吳 婷

（閩南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,福建 漳州 363000）

1985年,Doignon 和Falmagne 在文獻(xiàn)[1-2]中提出了用來(lái)知識(shí)評(píng)估和輔助學(xué)習(xí)的知識(shí)空間理論.在知識(shí)空間的理論中,pre-拓?fù)鋄3]又稱為知識(shí)空間.事實(shí)上,pre-拓?fù)渑cCsászár[4]提出的強(qiáng)廣義拓?fù)涫窍嘁恢碌?2005年,李進(jìn)金[5-6]研究了pre-拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).隨后,劉德金等[7-12]研究了pre-拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的一些拓?fù)湫再|(zhì).2021年,林福財(cái)?shù)萚13]較系統(tǒng)的研究了pre-拓?fù)淇臻g的性質(zhì).目前,關(guān)于pre-拓?fù)淇臻g的研究已經(jīng)取得了一些較好的結(jié)果.

20世紀(jì)以來(lái),代數(shù)與拓?fù)溥@兩個(gè)數(shù)學(xué)分支不斷地互相滲透,逐步形成了一個(gè)新的分支——拓?fù)浯鷶?shù).拓?fù)淙菏峭負(fù)浯鷶?shù)的重要研究?jī)?nèi)容之一,pre-拓?fù)淙鹤鳛橥負(fù)淙旱耐茝V,研究其性質(zhì)能夠進(jìn)一步豐富拓?fù)浯鷶?shù)的內(nèi)容.在文獻(xiàn)[14]中定義了pre-拓?fù)淙翰⒀芯苛藀re-拓?fù)淙旱囊恍┬再|(zhì),比如:T0的pre-拓?fù)淙菏钦齽t的;其中也給出了pre-拓?fù)淙旱挠喾瓷淙和負(fù)洇?的定義及τ*的基的形式.因此本文在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究,探索了pre-拓?fù)淙?G,τ)與余反射拓?fù)淙?G,τ*)之間的一些拓?fù)湫再|(zhì)關(guān)系,并得到了如下的結(jié)果:

1)(G,τ*)是正則的當(dāng)且僅當(dāng)(G,τ)是正則的.

2)若(G,τ)是第一可數(shù)的,則(G,τ*)是第一可數(shù)的;反之不成立.

3)若(G,τ*)是連通的,則(G,τ)是pre-連通的;反之不成立.

4)若(G,τ*)是Lindel?f的,則(G,τ)是Lindel?f的;反之不成立.

5)若(G,τ*)是可分的,則(G,τ)是pre-可分的;反之不成立.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[1]若集合X的子集的集族τ滿足對(duì)任意的并封閉且X∈τ.特別地,?∈τ.則稱τ是X上的pre-拓?fù)?τ中的元素稱為pre-拓?fù)涞拈_集.

定理1[13]設(shè)B和B′分別是集合X的pre-拓?fù)洇雍挺印涞膒re-基.下列條件等價(jià):

1)τ′細(xì)于τ,即τ?τ′;

2）如果B∈B且x∈B,則存在B′∈B′使得x∈B′?B.

定義2[13]設(shè)X是pre-拓?fù)淇臻g.如果X不能表示為兩個(gè)不相交的非空開子集的并,則稱X是pre-連通空間.

定義3[13]設(shè)X是pre-拓?fù)淇臻g,x∈X.如果對(duì)x的每個(gè)鄰域U,存在x的pre-連通的鄰域V使得V?U,則稱在點(diǎn)x是pre-局部連通的.如果X在它的每一點(diǎn)處是pre-局部連通的,則稱X是pre-局部連通空間.

定義4[14]非空集合G是一個(gè)群同時(shí)又是pre-拓?fù)淇臻g,使得乘法運(yùn)算f(x×y)=x·y是G×G→G的pre-連續(xù)映射且逆運(yùn)算g(x)=x-1是G→G的pre-連續(xù)映射,則稱G為pre-拓?fù)淙?

定理2[14]設(shè)G是pre-拓?fù)淙?若Be是單位元e處的pre-鄰域基,則對(duì)任意g∈G,g處的pre-鄰域基為Bg={gU:U∈Be}或者Bg={Ug:U∈Be}.

定理3[14]T0的pre-拓?fù)淙?G,τ)是正則的.

定義5[14]設(shè)(G,τ)是pre-拓?fù)淙?若τ*是G上比τ細(xì)的最粗的拓?fù)淙和負(fù)?則稱τ*是τ的余反射群拓?fù)?

命題1[14]設(shè)(G,τ)是pre-拓?fù)淙?則集族B={∩F:F ?τe,|F|＜ω}為余反射群拓?fù)洇?中單位元e的一個(gè)開鄰域基.

定理4[15]每一拓?fù)淙菏荰3空間.

命題2[16]離散拓?fù)淇臻gX是可分的當(dāng)且僅當(dāng)|X|≤0.

本文用到的有關(guān)拓?fù)淇臻g、pre-拓?fù)淇臻g中一些未說(shuō)明的定義和術(shù)語(yǔ)讀者可以參考文獻(xiàn)[13,16-17].

2 主要結(jié)果與證明

在文獻(xiàn)[14]中給出了許多pre-拓?fù)淙旱睦?再由命題1有

例1在實(shí)數(shù)集R上賦予加法,使得(R,+)是一個(gè)群,定義R上的pre-拓?fù)洇拥膒re-基為

U={(-∞,a)：a∈R} ∪{(b,+∞)：b∈R},

則(R,+,τ)為pre-拓?fù)淙?(R,+,τ)的余反射群拓?fù)洇?的基為U*={(a,b):a,b∈R}.

例2在群(R,+)上定義pre-拓?fù)洇拥膒re-基為

U={[a,b)：a,b∈R,b＞a} ∪{(b,a]：a,b∈R,b＜a},

則(R,+,τ)是一個(gè)pre-拓?fù)淙?(R,+,τ)的余反射群拓?fù)洇?的基為U*={{a}:a∈R},則余反射拓?fù)淙?R,+,τ*)是不可數(shù)的離散拓?fù)淙?

下面命題說(shuō)明pre-拓?fù)淙旱姆蛛x性與其余反射拓?fù)淙旱年P(guān)系.

命題3pre-拓?fù)淙?G,τ)是T0的當(dāng)且僅當(dāng)余反射拓?fù)淙?G,τ*)是T0的.

證明 必要性對(duì)任意x∈G且x≠e.由pre-拓?fù)淙?G,τ)是T0的,則存在U∈Be使得e?xU,或者存在W∈Be使得x?W.由τ?τ*,則 存在V∈Be

*使得V?U,于是e?xV.或者存在O∈Be*使得O?W,于是x?O.因此,(G,τ*)是T0的.

充分性對(duì)任意x∈G且x≠e.由余反射拓?fù)淙?G,τ*)是T0的,則存在使得e?xU,其中Ui∈Be,n∈N.于是從而存在i≤n使得x?U-1i,即x-1?Ui,所以e?xUi.或者存在W=使得x?W,其中Wi∈Be,n∈N.所以存在i≤n使得x?Wi.因此,pre-拓?fù)淙?G,τ)是T0的.

推論1pre-拓?fù)淙?G,τ)是正則的當(dāng)且僅當(dāng)余反射拓?fù)淙?G,τ*)是正則的.

證明由(G,τ)是正則的,則(G,τ)是T0的.由命題3知:(G,τ*)是T0的.因此余反射拓?fù)淙?G,τ*)是正則的.相反,若(G,τ*)是正則的,則(G,τ*)是T0的.由命題3 知:(G,τ)是T0的.由定理3 知:T0的pre-拓?fù)淙菏钦齽t的,所以(G,τ)是正則.

定義6設(shè)X是pre-拓?fù)淇臻g.如果x∈X且x在X中具有可數(shù)的pre-鄰域基,則稱X在點(diǎn)x處是第一可數(shù)的.若X的每一點(diǎn)是第一可數(shù)的,則稱X滿足第一可數(shù)公理或X是第一可數(shù)空間.

命題4若pre-拓?fù)淙?G,τ)是第一可數(shù)的,則余反射拓?fù)淙?G,τ*)是第一可數(shù)的;反之不成立.

證明若pre-拓?fù)淙?G,τ)是第一可數(shù)的,則(G,τ)在單位元e處具有可數(shù)的pre-鄰域基Be.由命題1 可知,余反射拓?fù)淙涸趩挝辉猠處的鄰域基Be*={∩F:F ?Be,|F|＜ω}.因?yàn)榭蓴?shù)集的有限交仍是可數(shù)集,從而Be*是可數(shù)的,所以余反射拓?fù)淙?G,τ*)是第一可數(shù)的.

相反,設(shè)G=A(X)是非離散的完全正則空間X上的自由群且τ1是其上自由交換拓?fù)淙和負(fù)?由文獻(xiàn)[18]可知,交換群G=A(X)存在拓?fù)淙和負(fù)洇?使得τ1和τ2分別存在單位元e的一個(gè)開鄰域U1和U2滿足U1∩U2={e}.由文獻(xiàn)[15]知τ1不是第一可數(shù)的,于是pre-拓?fù)淙和負(fù)洇?∪τ2不是第一可數(shù)的.但余反射群拓?fù)洇?是離散的,從而是第一可數(shù)的.

命題5若余反射拓?fù)淙?G,τ*)是連通的,則pre-拓?fù)淙?G,τ)是pre-連通的;反之不成立.

證明若(G,τ)不是pre-連通的,則τ中存在既開且閉的非空真子集A.由τ?τ*,集合A也為τ*中既開且閉的非空真子集,這與(G,τ*)是連通的矛盾.所以pre-拓?fù)淙?G,τ)是pre-連通的.

反之,由文獻(xiàn)[18]知基數(shù)為c的Boolean 群G上存在兩個(gè)連通的可度量化群拓?fù)洇?和τ2使得τ1和τ2分別存在單位元e的一個(gè)開鄰域U1和U2滿足U1∩U2={e}.顯然,τ1∪τ2是pre-連通的pre-拓?fù)淙和負(fù)?但因?yàn)棣?是離散的,所以余反射群拓?fù)洇?不是連通的.

命題6存在余反射拓?fù)淙?G,τ*)是局部連通的,但pre-拓?fù)淙?G,τ)不是pre-局部連通的.

證明例2 中,余反射拓?fù)淙?R,+,τ*)是離散拓?fù)淙?從而是局部連通的.但(R,+,τ)不是pre-局部連通的.事實(shí)上,對(duì)任意x∈R,存在x的一個(gè)開鄰域[a,b)使得對(duì)x的任意包含于[a,b)的鄰域[c,d)或者(c,d]都是(R,+,τ)中既開且閉的真子集.因此,(R,+,τ)不是pre-局部連通的.

定義7設(shè)X是pre-拓?fù)淇臻g.如果X的每個(gè)開覆蓋都有有限子覆蓋,則稱X是pre-緊空間.

命題7若余反射拓?fù)淙?G,τ*)是緊的,則pre-拓?fù)淙?G,τ)是pre-緊的.

證明設(shè)A為pre-拓?fù)淙?G,τ)的一個(gè)開覆蓋.由τ?τ*,則A也為(G,τ*)的一個(gè)開覆蓋.由(G,τ*)是緊的,則A具有有限子覆蓋.所以(G,τ)是pre-緊的.

問(wèn)題1是否存在pre-拓?fù)淙?G,τ)是pre-緊的,但余反射拓?fù)淙?G,τ*)不是緊的?

定義8設(shè)X是pre-拓?fù)淇臻g.如果每一點(diǎn)x∈X具有一個(gè)pre-緊的鄰域,則稱X是pre-局部緊空間.

命題8存在余反射拓?fù)淙?G,τ*)是局部緊的,但pre-拓?fù)淙?G,τ)不是pre-局部緊的.

證明例2 中,余反射拓?fù)淙?R,+,τ*)是離散拓?fù)淙?從而是局部緊的.但(R,+,τ)不是pre-局部緊的.事實(shí)上,對(duì)任意x∈R,對(duì)x的任意一個(gè)開鄰域[a,b)或者(a,b],其中a,b∈R且a＜b.因?yàn)榧錋={[a,x1),[x1,x2),…,[xn,xn+1),…,[x∞,b)}是[a,b)的一個(gè)開覆蓋,但集族A沒有有限子覆蓋,所以x的開鄰域[a,b)不是pre-緊的;同理可證(a,b]不是pre-緊的鄰域.因此,(R,+,τ)不是pre-局部緊的.

注例1 中,pre-拓?fù)淙?R,+,τ)不是pre-局部緊的.這是因?yàn)閷?duì)單位元e的任意一個(gè)開鄰域(-a,+∞)或者(-∞,a),其中a∈R且a＞0.集族A={(-∞,i):i∈N}是(-a,+∞)的一個(gè)開覆蓋,但是集族A沒有有限子覆蓋,所以(-a,+∞)不是pre-緊的;同理可證(-∞,a)不是pre-緊的鄰域.所以pre-拓?fù)淙?R,+,τ)不是pre-局部緊的.因?yàn)?R,+,τ)的余反射群拓?fù)洇?是群(R,+)上的通常拓?fù)?所以(R,+,τ*)是局部緊的.

定義9設(shè)X是pre-拓?fù)淇臻g.如果X的每個(gè)開覆蓋都有可數(shù)子覆蓋,則稱X是Lindel?f空間.

命題9若余反射拓?fù)淙?G,τ*)是Lindel?f的,則pre-拓?fù)淙?G,τ)是Lindel?f的;反之不成立.

證明設(shè)A為pre-拓?fù)淙?G,τ)的一個(gè)開覆蓋.由τ?τ*,則A也為(G,τ*)的一個(gè)開覆蓋.由(G,τ*)是Lindel?f的,則A具有可數(shù)子覆蓋.所以(G,τ)是Lindel?f的.

相反,例2 中,(R,+,τ*)是不可數(shù)的離散拓?fù)淙?從而不是Lindel?f.但(R,+,τ)是Lindel?f的pre-拓?fù)淙?事實(shí)上,設(shè)A={Uα:α∈Λ}是(R,+,τ)的一個(gè)開覆蓋.記U?α為Uα在通常拓?fù)洇蚁碌膬?nèi)部.令則U作為(R,σ)的子空間是第二可數(shù)的,于是U是Lindel?f的,從而U的開覆蓋{U?α:α∈Λ}具有可數(shù)子覆蓋令F=R-U,下證:F是一個(gè)可數(shù)集.那么pre-拓?fù)淙?R,+,τ)是Lindel?f的.

對(duì)任意a∈F,則a一定是集族{Uα:α∈Λ}中某個(gè)元的左端點(diǎn)或者右端點(diǎn),否則a∈U,這與a的取法矛盾.不妨設(shè)a是集族{Uα:α∈Λ}中某個(gè)元的左端點(diǎn),則存在xa＞a使得[a,xa)?Uα,于是就有(a,xa)?U,所以(a,xa)∩F=?.記A′={(a,xa):a∈F},則A′為互不相交的開區(qū)間族并且是可數(shù)的,從而F是可數(shù)的.

定義10設(shè)X是pre-拓?fù)淇臻g.如果X具有可數(shù)的稠密子集,則稱X是pre-可分空間.

命題10若余反射拓?fù)淙?G,τ*)是可分的,則pre-拓?fù)淙?G,τ)是pre-可分的;反之不成立.

證明若(G,τ*)是可分,則(G,τ*)具有可數(shù)的稠密子集A.由τ?τ*,則A也是(G,τ)的稠子集.因此,pre-拓?fù)淙?G,τ)是pre-可分的.

例2 中,顯然(R,+,τ)是一個(gè)pre-可分的pre-拓?fù)淙?但因?yàn)?R,+,τ*)是不可數(shù)的離散拓?fù)淙?所以(R,+,τ*)是不可分的.