王煒彤，楊健，郭曉冉，劉魯濤

1 哈爾濱工程大學 信息與通信工程學院, 黑龍江 哈爾濱 150001

2 先進船舶通信與信息技術工業(yè)和信息化部重點實驗室, 黑龍江 哈爾濱 150001

3 北京遙感設備研究所, 北京 100854

4 中國人民解放軍32181部隊, 河北 石家莊 050000

0 引 言

陣列信號處理主要是利用信號的空域特性來增強信號及有效提取信號空域信息[1-2]。極化敏感陣列本質上是一種矢量天線陣列[3-4]，它不僅可以利用信號源的空域信息，還能夠獲取信號源的極化域信息，這種多維參數的獲取能力為提高陣列信號處理的整體性能奠定了物理基礎[5-6]。然而，增加的信息量也導致了運算復雜度和硬件成本的提高。根據文獻[7]可知，全電磁矢量傳感器由3個電偶極子和3個磁環(huán)共點正交而成，其能夠感知完整的電磁矢量信息。而在實際應用中，為降低硬件和計算的復雜度，可以去除全電磁矢量傳感器中的某些電磁感應單元，得到殘缺的低維電磁矢量天線，例如，三極子天線和由同點配置且相互正交的一對偶極子天線所組成的正交偶極子陣列。近年來，針對基于偶極子組成的極化敏感陣列的研究備受關注，其中囊括了由若干個極化選擇特性不盡相同的天線單元組成的極化敏感陣列[8]。文獻[9]提出了基于正交偶極子L形陣列的二維波達方向（direction of arrival, DOA）和極化參數聯(lián)合估計方法，并采用降維多重信號分類（multiple signal classification，MUSIC）算法顯著降低了計算復雜度。文獻[10]通過交叉偶極子組成的稀疏平面陣有效實現了信號的二維DOA估計，在保證估計精度的條件下，兼具了低互耦的優(yōu)勢。

傳統(tǒng)的信號處理過程中除需要解決信號多維參數的獲取問題外，通常還需要面臨奈奎斯特采樣（Nyquist sampling）定律的限制。而壓縮感知（也稱壓縮采樣）（compressive sensing, CS）技術使得低于奈奎斯特采樣速率的信號恢復成為可能，故也逐漸被應用于DOA估計和許多相關系統(tǒng)中[11-12]。基于壓縮感知技術的DOA估計結構可以在保證估計精度的同時降低系統(tǒng)復雜度，所以具備節(jié)約硬件成本的優(yōu)點。壓縮感知的核心思想就是通過在接收信號處理前端鏈路系統(tǒng)中插入組合網絡，引入一個用于線性運算的壓縮感知矩陣，以此壓縮待處理數據的維度，從而降低系統(tǒng)復雜度和硬件成本。其中，壓縮矩陣中的各項通常是從獨立同分布（independently identically distribution）的參數中隨機選取的。因此，為了盡可能避免維度壓縮帶來的信息損失，文獻[12-15]提到了利用多種方法優(yōu)化壓縮矩陣。近年來，壓縮感知技術在單比特量化[16]、調制寬帶轉換器[17]和多輸入多輸出（multiple-input multiple-output, MIMO）雷達[18]中得到了廣泛應用。

然而，不論是由何種極化選擇特性的天線組成的極化敏感陣列，在使接收信息多元化的同時，也會導致接收數據的維度復雜化，這無疑增加了很多運算量?，F有的理論研究大多是利用降維方法（例如MUSIC算法[19]及相關優(yōu)化算法[20]）將DOA參數與極化參數進行剝離處理，這種方法在標量信號處理中展現出了較好的估計性能。

針對矢量陣列信號處理領域的問題，本文將提出一種可壓縮的正交偶極子陣列結構模型，基于此模型，分析估計降維參數的方法。該方法的核心原理是在天線輸出端插入由移相器和累加器組成的組合網絡來壓縮接收信號的維度，利用降維的MUSIC算法對信號參數進行聯(lián)合估計，以進一步降低算法復雜度，實現高精度的DOA和極化參數的估計。最后，通過仿真實驗對本文所提方法進行驗證。

1 陣列模型

1.1 極化敏感陣列接收模型

如圖1所示，考慮分布于y軸上的L陣元均勻線陣，陣元為內部分量均指向所在坐標軸正方向的正交偶極子陣列（由十字交叉粗線表示）。圖中，θ和φ分別為信號方位角及俯仰角，L表示陣元數量，l=1,2,···,L。

圖1 正交偶極子均勻線陣Fig.1 Orthogonal dipole uniform linear array

假設存在K個遠場入射窄帶完全極化的信號由箭頭方向入射，令第k個入射信號的DOA分別為θk和φk（其中，θk為信號方 位角，φk為信號俯仰角），極化參數（極化輔助角和極化相位差）分別為γk∈[0,π/2]和ηk∈[0,2π]。為便于分析和推導，假設入射信號與均勻線陣同在yOz平面內。令陣元噪聲均為高斯白噪聲，且與各入射信號均統(tǒng)計獨立，令Lo=2L，表示接收數據矢量維度，其中下標o代表正交矢量矩陣，則接收數據矢量x(t)表示為

式中：sK(t)表 示K個信號 的 復 包 絡；s(t)為發(fā)射信

式中： [·]T表示向量轉置；uk,l為 第l個陣元處的第k個入射信號的空間相位因子；d為陣元間距；λ為入射信號波長；hγk,ηk為信號的極化矢量，且

當傳感器陣元為正交偶極子時，矩陣 Ξθk,φk表示為

式（5）矩陣中，各項元素只與每個信號的DOA有關，與物理陣元的位置無關。

1.2 基于壓縮感知的極化敏感陣列接收模型

本文提出的壓縮陣列結構是在空間域中應用壓縮感知思想，將陣元數較多的陣列壓縮或轉換成通道數少得多的陣列，從而可以極大地降低硬件的復雜度（即減少前端鏈路數量）和軟件復雜度（即降低DOA估計算法中的計算量），同時仍保持較高的估計性能。如圖2所示，表示L維（微波通道數）的信號矢量[z1(t),z2(t),···,zL(t)]經過組合網絡后被壓縮為M維（壓縮通道數）的信號矢量[z?1(t),z?2(t),···,z?M(t)]，φ11,···,φML分 別 為 壓 縮 過 程中產生的相移。

圖2 數據壓縮結構示意圖Fig.2 Schematic diagram of data compression structure

利用數據壓縮結構的模型實現方法如下：

在極化敏感陣列接收部分的射頻前端插入一個組合模塊，對Lo維的接收信號矢量進行維度壓縮，令前端鏈路壓縮通道數為M，且滿足M

定義壓縮感知矩陣 Φ∈CM×Lo，用于表征組合模塊的壓縮性能， CM×Lo表 示矩陣維度為M×Lo。因Φ將同時作用于接收信號的信號分量和噪聲分量，故假設Φ滿足行正交矩陣的條件，即ΦΦH=IM， （ [·]H代 表矩陣的共軛轉置，IM表 示M×M的單位陣），以避免噪聲子空間擴散到信號子空間[21]，并進一步假設壓縮過程中未引入額外噪聲。值得注意的是，這種數據壓縮操作會導致費希爾信息矩陣（Fisher information matrix, FIM）損失，當接收陣列為均勻線陣時，這種信息損失可以用(L?M)/L來量化。為了盡可能避免此類信息的丟失，文獻[13-14]提出采用多種基于均勻接收陣列的壓縮矩陣進行優(yōu)化設計的理論和思想，但因本文旨在提出的是基于壓縮感知的正交偶極子陣列結構，并研究基于此結構的DOA及極化參數估計方法，故對于上述理論和思想在此不作贅述。圖3所示為本文提出的基于壓縮感知的極化敏感陣列結構示意圖。

圖3 基于壓縮感知的正交偶極子陣列結構示意圖Fig.3 Schematic diagram of data compression based on orthogonal dipole array structure

圖3中，K個完全極化信號分別由s1(t),s2(t),···,sK(t)表示，L個正交偶極子陣元的接收信號分別表示為x1(t),x2(t),···,xLo(t)，則y1(t),y2(t),···,yM(t)表示經過壓縮后得到的M個通道的信號。如圖3所示，當正交偶極子分別指向x，y軸正方向時，對于擺放在y軸上的正交偶極子均勻線陣，其陣列接收模型可以表示如下：

式中：n(t)=Φnˉ(t)，為壓縮后的噪聲矩陣。經維度壓縮后的M維陣列輸出協(xié)方差矩陣Ryy可以表示為：

式中：Rss為 信號協(xié)方差矩陣；σ2n為噪聲方差；IL為L維單位陣。

在實際應用中，需要計算陣列的樣本協(xié)方差矩陣如下：

式中，y(t)為 獨立快拍數T下的樣本信號矢量，當T趨近于∞時，R?yy與Ryy的誤差趨近于0。

2 降維MUSIC算法

2.1 信號DOA估計

對陣列輸出協(xié)方差矩陣進行特征分解，得到

式中：Λs和 Λn分 別為對角線元素為K個大特征值和M?K個小特征值的對角陣；與之對應，Us和Un為由特征值和小特征值對應的特征矢量分別張成的子空間（即Us為 信號子空間，Un為噪聲子空間）。已知，Us與接收信號的導向矢量張成的空間可視為同一空間，而Un與信號子空間相互正交。利用子空間的正交特性，則有

為便于表示與計算，令DΦHUnUΦDθk,φk?H(θk,φk)， 進一步簡化表示為Hθk,φk，從而推導出存在如下關系：

將極化MUSIC空間譜表示為

由此，可得到極化信號的DOA估計值。

2.2 極化參數估計

由式(9)所示關系發(fā)現，可以通過解決以下優(yōu)化問題實現信號的極化參數估計。

根據2.1節(jié)所述，因已完成信號的DOA估計，則對極化參數的估計問題可轉化為求解固定的 θ和φ ， 即能夠使目標函數J(θ,φ,γ,η)達到最小值的γ和η分別為多少。進一步地，由式(3)可知hHγ,ηhγ,η=1， 則上述問題又可化簡為在hhγ,η=1條件約束下MUSIC譜函數的最小值對應的點，即求解hHγ,ηH(θ,φ)hγ,η的最小值。最終，上述問題被歸納為一個約束最優(yōu)化的問題。下面利用拉格朗日乘數法降維。

首先，構造如下代價函數：

由此可見，在hhγ,η=1的 約束下，hH(θ,φ)hγ,η的最小值應為 min(λ) ，當λ為H(θ,φ)的最小廣義特征值

然時后，h，γ,η令 則 矩為 陣λ對束應P的θ,φ廣={義H特(θ,征φ)向,D量。Dθ,φ}，則 對于已得到的DOA估計值，J(θ,φ,γ,η)的條件最小值為Pθ,φ的最小廣義特征值，即存在如下關系：

式中， ?min(·) 和 ??min分別為矩陣束的最小廣義特征值及其所對應的廣義特征向量。根據信號極化矢量定義，結合式(16)，可得信號極化參數的確定公式如下：

由式（18）和式（19）不難發(fā)現，盡管引入了極化信息γ和η，但在信號參數的估計過程中仍然通過降維方法避免了高維度的空間譜搜索，并進一步減少了運算量。

3 算法仿真與分析

為便于計算和陣列結構的對比分析，本節(jié)選取10陣元（L=10）的正交偶極子陣列為接收陣列，接收數據矢量維數Lo=2L=20。其中，陣元間距d=λ/2 ，壓縮通道數M=12。仿真中的信噪比SNR=10 dB，獨立快拍數T=1 000。

3.1 信號參數估計

鑒于線陣列無法進行二維信號參數的估計，故不失一般性地將信號方位角設置為 θk=π/2，如此，可將信號DOA限制在yOz平面上。在設置空間中有6個遠場非相干完全極化的入射信號，令各信號俯仰角φk、極化輔助角γk和極化相位差ηk分 別在 [10?,50?]， [15?,75?]和 [30?,300?]范 圍 內 均勻分布，極化MUSIC空間譜的譜峰搜索以 0.05?為步進。信號譜峰的搜索結果和極化參數估計結果分別如圖4(a)和圖4 (b)所示。

由圖4可知，對于非相干的極化信號，本文所提出的結構和算法可以給出正確的信號參數估計結果，且空間譜譜峰尖銳。

圖4 信號參數聯(lián)合估計結果Fig.4 Joint estimation results of signal parameters

3.2 均方根誤差（RMSE）

為進一步分析所提出結構的估計精度，將其與其他結構進行對比。設置對比陣列：

1） 將前文中設置的L=10的正交偶極子均勻線陣，Lo=2L=20 ，壓縮通道數M=12，記為本文所提結構；

2） 將L=10 的 正交偶極子均勻線陣，Lo=2L=20，不經過維度壓縮，記為結構1；

3）將L=6 的正交偶極子均勻線陣，Lo=2L=12，不經過維度壓縮，記為結構2。

以上兩種對比結構除均不經過維度壓縮外，其他仿真條件與3.1節(jié)一致。經過200次蒙特卡羅方法的實驗，得到如圖5所示信號參數估計的均方根誤差隨信噪比變化的曲線。

圖5 信號參數估計性能隨信噪比變化Fig.5 Variation of performance estimation of signal parameters with SNR

在快拍數保持恒定的情況下，隨著信噪比的增加，對于俯仰角φk、極化輔助角γk及 極化相位差ηk的估計誤差均呈現越來越小的趨勢，即估計性能隨著信噪比的增加而提高。估計精度最高的陣列結構是結構1，因為它在圖中3種陣列結構中擁有最多的通道數，同時也意味著其計算復雜度最高。雖然結構1和本文所提結構都具有10個正交偶極子陣列，但是，壓縮感知技術的應用在降低了接收數據維度的同時，也不可避免地造成部分信息的丟失，從而在一定程度上導致了估計性能的下降。然而，當通道數同為6時，本文所提結構的估計精度要明顯高于結構2，且在信噪比高于10 dB時，俯仰角的估計均方根誤差低于0.05°。這證明了在盡量降低計算復雜度的條件下，本文所提結構確實具有較好的估計性能。

4 結 語

本文提出了一種基于壓縮感知的正交偶極子極化敏感陣列結構，基于所構建的結構模型，通過降維MUSIC算法，成功實現了對極化信號DOA和極化參數的聯(lián)合估計。通過仿真實驗對比，結果表明，在通道數相同的條件下，相比于未經壓縮的正交偶極子均勻線陣結構，本文所提結構能夠獲得更高的參數估計精度。對于物理陣元數相同的陣列結構而言，本文所提結構利用了壓縮感知技術，使得通道數更少，故以犧牲一定估計精度為代價獲得了更低的運算復雜度。