袁綺蓉

一、利用數(shù)學(xué)比較，啟發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)理解

鄭毓信教授在其著作《數(shù)學(xué)教師的三項(xiàng)基本功》中指出的基本功之一就是“善于比較與優(yōu)化”。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程就是學(xué)生數(shù)學(xué)理解的過(guò)程，而數(shù)學(xué)理解思維的啟動(dòng)，也需要觸發(fā)點(diǎn)，數(shù)學(xué)比較可以引發(fā)學(xué)生的思考，吸引學(xué)生的注意力，使他們產(chǎn)生強(qiáng)烈的求知欲，成為學(xué)生數(shù)學(xué)理解思維啟動(dòng)的“開關(guān)”。

（一）新舊連接處比較，促進(jìn)遷移

很多新知都是在已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上遷移、類比而來(lái)。所以可以從復(fù)習(xí)舊知自然引出新知，引導(dǎo)學(xué)生在新舊聯(lián)系處進(jìn)行比較，讓學(xué)生在分析、比較、判斷、推理中構(gòu)建新知，促進(jìn)知識(shí)的遷移。

例如，在教學(xué)“認(rèn)識(shí)一個(gè)整體的幾分之一”時(shí)，教師先出示一個(gè)桃子，讓學(xué)生指出它的；再出示一盤桃，也讓學(xué)生指出它的。然后引導(dǎo)學(xué)生比較兩個(gè)有什么聯(lián)系和區(qū)別。通過(guò)比較，學(xué)生打開了理解幾分之一意義的大門。

（二）變與不變間比較，突顯本質(zhì)

例如，為了讓學(xué)生頭腦中形成對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解，在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)可以設(shè)計(jì)比較的過(guò)程。教師出示三幅圖，提出問(wèn)題：“平均分成四份的每份物體的個(gè)數(shù)并不相同，為什么都用四分之一來(lái)表示呢？”然后引導(dǎo)學(xué)生比較：“為什么將同樣數(shù)量的8 個(gè)正方體表示為某一組圖形的各自其中的一份，表示的分?jǐn)?shù)卻不相同？”這樣經(jīng)過(guò)兩次比較，學(xué)生在變與不變中，領(lǐng)悟了分?jǐn)?shù)的意義，讓學(xué)生在比較中把握了知識(shí)的本質(zhì)。

（三）簡(jiǎn)與繁比較，明確方法

例如，在教學(xué)“末尾有0 的兩位數(shù)乘以兩位數(shù)的乘法”時(shí)，教師找兩位學(xué)生板演（一繁一簡(jiǎn)），引導(dǎo)學(xué)生比較他們的做法。

在比較中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩種方法的結(jié)果相同，但其中一種明顯更簡(jiǎn)單。再通過(guò)比較兩種方法的算理，對(duì)于末尾有0 的兩位數(shù)相乘的方法就清晰了。對(duì)本來(lái)簡(jiǎn)單的筆算題，經(jīng)過(guò)比較，學(xué)生不僅明白了“怎樣做”，對(duì)“為什么這樣做”也理解透了。

二、利用數(shù)學(xué)比較，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)理解

比較，簡(jiǎn)單地說(shuō)就是辨別異同，同時(shí)也是確定對(duì)象之間相同和不同的邏輯數(shù)學(xué)理解方法。教師可以用比較的方法，揭示事物的本質(zhì)，理清聯(lián)系和區(qū)別，從而打開學(xué)生的視野和思路，找到解決問(wèn)題的方法，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)理解在比較中點(diǎn)燃，不斷發(fā)展。

（一）同中比異，追根究底

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，經(jīng)常有一些看似相同的題目，但實(shí)際卻完全不同。學(xué)生往往忽略或弄不清，把它們當(dāng)作相同的情況來(lái)處理。這個(gè)時(shí)候，最好的方法就是把這些情況放在一起比較，在比較的過(guò)程中，于相同情況下發(fā)現(xiàn)不同之處，從而辨清知識(shí)的根源，把握關(guān)鍵。例如， “一根繩子長(zhǎng)6 米，用去米，還剩多少米？”和 “一根繩子長(zhǎng)6 米，用去，還剩多少米？”這樣有針對(duì)性地對(duì)比，幫助學(xué)生同中找異、溯本追源，清楚地看到知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)。

（二）異中比同，深化理解

數(shù)學(xué)概念、結(jié)論的獲取往往需要從眾多表象中抽取，運(yùn)用比較，能幫助學(xué)生透過(guò)各種形色各異的外表，直窺問(wèn)題的核心。在比較中，問(wèn)題的外層屬性逐漸剝落，知識(shí)的共性逐漸顯現(xiàn)，學(xué)生對(duì)于問(wèn)題的理解也更加深入。

例如，在教學(xué)工程問(wèn)題時(shí)，先出示“運(yùn)120 噸水泥，甲車要運(yùn)10 小時(shí)，乙車要用15 小時(shí)，兩車合運(yùn)要幾小時(shí)？”再替換條件。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)比較，更加直觀地發(fā)現(xiàn)，雖然情境變了，但隱含的數(shù)量關(guān)系卻相似，解題的思路更是相同。在比較中，學(xué)生在異中找到了同，對(duì)于工程問(wèn)題的核心特征和解題思路、方法逐漸明晰，自主建立解決這類問(wèn)題的策略。

（三）同中比優(yōu)，促進(jìn)優(yōu)化

面對(duì)相同的問(wèn)題，不同的學(xué)生會(huì)產(chǎn)生不同的數(shù)學(xué)理解活動(dòng)，從而產(chǎn)生不同的解決問(wèn)題的方法和策略。在這些不同的方法中，數(shù)學(xué)理解的層次也是不同的。此時(shí)讓學(xué)生進(jìn)行比較，不僅能再次剖析自己的方法，更能從別人的方法中得到啟發(fā)，不斷優(yōu)化自己的方法。例如，二年級(jí)下學(xué)期教學(xué)“統(tǒng)計(jì)”知識(shí)點(diǎn)時(shí)，剛開始學(xué)生收集數(shù)據(jù)的方法很多，在比較中，學(xué)生實(shí)現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)理解的突破，達(dá)到了對(duì)方法的優(yōu)化選擇。

三、利用數(shù)學(xué)比較，放飛學(xué)生數(shù)學(xué)理解

數(shù)學(xué)理解能力是各種能力的核心，學(xué)生的數(shù)學(xué)理解能力與數(shù)學(xué)理解水平的提高，往往要借助數(shù)學(xué)理解的精確性、深刻性與靈活變通性等數(shù)學(xué)理解品質(zhì)來(lái)實(shí)現(xiàn)。比較是一切數(shù)學(xué)理解的基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生充分地運(yùn)用比較的方法去認(rèn)識(shí)、分析和處理問(wèn)題，有意識(shí)地培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)理解品質(zhì)，是提高數(shù)學(xué)教學(xué)效果的重要途徑。在比較中，學(xué)生的數(shù)學(xué)理解經(jīng)歷了從啟動(dòng)到開闊，到靈活，到深入，到提升的過(guò)程。數(shù)學(xué)理解放飛了，就有了真正翱翔的天空。

（一）混淆處比較，讓數(shù)學(xué)理解精確

學(xué)生多次解決某種思想或問(wèn)題，會(huì)留下深刻的印象，形成一定的模式。當(dāng)再次遇見(jiàn)相同問(wèn)題時(shí)，首先考慮的就是用這種模式解題。但其實(shí)多數(shù)時(shí)候問(wèn)題已發(fā)生改變，而學(xué)生渾然不知。知識(shí)的差異性會(huì)被它的相似性和相關(guān)性所掩蓋，所以學(xué)生經(jīng)常發(fā)生混淆。因此，教師引導(dǎo)學(xué)生在知識(shí)的混淆處進(jìn)行比較，不僅有利于區(qū)別各自的內(nèi)涵，也有利于通過(guò)建立知識(shí)之間的聯(lián)系，提高數(shù)學(xué)理解的精確性。例如，學(xué)生學(xué)習(xí)了長(zhǎng)度單位以后，在應(yīng)用這些長(zhǎng)度單位的時(shí)候，特別是毫米、厘米和分米這幾個(gè)比較接近的單位，常常出現(xiàn)混淆。針對(duì)這樣的情況，通過(guò)不斷地比較，可以讓學(xué)生對(duì)這些長(zhǎng)度單位形成準(zhǔn)確認(rèn)知并有效運(yùn)用。在不同維度的比較中，學(xué)生的數(shù)學(xué)理解更加精確。

（二）探究處比較，讓數(shù)學(xué)理解周密

數(shù)學(xué)實(shí)踐證明，學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)出現(xiàn)困難或錯(cuò)誤，原因往往是理解不到位，而理解的不到位就是因?yàn)閷W(xué)生對(duì)于知識(shí)的體驗(yàn)和感悟不到位。在學(xué)生探究活動(dòng)的時(shí)候，讓學(xué)生對(duì)照比較，能促使學(xué)生真正把握知識(shí)要點(diǎn)，數(shù)學(xué)理解也會(huì)在逐層的抽絲剝繭中變得周密。例如，在教學(xué)“一一列舉”時(shí)，讓學(xué)生感受用“列舉”的策略解決問(wèn)題，而不是雜亂地找，要突出“有序”，進(jìn)行有條理的思考。層層的比較，有效實(shí)現(xiàn)了對(duì)“列舉策略”的意義建構(gòu)，數(shù)學(xué)理解也愈加周密了。

（三）聯(lián)系處比較，讓數(shù)學(xué)理解開闊

小學(xué)數(shù)學(xué)中，許多知識(shí)是相通的。當(dāng)遇到問(wèn)題時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生多角度、多方位進(jìn)行思考、比較，找出它們的微妙變化，構(gòu)建知識(shí)間的聯(lián)系并融會(huì)貫通，擴(kuò)大知識(shí)面。通過(guò)這樣的比較，學(xué)生的數(shù)學(xué)理解也會(huì)不斷地開闊起來(lái)。例如，數(shù)學(xué)中最常見(jiàn)的一題多解，就可以在不同解法的比較中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)理解的靈活性和開放性，使學(xué)生的數(shù)學(xué)理解不斷開闊。

（四）爭(zhēng)議處比較，讓數(shù)學(xué)理解深刻

在教學(xué)中，學(xué)生對(duì)知識(shí)的獲取是逐步深入的，甚至是在不斷的爭(zhēng)議中，愈加迫近概念的核心和本質(zhì)。設(shè)計(jì)具有思考性的問(wèn)題情境，讓學(xué)生進(jìn)行觀察和比較，學(xué)生在比較中能點(diǎn)燃數(shù)學(xué)理解的火花，激發(fā)對(duì)知識(shí)的探究欲望，提高數(shù)學(xué)理解的層次。例如，在讓學(xué)生探究三角形三邊關(guān)系時(shí)，對(duì)于用小棒沒(méi)有圍成三角形的小組，教師指導(dǎo)他們從現(xiàn)象中找原因：“什么樣的情況下三根小棒圍不成三角形？”在這個(gè)探究活動(dòng)的過(guò)程中學(xué)生在爭(zhēng)議中比較。學(xué)生的數(shù)學(xué)理解從具體形象數(shù)學(xué)理解引向抽象邏輯數(shù)學(xué)理解，進(jìn)而更在小組交流匯報(bào)中，通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)來(lái)填補(bǔ)自己認(rèn)知的空隙，提升數(shù)學(xué)理解的能力和品質(zhì)。在整個(gè)過(guò)程中，在爭(zhēng)議比較中，學(xué)生親歷了數(shù)學(xué)知識(shí)的探究與發(fā)現(xiàn)，更重要的是接受了一次嚴(yán)密的邏輯和數(shù)學(xué)理解的訓(xùn)練，數(shù)學(xué)理解走向深入。

總之，“比較”是學(xué)生數(shù)學(xué)理解的頓悟、辨別、飛躍，數(shù)學(xué)需要比較，學(xué)生需要學(xué)會(huì)運(yùn)用比較，并在比較中發(fā)現(xiàn)異同、揭示規(guī)律、構(gòu)建知識(shí)體系，促進(jìn)自身數(shù)學(xué)理解能力的發(fā)展，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)理解閃耀數(shù)學(xué)素養(yǎng)的光芒。