梁 娟，張 偉，楊煥青，馬慧蓮

（1.太原工業(yè)學(xué)院理學(xué)系，山西太原 030008;2.山西大學(xué)復(fù)雜系統(tǒng)研究所，山西太原 030006）

2019 年12 月爆發(fā)的新型冠狀病毒，是一種冠狀病毒。新冠肺炎被認(rèn)為是一種與SARS 病毒不同的冠狀病毒，它可能是通過蝙蝠或其他宿主傳播的，而突變賦予了它感染人類的能力[1]。為控制疫情的繼續(xù)蔓延，中國政府于2020 年1 月23 日對武漢采取了封城舉措，全國控制人口流動，這有效的減緩了疾病的發(fā)展態(tài)勢[2]。2019 年12 月12 日，中國衛(wèi)生健康委員會在武漢確診的第一例冠狀病毒感染以來，至2020 年3 月16 日，中國共確診病例81 000 余例。而世界100多個國家現(xiàn)在也面臨著挑戰(zhàn)，并以每日數(shù)千的病例增加。該冠狀病毒的傳播性和危害性已經(jīng)嚴(yán)重影響到了人類的安全。對該病毒的研究和預(yù)測已尤為重要。

為了更好地控制和預(yù)測新型冠狀病毒的傳播，國內(nèi)外很多科研工作者已經(jīng)對該病有了很多研究。Chinazzi 等人使用一個全球超人口疾病傳播模型來預(yù)測旅行限制對該病毒在國內(nèi)和國際傳播的影響。研究表明，在武漢的旅游禁令開始時，中國大多數(shù)城市已經(jīng)有了受感染的人群，中國大陸的整體疫情進(jìn)展推遲了3～5d，在國際范圍內(nèi)的影響更為明顯[3]。一些建模工作者給出了新的模型預(yù)測疾病的流行勢態(tài)[4]。黃森忠等提出了符合實際的SEIR模型，并通過模型對COVID-19進(jìn)行了預(yù)測，同時評估了控制策略的效率[5]。將干預(yù)效果進(jìn)行參數(shù)化加入模型中，更有助于對疾病的預(yù)測[6]。一些學(xué)者根據(jù)流行病學(xué)分析方法將2019 年的新冠肺炎與2003 年的SARS 做了比較，建立了多元函數(shù)模型，得到了新冠肺炎的致死率要低于SARS、發(fā)病主要集中在30～50 歲之間的結(jié)論。

自新冠肺炎疫情暴發(fā)以來,中國政府全力抗擊疫情,使得新冠疫情在我國得到了有效的控制。主要考慮居家隔離對新型冠狀病毒傳播的影響。以上海市為例，研究了新冠肺炎疫情在上海市的傳播動力學(xué)。通過運用最小二乘法對SEIR模型中的傳染率系數(shù)進(jìn)行了參數(shù)估計，并對基本再生數(shù)進(jìn)行了靈敏度分析。對研究疾病發(fā)展和控制病毒傳播給出了一定的理論指導(dǎo)，同時也證明了我國政府在抗擊疫情中采取的正確有效的措施。

1 動力學(xué)模型構(gòu)建

主要考慮到COVID-19 通過人與人之間傳播，且該病潛伏期具有傳染性。將人群分為兩大部分：一部分為“出門的人群”（活躍度較高的人群即活躍態(tài)的人群），S1(易感者)，E1(處于潛伏期的人群),I1(染病人群)；另一部分為“居家自行隔離的人群”(活躍度較低的人群即隔離狀態(tài)的人群)，S2，E2，I2。R為移出的總的活躍人群與不活躍人群。模型假設(shè)如下：

(1)主要考慮采用居家隔離措施對新型冠狀病毒傳播的影響，不考慮自然出生和死亡；

(2)假設(shè)S2只要處于“隔離”狀態(tài)就不會被傳染。

根據(jù)以上分析，我們給出了這幾類人群的倉室流程圖，如圖1所示。

圖1 疾病傳播流程圖

動力學(xué)模型

其中β1為潛伏期的傳染率；β2為染病者的傳染率；α為潛伏率，1/α為潛伏期；γ為移出率；m為從活躍度較高的人群進(jìn)入活躍度較低的人群的轉(zhuǎn)化率；p為活躍度較低的人群進(jìn)入活躍度較低的人群轉(zhuǎn)化率.以上考慮的時間都以天為單位。

定理1設(shè)系統(tǒng)(1)的初始條件S1（0），S2（0），I1（0），I2（0），E1（0），E2（0）,R（0）為非負(fù)的，則?t＞0，系統(tǒng)(1)的解的正不變集和吸引域為Γ={(S1,S2,…,R) ∈R+|0≤S1,S2…,R,S1+S2+…+R≤N}。

證明將(1)的7個方程相加得

可知N為常數(shù)，即總?cè)丝诒３植蛔儭亩?S1+S2+…+R)≤N。

因此，具有非負(fù)初始條件的系統(tǒng)(1)的解將始終在集合Γ中。給出基本再生數(shù)R0[7]

將無病平衡點帶入(2)式可求Jacobian矩陣為：

通過計算，得到基本再生數(shù)為：

2 主要結(jié)果

2.1 參數(shù)估計

以上海市為例，對模型(1)進(jìn)行了參數(shù)估計。該市于2020 年1 月20 日出現(xiàn)感染者病例，考慮到正值春節(jié)前夕，絕大部分人處于非隔離階段。分如下幾步將模型中初值和參數(shù)的數(shù)據(jù)給出：

(I) 根據(jù)上海市衛(wèi)健委數(shù)據(jù)可知，在1 月20 日首次出現(xiàn)兩例病例，過五天后即1 月24 日為除夕，所以平均5d 后進(jìn)入不活躍狀態(tài)，但在其中部分人有工作的需要，假設(shè)有60%的人居家隔離，所以m=1/5*0.6=0.12。根據(jù)當(dāng)時數(shù)據(jù)得，一個多月后上海市沒有新增病例（除國外輸入），基本解除隔離，在不活躍人群平均停留時間為40 d，所以p=1/40。

(II) 上海市人口共有24 237 800 人（數(shù)據(jù)來源上海市統(tǒng)計局），根據(jù)上述分析，居家隔離比例為m=0.12，所以S2=24 237 800 × 0.12=2 908 536。

(III)根據(jù)中國疾控中心文件《新型冠狀病毒肺炎公眾防護(hù)指南》(第二版)，潛伏期為1～14 d，多為3～7 d，我們?nèi)? d，則α=1/3。根據(jù)上海市衛(wèi)健委數(shù)據(jù)，第二天的確診累積病例有9例，第三天的確診累積病例有16例，所以潛伏期的人數(shù)不超過16，但多余9。假設(shè)潛伏 期人數(shù) 為10，其中E1=5，E2=5。因此，S1=24237800 -2908536 -10 -1=21329 252。

為了估計模型(1)中的參數(shù)β1和β2，通過最小二乘估計對上海市2020 年1 月20 日-2020 年2 月19 日的染病者累計確診人數(shù)進(jìn)行了擬合（含外來人口，不含境外輸入）并對2020年2月20日-2020年3月14日累計病例數(shù)進(jìn)行預(yù)測。上海市累計確診人數(shù)的擬合結(jié)果和預(yù)測結(jié)果由圖2 給出。從圖2 可以看出，模擬結(jié)果符合真實的數(shù)據(jù)走勢，說明所研究的模型以及通過擬合得到的參數(shù)值可以較好的反應(yīng)真實的疾病發(fā)展態(tài)勢。同時從該圖可以得到，在30 d 后，疾病預(yù)測結(jié)果與實際相符。累積病例數(shù)并無增長，表明了疾病得到了較好控制。

圖2 上海市累計確診病例擬合結(jié)果與累積確診病例的預(yù)測結(jié)果

2.2 對各參數(shù)的靈敏度分析

進(jìn)行靈敏度分析，以確定對基本再生數(shù)影響較大的參數(shù)[8-9]。使用Matlab 軟件，計算了R0和參數(shù)之間的偏秩相關(guān)系數(shù)(PRCC)和對應(yīng)值。偏秩相關(guān)系數(shù)(PRCC)反映在控制其他變量時，兩變量之間的相關(guān)關(guān)系，其計算公式如下：

圖3 給出了模型(1)中各個參數(shù)與R0的相關(guān)性。通過圖3 可以看出，影響疾病傳播較大的參數(shù)有m，α，β1和β2，且參數(shù)m的影響最大。參數(shù)β1和β2對R0有正的影響，說明隨著β1和β2的增加，R0會增加。反之，m和α對R0有負(fù)的影響，即隨著m和α的增加，R0會減少[10]。通過靈敏度分析，得出結(jié)論

圖3 模型（1）中各個參數(shù)與基本再生數(shù)的相關(guān)性

(1)盡量增大參數(shù)m的值，擴(kuò)大“不活躍人群”的比例，即采取居家隔離，減少社交活動等措施是最有效的控制新型冠狀病毒的措施之一。

(2)盡量降低傳染率β1和β2，避免與感染者和潛伏者的有效接觸。本著“早發(fā)現(xiàn)早隔離”的原則，盡量切斷傳染源是降低傳染率的有效方法。比如，可以通過外出戴口罩降低有效接觸。

3 結(jié)論

通過考慮帶有居家隔離的SEIR 動力學(xué)模型,以上海市為例，研究了新型冠狀病毒在該地區(qū)的傳播情況。通過數(shù)學(xué)分析，得到了基本再生數(shù)R0。由已有的上海市55 d 的感染者確診病例數(shù)，通過最小二乘法對模型(1)中傳染率進(jìn)行了參數(shù)估計，得到了最優(yōu)的符合實際情形的傳染率。最后將參數(shù)關(guān)于基本再生數(shù)進(jìn)行了靈敏度分析并且模擬了各個參數(shù)對染病者累計確診病例的影響。

模擬結(jié)果發(fā)現(xiàn)，傳染率β1和β2、活躍人群向不活躍人群的轉(zhuǎn)化率m以及潛伏期β1，對疾病傳播有較大的影響。其中，參數(shù)m的影響最大。所以，盡量減少傳染率同時盡量擴(kuò)大不活躍人群的比例是控制疾病的有效方法。所以，在實際中應(yīng)當(dāng)采取居家隔離策略，盡量避免外界接觸，減少社交活動。同時為了降低傳染率，應(yīng)當(dāng)對疾病早發(fā)現(xiàn)早隔離，盡早切斷傳染源。出門帶口罩也可很大程度降低被感染的機(jī)率。

對新冠肺炎疫情的控制提供了一定的指導(dǎo)意義，同時也證明了中國控制疫情采措施的有效性。在新型冠狀病毒傳播的過程中，還會受到很多因素的影響，比如：社交距離、環(huán)境、擴(kuò)散、年齡等[11]。目前，世界很多國家疫情還未得到控制，在未來的工作中，我們會將這些因素加入傳染病模型中，研究它們對疾病的影響，進(jìn)一步探討新型冠狀病毒的傳播動力學(xué)。