溫秀平,耿冉冉

(南京工程學(xué)院工業(yè)中心、創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)學(xué)院, 江蘇 南京 211167)

現(xiàn)實(shí)世界中很多實(shí)際的系統(tǒng)往往都存在非線性和時(shí)滯,再加上元器件老化、關(guān)鍵部件失效等因素影響,在高負(fù)荷的運(yùn)行過(guò)程中執(zhí)行器或者傳感器難免發(fā)生故障,這些因素的存在給控制器的設(shè)計(jì)帶來(lái)了極大的挑戰(zhàn).對(duì)于實(shí)際系統(tǒng),如果不能設(shè)計(jì)有效的容錯(cuò)控制器及時(shí)對(duì)故障系統(tǒng)進(jìn)行控制,系統(tǒng)性能可能會(huì)下降,甚至出現(xiàn)系統(tǒng)不穩(wěn)定的現(xiàn)象,嚴(yán)重時(shí)會(huì)造成較大的經(jīng)濟(jì)損失[1].因此,非線性時(shí)滯系統(tǒng)的容錯(cuò)控制問(wèn)題已成為國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究與關(guān)注的熱點(diǎn).

目前,容錯(cuò)控制方法已廣泛應(yīng)用于無(wú)人機(jī)、電動(dòng)汽車、衛(wèi)星姿態(tài)系統(tǒng)、船舶等實(shí)際系統(tǒng).文獻(xiàn)[2]針對(duì)四旋翼無(wú)人機(jī)執(zhí)行器發(fā)生偏差故障情況提出一種改進(jìn)的分?jǐn)?shù)階冪次滑模容錯(cuò)控制算法,在有限時(shí)間內(nèi)可以使系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定,有效克服了傳統(tǒng)容錯(cuò)控制方法只能使系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定的缺點(diǎn);文獻(xiàn)[3]研究了四輪獨(dú)立驅(qū)動(dòng)電動(dòng)汽車系統(tǒng)在執(zhí)行器故障和不匹配干擾條件下的跟蹤控制問(wèn)題,提出一種自適應(yīng)快速終端滑模容錯(cuò)控制方案;文獻(xiàn)[4]研究了衛(wèi)星姿態(tài)系統(tǒng)執(zhí)行器含有混合故障時(shí)的容錯(cuò)控制問(wèn)題,提出一種基于迭代學(xué)習(xí)觀測(cè)器的姿態(tài)跟蹤容錯(cuò)控制方法;文獻(xiàn)[5]針對(duì)船舶航速/航向協(xié)調(diào)控制系統(tǒng),提出一種非線性廣義擾動(dòng)觀測(cè)器,并基于自適應(yīng)估計(jì)與廣義擾動(dòng)補(bǔ)償提出一種自適應(yīng)滑模容錯(cuò)控制方法,在冗余舵槳系統(tǒng)發(fā)生故障情況下,實(shí)現(xiàn)了廣義擾動(dòng)補(bǔ)償、航速/航向跟蹤和執(zhí)行器能耗最優(yōu)化.

近年來(lái),關(guān)于非線性時(shí)滯系統(tǒng)容錯(cuò)控制問(wèn)題的研究已經(jīng)取得了一些成果,但也存在一些問(wèn)題有待解決.文獻(xiàn)[6]針對(duì)可反饋線性化非線性系統(tǒng),研究了系統(tǒng)存在未知不匹配干擾和不確定執(zhí)行器故障時(shí)的容錯(cuò)控制問(wèn)題,提出一種魯棒自適應(yīng)容錯(cuò)控制策略,同時(shí)針對(duì)系統(tǒng)各種故障分別設(shè)計(jì)容錯(cuò)控制器,融合得到一個(gè)綜合故障補(bǔ)償控制器,有效解決多重不確定執(zhí)行器故障情況,保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性及獲得期望的性能;文獻(xiàn)[7]針對(duì)滿足Lipschitz條件的非線性系統(tǒng),研究了系統(tǒng)執(zhí)行器發(fā)生故障時(shí)的容錯(cuò)控制問(wèn)題,提出一種魯棒滑模容錯(cuò)控制方法;文獻(xiàn)[8]研究了具有未知控制系數(shù)和執(zhí)行器故障的非線性嚴(yán)格反饋領(lǐng)導(dǎo)-跟隨系統(tǒng)在固定有向圖下的自適應(yīng)協(xié)同容錯(cuò)監(jiān)控問(wèn)題;文獻(xiàn)[9]研究了一類同時(shí)具有參數(shù)不確定性和時(shí)滯的非線性系統(tǒng)的魯棒容錯(cuò)控制問(wèn)題,基于線性陣不等式方法給出了閉環(huán)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定的充分條件及控制器的設(shè)計(jì)方法;文獻(xiàn)[10]針對(duì)具有執(zhí)行器故障的不確定奇異時(shí)滯系統(tǒng),研究其容錯(cuò)控制問(wèn)題,給出了故障閉環(huán)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定的充分條件,所設(shè)計(jì)的容錯(cuò)控制器可以滿足無(wú)源性能指標(biāo).文獻(xiàn)[6-8]均研究了非線性系統(tǒng)的容錯(cuò)控制問(wèn)題,但未考慮時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)的影響;文獻(xiàn)[9-10]針對(duì)不同系統(tǒng)的容錯(cuò)控制問(wèn)題設(shè)計(jì)了有效的控制器,但主要研究了單一時(shí)滯情況,未考慮系統(tǒng)具有多個(gè)狀態(tài)時(shí)滯時(shí)的容錯(cuò)控制問(wèn)題.

綜上,同時(shí)考慮非線性、多時(shí)滯、執(zhí)行器故障及性能指標(biāo)的約束等問(wèn)題綜合設(shè)計(jì)容錯(cuò)控制器極為少見(jiàn).因此,本文主要研究一類具有多個(gè)狀態(tài)時(shí)滯且滿足Lipschitz條件的非線性連續(xù)系統(tǒng)的執(zhí)行器發(fā)生故障時(shí)的容錯(cuò)控制器及容錯(cuò)保性能控制器的設(shè)計(jì).當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生執(zhí)行器故障時(shí),分別設(shè)計(jì)容錯(cuò)控制器和容錯(cuò)保性能控制器,基于線性矩陣不等式方法(linear matrix inequality,LMI)給出故障閉環(huán)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定的充分條件,并利用Lyapunov穩(wěn)定性理論分析證明系統(tǒng)的穩(wěn)定性.本文設(shè)計(jì)的優(yōu)點(diǎn)在于:1) 同時(shí)考慮非線性、多時(shí)滯、執(zhí)行器故障及性能指標(biāo)約束等問(wèn)題設(shè)計(jì)容錯(cuò)控制器;2) 文中設(shè)計(jì)的容錯(cuò)控制器和容錯(cuò)保性能控制器可以同時(shí)保證執(zhí)行器正常工作和發(fā)生故障情況下系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定性;3) 容錯(cuò)保性能控制器可以滿足給定二次型性能指標(biāo)的要求;4) 系統(tǒng)收斂速度快.

1 問(wèn)題描述

考慮具有多個(gè)狀態(tài)時(shí)滯的非線性連續(xù)系統(tǒng):

(1)

定義執(zhí)行器故障矩陣F=diag(f1,f2,…,fm),0≤fi≤1(i=1,2,…,m).當(dāng)fi=0時(shí),表示第i個(gè)執(zhí)行器完全失效;當(dāng)0

針對(duì)式(1)系統(tǒng),在執(zhí)行器發(fā)生故障的情況下,設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋容錯(cuò)控制器的形式為:

u(t)=FKx(t)

(2)

式中:F為執(zhí)行器故障矩陣;K為待設(shè)計(jì)的控制器增益矩陣.

將式(2)代入式(1),則可得故障閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程為:

(3)

對(duì)于系統(tǒng)(1),在執(zhí)行器發(fā)生故障的情況下,選取二次型性能指標(biāo):

(4)

式中,Q、R為給定的對(duì)稱正定加權(quán)矩陣.

本文目的是針對(duì)非線性多狀態(tài)時(shí)滯系統(tǒng)(式(1)),設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋容錯(cuò)控制器(式(2)),使得對(duì)于所有可能發(fā)生的執(zhí)行器失效故障,故障閉環(huán)系統(tǒng)(式(3))漸進(jìn)穩(wěn)定,且滿足性能指標(biāo)(式(4)).

引理1[11]對(duì)于適當(dāng)維數(shù)的矩陣X和Y,以及標(biāo)量ε>0,有:

XTY+YTX≤εXTX+ε-1YTY

(5)

假設(shè)1[12]非線性函數(shù)f(x(t))滿足Lipschitz條件,即存在常數(shù)l>0,使得:

(6)

并且滿足f(0)=0.

2 主要結(jié)果

定理1對(duì)于故障閉環(huán)系統(tǒng)(式(3)),如果存在正定對(duì)稱矩陣X和矩陣Y,對(duì)于給定的常數(shù)l>0,εi>0(i=1,2,…,n+2),滿足矩陣不等式:

(7)

證明:選取Lyapunov函數(shù)為:

(8)

式中:P>0;Qi(i=1,2,…,n)待求.

沿故障閉環(huán)系統(tǒng)(式(3))對(duì)V(x(t),t)求導(dǎo)可得:

wT(t)DTPx(t)+xT(t)PDw(t)+fT(x(t))Px(t)+

(9)

根據(jù)引理1可得:

(10)

同理可得:

wT(t)DTPx(t)+xT(t)PDw(t)≤

(11)

再由引理1和假設(shè)1可得:

fT(x(t))Px(t)+xT(t)Pf(x(t))≤

(12)

(13)

根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論知,只要式(14)成立:

(14)

則故障閉環(huán)系統(tǒng)(式(3))漸進(jìn)穩(wěn)定.將(14)式分別左乘、右乘diag(P-1,P-1),并令X=P-1,Y=KX,再根據(jù)舒爾補(bǔ)性質(zhì)可知其與式(7)等價(jià),從而定理1得證.

定理2對(duì)于故障閉環(huán)系統(tǒng)(式(3))和性能指標(biāo)(式(4)),如果存在正定對(duì)稱矩陣X和矩陣Y,對(duì)于給定的常數(shù)l>0,εi>0(i=1,2,…,n+2),以及正定對(duì)稱加權(quán)矩陣Q和R滿足矩陣不等式:

(15)

證明:與定理1證明過(guò)程類似,選取Lyapunov函數(shù)為:

V(x(t),t)=xT(t)Px(t)+

(16)

式中P>0.由定理1證明過(guò)程可知,沿故障閉環(huán)系統(tǒng)(式(3))對(duì)V(x(t),t)求導(dǎo),并根據(jù)引理1和假設(shè)1可得:

(17)

如果式(18)成立:

xT(t)[(A+BFK)TP+P(A+BFK)+

(18)

則有:

(19)

成立.根據(jù)定理1的證明過(guò)程易證式(15)成立等價(jià)于式(18)成立.根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論可知,故障閉環(huán)系統(tǒng)(式(3))漸進(jìn)穩(wěn)定.

進(jìn)一步,對(duì)式(19)兩邊對(duì)時(shí)間t從0到∞積分,并利用系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定性,可得:

(20)

即滿足J≤J*,定理2得證.

3 仿真研究

考慮形如式(1)的非線性多狀態(tài)時(shí)滯系統(tǒng),取:

定理1中取:

n=2,ε1=ε2=ε3=ε4=l=1,

利用Matlab軟件LMI工具箱求解式(7)可得:

同樣地,定理2中取:

n=2,ε1=ε2=ε3=ε4=l=1,

利用Matlab軟件LMI工具箱求解式(15)可得:

J*=2.122 6

根據(jù)上述結(jié)果在Simulink中建模仿真,設(shè)t<0時(shí),x(t)=φ(t)=0,選取x0=[1,-0.5]T,分別得到定理1和定理2對(duì)應(yīng)的狀態(tài)響應(yīng)曲線.

圖1為無(wú)性能指標(biāo)約束時(shí)系統(tǒng)發(fā)生F1故障及正常工作時(shí)狀態(tài)x1、x2的響應(yīng)曲線.由圖1(a)和圖1(b)的仿真曲線可見(jiàn),系統(tǒng)發(fā)生執(zhí)行器故障F1時(shí),狀態(tài)x1、x2分別在t=2 s、t=5 s時(shí)達(dá)到漸進(jìn)穩(wěn)定,并且與執(zhí)行器正常工作時(shí)的狀態(tài)響應(yīng)曲線幾乎趨于一致,誤差值較小.

(a) 無(wú)性能指標(biāo)約束時(shí)狀態(tài)x1的響應(yīng)曲線

(b) 無(wú)性能指標(biāo)約束時(shí)狀態(tài)x2的響應(yīng)曲線

圖2為有性能指標(biāo)約束時(shí)系統(tǒng)發(fā)生F1故障及正常工作時(shí)狀態(tài)x1、x2的響應(yīng)曲線.在考慮二次型性能指標(biāo)(式(4))約束的情況下,由圖2的仿真曲線可見(jiàn),狀態(tài)x1、x2分別在t=2 s、t=3 s時(shí)達(dá)到漸進(jìn)穩(wěn)定,并且與執(zhí)行器正常工作時(shí)的狀態(tài)響應(yīng)曲線

(a) 有性能指標(biāo)約束時(shí)狀態(tài)x1的響應(yīng)曲線

(b) 有性能指標(biāo)約束時(shí)狀態(tài)x2的響應(yīng)曲線

也幾乎趨于一致,誤差值較小.

綜上,定理1和定理2給出的容錯(cuò)控制器和容錯(cuò)保性能控制器設(shè)計(jì)方法可以同時(shí)保證執(zhí)行器有故障和無(wú)故障情況下系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定性,而且收斂速度較快,誤差值較小,說(shuō)明本文所設(shè)計(jì)的容錯(cuò)控制器及容錯(cuò)保性能控制器具有較好的容錯(cuò)效果.

4 結(jié)語(yǔ)

本文同時(shí)考慮了非線性、多時(shí)滯、執(zhí)行器故障及性能指標(biāo)的約束等問(wèn)題,針對(duì)一類具有多個(gè)狀態(tài)時(shí)滯的Lipschitz非線性連續(xù)系統(tǒng),設(shè)計(jì)了系統(tǒng)執(zhí)行器發(fā)生故障時(shí)的容錯(cuò)控制器和容錯(cuò)保性能控制器.基于線性矩陣不等式方法給出了故障閉環(huán)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定的充分條件,并利用Lyapunov穩(wěn)定性理論證明了故障閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性,所設(shè)計(jì)的容錯(cuò)控制器和容錯(cuò)保性能控制器不僅可以同時(shí)保證執(zhí)行器正常工作和發(fā)生故障情況下系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定,且收斂速度快.通過(guò)具體數(shù)值算例驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)的容錯(cuò)控制器和容錯(cuò)保性能控制器具有較好的容錯(cuò)效果.