn)證，解析算法能夠精確得出最大機(jī)動(dòng)頻率，而PSO計(jì)算得出的最大機(jī)動(dòng)頻率精度也能很好地滿足要求，誤差率在5%以內(nèi)。

4 結(jié) 論

本文研究了基于解析解的小范圍高頻率飛行器制導(dǎo)律，實(shí)現(xiàn)了平飛過程中飛行器小范圍的側(cè)向機(jī)動(dòng)，仿真結(jié)果表明，所提出的制導(dǎo)律能夠充分利用飛行器可用過載進(jìn)行最高頻率的機(jī)動(dòng)，制導(dǎo)精度較高。但是本文在解析解求取過程中,認(rèn)為幅值乘以頻率相對(duì)于速度是一個(gè)小量，在速度較小和幅值較大時(shí),飛行器的實(shí)際機(jī)動(dòng)幅值會(huì)略小于期望幅值，因此后續(xù)將考慮對(duì)解析過載指令進(jìn)行一定的速度補(bǔ)償,以充分發(fā)揮飛行器的機(jī)動(dòng)能力。