程浩楠 紀(jì)翔峰

摘要：運用博弈論和比較分析法，探討公平關(guān)切對由政府、制造商和零售商組成的三級低碳供應(yīng)鏈決策主體最優(yōu)策略和效用水平的影響，并對公平關(guān)切前后供應(yīng)鏈的均衡結(jié)果進行比較分析。研究結(jié)果表明，零售商的公平關(guān)切行為會增加政府低碳補貼額度，提高自身邊際利潤，降低制造商批發(fā)價;零售商的公平關(guān)切行為對其自身效用水平總是有利的;對政府的效用水平無影響;對制造商的效用水平總是不利的;零售商的公平關(guān)切行為并不總是有利于整個低碳供應(yīng)鏈系統(tǒng)的效用最大化，取決于零售商公平利潤標(biāo)準(zhǔn)與公平關(guān)切程度的大小。

關(guān)鍵詞：公平關(guān)切;均衡策略;效用水平;低碳供應(yīng)鏈

中圖分類號：272.3???????? 文獻標(biāo)志碼：A

全球經(jīng)濟快速發(fā)展，各國在創(chuàng)造財富的同時，忽略了經(jīng)濟發(fā)展對資源的過度消耗和環(huán)境的污染破壞。近年來，溫室效應(yīng)和極端天氣的出現(xiàn)引起了世界各國的高度重視，碳排放是導(dǎo)致溫室效應(yīng)的主要因素之一[1]。發(fā)展“低碳經(jīng)濟”，實現(xiàn)經(jīng)濟社會的可持續(xù)發(fā)展已成為全球熱點。在此背景下，消費者的購買行為也發(fā)生了變化，對市場上低碳類產(chǎn)品展現(xiàn)了較高的支付意愿和購買傾向。這種低碳偏好激勵了供應(yīng)鏈上的企業(yè)通過不同的減排投入來提高產(chǎn)品的低碳水平，進而獲取額外利潤。為避免企業(yè)減排帶來的過度成本支出，近年來政府出臺了相關(guān)補貼政策來提高企業(yè)的減排動機。例如中央財政部2010年通過“節(jié)能產(chǎn)品惠民工程”在全國范圍內(nèi)對具備相關(guān)資質(zhì)的節(jié)能汽車給予補貼。綜合考慮供應(yīng)鏈運營和碳排放的低碳供應(yīng)鏈近期成為了供應(yīng)鏈管理研究領(lǐng)域的熱點問題之一。如，將碳排放引入至簡單的供應(yīng)鏈模型中，發(fā)現(xiàn)運營模式的調(diào)整和供應(yīng)鏈成員間的合作可有效減排[2]，通過構(gòu)建機會約束下的低碳供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化模型，得到整個供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)上的最優(yōu)商品流動和碳排放[3]，綜合考慮價格和商譽對產(chǎn)品需求的影響，構(gòu)建了集中式和分散式兩種情形下的低碳供應(yīng)鏈微分博弈模型，并通過契約設(shè)計實現(xiàn)供應(yīng)鏈成員利潤分配的帕累托最優(yōu)[4]。以減排技術(shù)研發(fā)和碳交易背景下的二級供應(yīng)鏈為研究對象，考慮集中決策、Stackelberg博弈以及合作協(xié)調(diào)模式三種情形下的供應(yīng)鏈成員最優(yōu)決策問題[5]。此外，在減排激勵措施方面，政府可以通過制定碳管制與交易政策來補貼制造商的成本支出[6];企業(yè)之間也可通過合理的融資機制使產(chǎn)品達到預(yù)期的減排水平[7]。以上研究涉及到的低碳供應(yīng)鏈成員間的博弈行為和契約協(xié)調(diào)問題都是基于“理性人”的假設(shè)，但低碳供應(yīng)鏈中往往涉及政府補貼、消費者低碳偏好、減排投資、渠道權(quán)力結(jié)構(gòu)等多種因素。在這種復(fù)雜的決策環(huán)境下，企業(yè)決策者不僅關(guān)注自身利潤的大小，而且更加關(guān)注利潤分配的公平性。公平關(guān)切下供應(yīng)鏈契約研究中，相關(guān)契約在公平關(guān)切前后會對低碳供應(yīng)鏈產(chǎn)生協(xié)調(diào)作用[8-9]。公平關(guān)切行為對低碳供應(yīng)鏈的影響研究中，公平關(guān)切行為可以提高供應(yīng)鏈的整體效益和減少成員間的沖突[10];另一些研究中表明零售商的公平關(guān)切行為對其自身并不總是有利的，零售商主導(dǎo)型低碳供應(yīng)鏈中制造商的公平關(guān)切行為對低碳供應(yīng)鏈系統(tǒng)的效用最大化也并不總是有利的[11-12]。在公平關(guān)切的基礎(chǔ)上進一步考慮公平信息的不對稱性會對低碳供應(yīng)鏈的最優(yōu)定價、減排以及效用產(chǎn)生影響[13]。以有研究主要集中于公平關(guān)切對低碳供應(yīng)鏈成員和整體的影響。忽略了政府的宏觀政策的改變會對供應(yīng)鏈成員的外部環(huán)境和內(nèi)部決策空間造成影響。因此，研究政府補貼政策與供應(yīng)鏈成員決策間的互動影響是十分有必要的。本文以政府、制造商及零售商組成的三階段博弈模型為研究對象，考慮制造商主導(dǎo)地位和零售商公平關(guān)切行為下，政府的最優(yōu)低碳補貼政策和供應(yīng)鏈成員的最優(yōu)策略之間的互動行為，并分析公平關(guān)切行為對三方及整個低碳供應(yīng)鏈效用水平的影響。

1 描述問題與定義符號

1.1 描述問題

本文以零售商、制造商以及政府組成的三級低碳供應(yīng)鏈作為研究主體。其中，制造商為迎合消費者低碳偏好，在生產(chǎn)過程中投資減排來提高產(chǎn)品的低碳水平;政府為獎勵制造商的減排努力，對制造商的減排成本給予適當(dāng)補貼;零售商則以批發(fā)價格從制造商處獲取低碳產(chǎn)品，再以零售價格出售給消費者。假設(shè)三者之間的信息是完全的，并且在零售商和制造商組成的雙邊壟斷低碳供應(yīng)鏈中，處于主導(dǎo)地位的是制造商;而零售商由于從屬地位可能對利潤分配產(chǎn)生公平關(guān)切行為。

（1） 考慮到消費者的低碳偏好，假設(shè)低碳產(chǎn)品的市場需求函數(shù)q

q=a-bp+μδ（1）

其中，a>0代表產(chǎn)品市場潛能;b>0代表價格敏感系數(shù);p代表銷售價格;δ代表產(chǎn)品低碳水平。μ>0為消費者的低碳偏好程度，μ越大表示消費者越關(guān)注產(chǎn)品的低碳水平。

（2） 為響應(yīng)市場對低碳產(chǎn)品的需求，制造商在生產(chǎn)環(huán)節(jié)中通過使用低碳原材料，優(yōu)化生產(chǎn)流程，通過清潔能源等方式對產(chǎn)品的制造過程進行成本投入。假設(shè)制造商的減排成本投入C（δ）與產(chǎn)品的低碳水平δ滿足關(guān)系C（δ）=0.5ζδ2[13-14]。其中，ζ>0為減排成本系數(shù)，并滿足0<μ<ζ<b。也就是說，制造商的成本系數(shù)大于消費者低碳偏好程度，且都低于消費者對低碳產(chǎn)品價格的敏感度。

（3） 為了提高制造商低碳減排的積極性，政府以整個供應(yīng)鏈系統(tǒng)投入產(chǎn)出最大化為目標(biāo)，對制造商減排成本實行低碳補貼策略τ（0<τ<1）。因此，政府的效用函數(shù)可由制造商利潤πm、零售商利潤πr和政府補貼支出三部分構(gòu)成。

（4） 假設(shè)政府參與的三級供應(yīng)鏈成員決策順序如下：首先政府制定低碳補貼策略τ;然后制造商根據(jù)政府補貼決定單位產(chǎn)品的批發(fā)價格w和低碳水平δ;最后零售商確定單位低碳商品的邊際利潤t。

1.2 定義符號

本文涉及的主要符號下標(biāo)g、m、r、sc分別表示政府、制造商、零售商和供應(yīng)鏈系統(tǒng);上標(biāo)f、n分別表示具有公平關(guān)切行為和無公平關(guān)切行為;上標(biāo)*表示對應(yīng)情況下的最優(yōu)解，具體見表1。

2 模型求解與分析

2.1 零售商公平中性下博弈模型

在政府、制造商和零售商均為公平中性參與者的分散決策模式下，政府首先確定對制造商的低碳補貼策略。在低碳供應(yīng)鏈中，制造商作為主導(dǎo)者，根據(jù)政府的低碳補貼策略確定產(chǎn)品的低碳水平和批發(fā)價格，而零售商作為追隨者，根據(jù)制造商的產(chǎn)品低碳水平和批發(fā)價格決定單位產(chǎn)品的邊際利潤。此時制造商、零售商均以自身利潤最大化為目標(biāo)，各自的利潤函數(shù)為

πnm=（w-c）（a-bw-bt+μδ）+0.5（τ-1）ζδ2（2）

πnr=t（a-bw-bt+μδ）（3）

政府以整個供應(yīng)鏈系統(tǒng)投入產(chǎn)出最大化為目標(biāo)，且其效用函數(shù)由制造商利潤、零售商利潤、和政府補貼支出三部分組成，則政府的效用水平可表示為

ung=（w+t-c）（a-bw-bt+μδ）-0.5ζδ2（4）

根據(jù)逆向歸納法求得該博弈下的均衡解。首先求πnr 關(guān)于t的一階導(dǎo)數(shù)并令其等于零，得

tn=a-bw+μδ2b（5）

根據(jù)πnr關(guān)于t的二階導(dǎo)數(shù)d2πnrdt2=-2b<0，πnr是關(guān)于t的凹函數(shù)，進而判定tn=a-bw+μδ2b是該決策問題的唯一最優(yōu)解。將tn帶入πnm的表達式中，化簡，得πnm=（w-c）（a-bw+μδ）+（τ-1）ζδ22。

接下來求解πnm關(guān)于w和δ的一階偏導(dǎo)數(shù)并令其等于0，聯(lián)立，得wn=2aζτ-1+cμ2+2bζτ-1μ2+4bζτ-1， δn=bc-aμμ2+4bξ（τ-1）。

通過求解πnm關(guān)于w和δ的二階偏導(dǎo)數(shù)，得到Hessian矩陣Hnm（w，δ）為

Hnm（w，δ）=2πnmw22πnmwδ2πnmδw2πnmδ2=-bμ2μ2（τ-1）ζ

易知一階主子式D1=-b<0;當(dāng)參數(shù)滿足條件4bζ（1-τ）-μ2>0時，二階順序主子式D2=bζ（1-τ）-0.25μ2>0，可判定Hessian矩陣Hnm（w，δ）為負(fù)定陣。根據(jù)Hessian矩陣負(fù)定與函數(shù)為凹函數(shù)的等價關(guān)系易知，πnm是關(guān)于w和δ的聯(lián)合凹函數(shù)，且wn和δn是該問題的唯一最優(yōu)解。將wn和δn帶入tn中化簡，得

tn=a-bcζτ-1μ2+4bζτ-1（6）

由于制造商選擇的低碳水平和零售商選擇的邊際利潤均為正數(shù)，且參數(shù)滿足μ2+4bζτ-1<0和0<τ<1，因此參數(shù)還需進一步滿足a>bc。將wn、δn以及式（6）帶入政府效用函數(shù)ung中，并化簡，得ung=a-bc2ζ6bζτ-12-μ22μ2+4bζτ-12。

求解ung對τ的一階導(dǎo)數(shù)并令其等于0得τn*=1/3。 根據(jù)前文所述，本文參數(shù)滿足μ2+4bζτ-1<0，則當(dāng)0<τn<13時，dungdτ>0;當(dāng)1/3<τn<1時，dungdτ<0。因此τn*=13即為均衡狀態(tài)下的最優(yōu)補貼策略。將τn*分別帶入wn、δn和tn中得到制造商與零售商的均衡策略wn*=4aζ+4bcζ-3cμ28bζ-3μ2， δn*=3a-bcμ8bζ-3μ2，tn*=2a-bcζ8bζ-3μ2。

均衡狀態(tài)時低碳產(chǎn)品的最優(yōu)需求量qn*及最優(yōu)銷售價格pn*為qn*=2ba-bcζ8bζ-3μ2， pn*=6aζ+2bcζ-3cμ28bζ-3μ2。

最后，將最優(yōu)解wn*、δn*、tn*和τn*代入式（2）、（3）、（4）中得到均衡狀態(tài)時制造商的最大利潤、政府的最大效用、零售商的最大利潤、低碳供應(yīng)鏈系統(tǒng)的總利潤為 πn*m=a-bc2ζ8bζ-3μ2，un*g=3a-bc2ζ16bζ-6μ2， πn*r=4ba-bc2ζ28bζ-3μ22，πn*sc=πn*r+πn*m=3ζa-bc24bζ-μ28bζ-3μ22。

將τn*帶入μ2+4bζτ-1<0中，得8bζ-3μ2>0和a>bc。

2.2 零售商公平關(guān)切下博弈模型

考慮零售商在雙邊壟斷低碳供應(yīng)鏈中屬于從方，且政府只低碳補貼于制造商，因此本節(jié)研究零售商公平關(guān)切行為對三級供應(yīng)鏈的影響。當(dāng)零售商具有公平關(guān)切行為時，其目標(biāo)不再是單純地追求利潤的最大化，而是依據(jù)效用最大化原理進行決策。假設(shè)零售商的效用函數(shù)為[15]

ufr=πfr-λ（θπfm-πfr）（7）

其中，θ表示零售商的公平利潤標(biāo)準(zhǔn);θπfm表示零售商認(rèn)為其公平利潤應(yīng)為制造商利潤的θ倍;λ>0為零售商公平關(guān)切系數(shù)。根據(jù)行為經(jīng)濟學(xué)理論，0<πfr<θπfm時，認(rèn)定的公平利潤大于零售商利潤，公平關(guān)切行為會使零售商產(chǎn)生嫉妒負(fù)效用;πfr>θπfm時，認(rèn)定的公平利潤小于零售商利潤，公平關(guān)切行為使得零售商產(chǎn)生同情正效用。研究表明，決策者較少看重對自己有利的不公平，而更多看重對自身無利的不公平[13，16]。所以，本文只考慮零公平利潤大于售商的利潤的情形，即，0<πfr<θπfm。

公平關(guān)切模式下，制造商在決策過程中保持公平中性行為，仍以自身利潤最大化為目標(biāo)。政府實施低碳補貼的目標(biāo)仍然是最大化整個供應(yīng)鏈系統(tǒng)的投入產(chǎn)出，因此政府的效用函數(shù)也保持不變。根據(jù)式（7），公平關(guān)切型零售商效用函數(shù)為

ufr=t（λ+1）-λθ（w-c）a-bt+w+δμ-0.5（τ-1）λθζδ2（8）

與公平中性時的求解過程類似，首先求ufr關(guān)于t的一階導(dǎo)數(shù)并使其等于0，得

tf=a1+λ-bcθλ+w1+λ-θλ+δμ1+λ2b1+λ（9）

根據(jù)ufr關(guān)于t的二階導(dǎo)數(shù)d2ufrdt2=-2b1+λ<0可判定ufr是關(guān)于t的凹函數(shù)，進一步得到tf=a1+λ-bcθλ+w1+λ-θλ+δμ1+λ2b1+λ是該決策問題的唯一最優(yōu)解。將tf帶入πfm的表達式，化簡，得πfm=δ1+λw-cμ+δζτ-1-ac-w1+λ-bc-wcθλ-w1+λ+θλ21+λ。

求解πfm關(guān)于w和δ的一階偏導(dǎo)數(shù)并令其等于0，聯(lián)立求解可得

wf=c1+λμ2+2bζ1+λ+2θλτ-1+2aζ1+λτ-11+λμ2+4bζ1+λ+θλτ-1（10）

δf=bc-a1+λμ1+λμ2+4bζ1+λ+θλτ-1（11）

πfm的Hessian矩陣Hfm（w，δ）為

Hfm（w，δ）=2πfmw22πfmwδ2πfmδw2πfmδ2=-b1+λ+θλ1+λμ2μ2（τ-1）ζ

易知一階主子式D1=-b1+λ+θλ1+λ<0;當(dāng)參數(shù)滿足4bζ（τ-1）（1+λ+λθ）+（1+λ）μ2<0時，二階順序主子式D2=bζ1+λ+θλ1-τ1+λ-μ24>0，進而能夠判定Hessian矩陣Hfm（w，δ）為負(fù)定陣，wf和δf是該問題的唯一最優(yōu)解。將wf和δf的反應(yīng)函數(shù)帶入tf中化簡，得

tf=a-bcζ1+λ+3θλτ-11+λμ2+4bζ1+λ+θλτ-1（12）

將式（10）、（11）和（12）代入政府的效用函數(shù)ufg中化簡，得

ufg=a-bc2ζ6bζ1+λ+θλ2τ-12-μ21+λ221+λμ2+4bζ1+λ+θλτ-12

求解ufg對τ的一階導(dǎo)數(shù)并令其等于0，得τf*=1+λ+3θλ3（1+λ+θλ）。已知參數(shù)滿足條件4bζ（τ-1）（1+λ+λθ）+μ2（1+λ）<0，且0<τ<τf*時，dufgdτ>0;當(dāng)τf*<τ<1時，dufgdτ<0，因此τf*是函數(shù)ufg的唯一極大值點，即均衡狀態(tài)時的最優(yōu)補貼策略。將τf*帶入式（10）、（11）和（12）中得到制造商與零售商的均衡策略分別為wf*=4aζ1+λ+c4bζ1+λ+2θλ-3μ21+λ+θλ1+λ+θλ8bζ-3μ2，δf*=3a-bcμ8bζ-3μ2，tf*=2a-bcζ1+λ+3θλ1+λ+θλ8bζ-3μ2。

均衡狀態(tài)時低碳產(chǎn)品的最優(yōu)需求量和最優(yōu)銷售價格為qf*=2ba-bcζ8bζ-3μ2，pf*=6aζ-3cμ2+2bζc8bζ-3μ2。

將上述均衡策略分別代入至πfm、πfr、ufg、ufr和ufsc中，得πf*m=a-bc2ζ1+λ1+λ+θλ8bζ-3μ2，πf*r=4bζ2a-bc21+λ+3θλ1+λ+θλ8bζ-3μ22， uf*g=3a-bc2ζ16bζ-6μ2，uf*r=a-bc2ζ1+λ4bζ1+λ+θλ+3θλμ21+λ+θλ8bζ-3μ22，uf*sc=πf*m+uf*r=a-bc2ζ1+λ4bζ3+λ+θλ+3μ2θλ-11+λ+θλ8bζ-3μ22。

將τf*帶入到4bζ（τ-1）（1+λ+λθ）+μ2（1+λ）<0中，得到1+λ>0。由于零售商只關(guān)注對自己無利的不公平行為，則制造商與零售商的利潤關(guān)系需滿足0<πfr<θπfm。因此，將均衡結(jié)果πf*r和πf*m帶入到不等式0<πfr<θπfm，得約束條件：θ>4bζ8bζ-3μ2和λ<λmax=（8bζ-3μ2）θ-4bζ（4bζ+3μ2）θ+4bζ。

2.3 零售商公平關(guān)切行為的均衡結(jié)果分析

命題1 τf*λ>0，wf*λ<0，δf*λ=0，tf*λ>0，qf*λ=0，pf*λ=0。

證明：根據(jù)2.2節(jié)公平關(guān)切下相關(guān)均衡解的表達式，命題1成立。

命題1揭示了零售商公平關(guān)切對政府最優(yōu)低碳補貼政策和供應(yīng)鏈成員間最優(yōu)決策的影響。隨著零售商公平關(guān)切水平的提高（λ的增大），政府對制造商的低碳補貼政策τ隨之提高;制造商的批發(fā)價格隨之降低;零售商選擇的單位產(chǎn)品的邊際利潤隨之增大;而制造商選擇的產(chǎn)品低碳水平、產(chǎn)品的市場需求和零售價格均不隨零售商公平關(guān)切程度的改變而改變。

命題2 uf*gλ=0，πf*rλ>0，πf*mλ<0，uf*rλ>0。

證明：根據(jù)2.2節(jié)公平關(guān)切下相關(guān)效用和利潤的表達式，命題2成立。

由命題2可知，隨著零售商公平關(guān)切水平的提高（λ的增大），均衡狀態(tài)時政府的效用函數(shù)保持不變，制造商的最優(yōu)利潤隨之降低，但零售商的最優(yōu)利潤以及最優(yōu)效用是隨之增加的。這種變化說明，考慮到零售商的公平關(guān)切行為，政府將通過調(diào)節(jié)對制造商的低碳補貼政策以保證自身效用不受公平關(guān)切的影響。零售商在公平關(guān)切行為情形下對自身的效用和利潤總是有利的，而對制造商的利潤總是不利的。

命題3 （1）當(dāng)4bζ8bζ-3μ2<θ<2bζ4bζ-3μ2時，uf*scλ>0;

（2）當(dāng)θ>2bζ4bζ-3μ2時，存在以下兩種情形：當(dāng)0<λ<λ*時，uf*scλ<0;當(dāng)λ*<λ<λmax時，uf*scλ>0。其中λ*=-4bζ1+θ-3θμ2+θ32b2ζ21+θ2-12bζμ21+θ-9θμ41+2θ1+θ4bζ1+θ+3θμ2。

證明：根據(jù)一階最優(yōu)條件uf*scλ=0，求得公平關(guān)切下整個低碳供應(yīng)鏈效用函數(shù)的極值點為

λ*1=-4bζ1+θ-3θμ2+θ32b2ζ21+θ2-12bζμ21+θ-9θμ41+2θ1+θ4bζ1+θ+3θμ2

λ*2=-4bζ1+θ-3θμ2-θ32b2ζ21+θ2-12bζμ21+θ-9θμ41+2θ1+θ4bζ1+θ+3θμ2

其中，λ*2為負(fù)極值點，在此不予考慮。假設(shè)

f（θ）=θ32b2ζ21+θ2-12bζμ21+θ-9θμ41+2θ-4bζ1+θ+3θμ22

=21+θ4bζθ-2bζ-3θμ24bζ+4bζθ+3θμ2

由2.2節(jié)可知，λ<λmax=（8bζ-3μ2）θ-4bζ（4bζ+3μ2）θ+4bζ，且本文僅考慮不公平規(guī)避系數(shù)λ>0的情形，因此假定λ的取值范圍為0，λmax。綜合考慮λ的取值和極值點λ*的正負(fù)性可知：

（1）當(dāng)4bζ8bζ-3μ2<θ<2bζ4bζ-3μ2時，λ*<0，uf*scλ>0;

（2）當(dāng)θ>2bζ4bζ-3μ2時，λ*>0，使用作差法判斷λmax與λ*的大小關(guān)系：

λmax-λ*=8bζθ1+θ-3θ2μ2-θ32b2ζ21+θ2-12bζμ21+θ-9θμ41+2θ1+θ4bζ1+θ+3θμ2

假設(shè)函數(shù)

J（θ）=8bζθ1+θ-3θ2μ22-θ32b2ζ21+θ2-12bζμ21+θ-9θμ41+2θ

=θ1+θ32b2ζ2-1+θ+2θ2+12bζ1-4θ2μ2+9θ1+θμ4

=8bζ-3μ22θ2+32b2ζ2+9μ4θ+12bζμ2-32b2ζ2

可知，J（θ）=0有兩個符號相異的零點。根據(jù)θ>2bζ4bζ-3μ2>12>0，J（12）=8116μ4>0，得，θ=12大于J（θ）=0時的正根。因此，當(dāng)θ>2bζ4bζ-3μ2時，J（θ）>0，進而有λmax-λ*>0。證畢。

命題3表明，當(dāng)零售商存在公平關(guān)切行為時，零售商的公平關(guān)切水平λ與公平利潤標(biāo)準(zhǔn)θ的取值影響整個供應(yīng)鏈的總效用：（1）當(dāng)零售商的θ值較小時，零售商公平關(guān)切水平越高，供應(yīng)鏈的效用越多;（2）當(dāng)零售商的θ值較大時，零售商公平關(guān)切水平λ的高低與供應(yīng)鏈的效用有兩種可能情形。分別為，當(dāng)零售商的公平關(guān)切水平較低，并且不超過λ*（0<λ<λ*）時，零售商公平關(guān)切水平越高，供應(yīng)鏈的效用越少;當(dāng)零售商的公平關(guān)切水平較大（λ*<λ<λmax）時，零售商公平關(guān)切水平越高，供應(yīng)鏈的效用越多。

3 公平關(guān)切于公平中性下均衡結(jié)果的比較分析

定理1 τf*>τn*，wf*<wn*，δn*=δf*，tf*>tn*，qf*=qn*，pf*=pn*。

證明：根據(jù)2.1節(jié)和2.2節(jié)相關(guān)均衡解的表達式，定理1成立。

定理1表明，相對于零售商公平中性的情況，零售商的公平關(guān)切行為會促使其選擇單位產(chǎn)品邊際利潤更高的產(chǎn)品以獲得更高的效用;為了防止零售價上升而產(chǎn)品需求下降的情況出現(xiàn)，制造商在選擇與零售商公平中性情形下相同的產(chǎn)品低碳水平的同時，將會降低產(chǎn)品的批發(fā)價，從而使產(chǎn)品的零售價保持不變;政府為補償制造商批發(fā)價下降導(dǎo)致的利潤損失，維持產(chǎn)品的低碳水平不變，將加大對制造商的低碳補貼額度;且由于產(chǎn)品的低碳水平和零售價保持不變，零售商公平關(guān)切下低碳產(chǎn)品的需求量也維持不變。

定理2 un*g=uf*g，πf*m<πn*m，uf*r>πn*r。

證明：根據(jù)上述均衡情況下效用和利潤的表達式，定理2成立。

定理2表明，相對于零售商公平中性的情況，零售商具有公平關(guān)切行為時，該行為總是有利于其效用的最大化。結(jié)合命題2，由于公平關(guān)切下制造商的利潤和零售商的效用呈現(xiàn)出此起彼落的變化趨勢，因此零售商的公平關(guān)切行為對制造商的利潤最大化總是不利的。政府考慮零售商的公平關(guān)切程度，對制造商實施不同的低碳補貼政策來補償制造商的利潤讓步，從而保證自身效用水平不受零售商公平關(guān)切行為的影響。

定理3 （1）當(dāng)4bζ8bζ-3μ2<θ<2bζ4bζ-3μ2時，uf*sc>πn*sc;

（2）當(dāng)θ>2bζ4bζ-3μ2時，存在兩種可能的情形：當(dāng)0<λ<λ時，uf*sc<πn*sc;當(dāng)λ<λ<λmax時，uf*sc>πn*sc，其中，λ=（8bζ-6μ2）θ-4bζ（4bζ+3μ2）θ+4bζ。

證明：由作差法可得h（λ）=uf*sc-πn*sc=a-bc2ζλ4bζ+4bζθ+3θμ2λ+（6μ2-8bζ）θ+4bζ1+λ+θλ8bζ-3μ22，并且由于參數(shù)滿足4bζ+4bζθ+3θμ2>0，根據(jù)一階條件h（λ）=0，得其唯一的解為λ=（8bζ-6μ2）θ-4bζ（4bζ+3μ2）θ+4bζ<λmax。

根據(jù)θ的不同取值情況，h（λ）=uf*sc-πn*sc的正負(fù)性存在以下可能情形：

（1）當(dāng)4bζ8bζ-3μ2<θ<2bζ4bζ-3μ2時，h（λ）>0，uf*sc>πn*sc;

（2）當(dāng)θ>2bζ4bζ-3μ2時，存在兩種可能的情形：當(dāng)0<λ<λ時，h（λ）<0，uf*sc<πn*sc;當(dāng)λ<λ<λmax時，h（λ）>0，uf*sc>πn*sc。證畢。

綜合命題3和定理3可知，當(dāng)零售商的公平利潤標(biāo)準(zhǔn)θ相對較小時，零售商公平關(guān)切下低碳供應(yīng)鏈系統(tǒng)的最大效用總是大于公平中性下的最大利潤。這表明，此時公平關(guān)切下零售商效用的增加總是大于制造商利潤的降低，因此整個低碳供應(yīng)鏈系統(tǒng)的效用增加。當(dāng)零售商的公平利潤標(biāo)準(zhǔn)θ相對較大時，若公平關(guān)切水平λ相對較?。?<λ<λ），公平關(guān)切下低碳供應(yīng)鏈的效用小于公平中性時的效用，此時零售商效用的增加低于制造商利潤的降低;若公平關(guān)切水平λ相對較大（λ<λ<λmax），公平關(guān)切下低碳供應(yīng)鏈的效用大于公平中性時的效用，此時零售商效用的增加幅度大于制造商利潤的降低幅度。即，與公平中性的情況相比，零售商的公平關(guān)切對整個低碳供應(yīng)鏈系統(tǒng)的效用并不總是有利，而是與零售商公平利潤標(biāo)準(zhǔn)和公平關(guān)切程度的大小有關(guān)。

推論：當(dāng)θ>2bζ4bζ-3μ2時，0<λ*<λ。

證明：使用作差法判斷λ與λ*的大小關(guān)系：

λ-λ*=8bζθ1+θ-3θμ2-6θ2μ2-θ32b2ζ21+θ2-12bζμ21+θ-9θμ41+2θ1+θ4bζ1+θ+3θμ2

假設(shè)

L（θ）=[8bζθ1+θ-3θμ2-6θ2μ2]2-θ32b2ζ21+θ2-12bζμ21+θ-9θμ41+2θ

=8bζ-6μ22θ3+64bζ-3μ22θ2+18μ4-36bζμ2θ+12bζμ2-32b2ζ2

由L（θ）=0，得，θα=-1<0;θβ=3μ2-8bζ24bζ-3μ2<0;θr=2bζ4bζ-3μ2>0。因此θ>θr時，函數(shù)L（θ）>0。進一步地，λ>λ*>0。證畢。

綜合推論1、命題3和定理3，當(dāng)零售商公平利潤標(biāo)準(zhǔn)θ>2bζ4bζ-3μ2時，若公平關(guān)切系數(shù)0<λ<λ*，供應(yīng)鏈系統(tǒng)的總效用隨著λ的增加而減少;若公平關(guān)切系數(shù)λ*<λ<λ，供應(yīng)鏈的總效用雖然隨著λ的增加而增加，但仍小于零售商公平中性時的總利潤。若公平關(guān)切系數(shù)λ<λ<λmax，供應(yīng)鏈的總效用隨著λ的增加而增加，且總是高于零售商公平中性時的總利潤。

4 數(shù)值算例

因為在求解模型過程中，參數(shù)需要滿足相應(yīng)條件，所以取參數(shù)a=100，b=15，c=6，ζ=6，μ=5。在零售商存在公平中性行為時，根據(jù)均衡解以及相關(guān)參數(shù)值可計算得出τn*=1/3，wn*=6.372 1，δn*=0.232 6，tn*=0.186 0，qn*=2.790 7，pn*=6.558 1，un*g=1.395 3，πn*m=0.930 2，πn*r=0.519 2，πn*sc=1.449 4。當(dāng)零售商具有公平關(guān)切行為時，為了說明θ取值對零售商公平關(guān)切下均衡結(jié)果的影響，分別取θ1=0.6（4bζ8bζ-3μ2<θ1<2bζ4bζ-3μ2）和θ2=0.8（θ2>2bζ4bζ-3μ2）兩種情形進行分析。

4.1 公平利潤標(biāo)準(zhǔn)較?。é?=0.6）

當(dāng)公平利潤標(biāo)準(zhǔn)為θ1=0.6時，λmax=1/23，λ*≈-0.015，λ≈-0.029。假設(shè)λ分別為0.005，0.010，0.015， 0.020，0.025，0.030，0.035，0.040，其余參數(shù)保持不變，此時公平關(guān)切水平對均衡結(jié)果的影響見表2。

由表2可知，在公平關(guān)切下，當(dāng)零售商公平利潤標(biāo)準(zhǔn)較?。é?=0.6）時，當(dāng)公平關(guān)切水平提高（λ增大）時，零售商產(chǎn)品的邊際利潤在均衡時會隨之增加;制造商在維持產(chǎn)品低碳水平不變的同時，選擇更低的批發(fā)價格;政府綜合考慮零售商公平關(guān)切行為和制造商的利潤損失，將提高對制造商的低碳補貼額度，從而鼓勵制造商低碳生產(chǎn);零售商的公平關(guān)切行為不影響產(chǎn)品的市場需求和零售價。當(dāng)零售商公平關(guān)切水平提高時，均衡時政府的效用保持不變;制造商的利潤減少;零售商的利潤和效用均有所提高。這說明零售商的公平關(guān)切行為是提升自身效用和利潤的一種手段，但對制造商的利潤總是不利的。在零售商公平關(guān)切下，政府將根據(jù)公平關(guān)切程度制定不同的補貼政策來保證自身效用不受影響。最后，均衡時零售商公平關(guān)切水平越高，整個低碳供應(yīng)鏈的總效用和總利潤越多。這說明，隨著公平關(guān)切水平的提高，零售商效用和利潤的提高均大于制造商效用（或利潤）的降低，從而整個渠道的效用和利潤增加。即，此時零售商的公平關(guān)切行為不但對其自身是有利的，對整個低碳供應(yīng)鏈系統(tǒng)也是有利的。

4.2 公平利潤標(biāo)準(zhǔn)較大（θ2=0.8）

當(dāng)零售商公平利潤標(biāo)準(zhǔn)為θ2=0.8時，λmax=13/59，λ*≈0.064，λ≈0.135 6。假設(shè)λ分別為0.025， 0.050，0.075，0.100，0.125，0.150，0.175，0.200，其余參數(shù)保持不變，此時公平關(guān)切水平對均衡結(jié)果的影響見表3。

由表3可知，當(dāng)零售商公平利潤標(biāo)準(zhǔn)較大（θ2=0.8）時，隨著公平關(guān)切水平的提高（λ增大），均衡時三方的最優(yōu)決策和效用水平、產(chǎn)品的零售價格及市場需求的變化趨勢與公平利潤標(biāo)準(zhǔn)較?。é?=0.6）的趨勢相同。但整個低碳供應(yīng)鏈系統(tǒng)的總效用卻表現(xiàn)出不同的演變趨勢：當(dāng)零售商公平關(guān)切水平較低（0<λ<λ*=0.064）時，零售商公平關(guān)切水平越高，低碳供應(yīng)鏈的總效用反之越少;當(dāng)零售商公平關(guān)切水平較高（λ*<λ<λmax=13/59）時，零售商公平關(guān)切水平越高，低碳供應(yīng)鏈的總效用越多。即，此時零售商的公平關(guān)切行為雖然對自身效用的最大化是有利的，但是對整個低碳供應(yīng)鏈系統(tǒng)效用的最大化卻不一定總是有利的。

與公平利潤標(biāo)準(zhǔn)較?。é?=0.6）時不同，此時低碳供應(yīng)鏈系統(tǒng)的總效用與公平中性下的總利潤之間的關(guān)系表現(xiàn)為：當(dāng)零售商公平關(guān)切水平λ較低（0<λ<λ=0.135 6）時，低碳供應(yīng)鏈系統(tǒng)的總效用小于公平中性時的總利潤;當(dāng)零售商的公平關(guān)切水平λ較高（λ<λ<λmax=13/59）時，低碳供應(yīng)鏈系統(tǒng)的最優(yōu)效用大于公平中性時的最大利潤。結(jié)合低碳供應(yīng)鏈系統(tǒng)效用與公平關(guān)切系數(shù)之間的變化規(guī)律進一步可得：當(dāng)零售商公平關(guān)切水平λ較低（0<λ<λ）時，低碳供應(yīng)鏈的效用會跟隨著公平關(guān)切水平的提高先降低后增加，且總是低于公平中性時的利潤;當(dāng)零售商公平關(guān)切水平λ較高（λ<λ<λmax）時，公平關(guān)切水平越高，低碳供應(yīng)鏈的效用越多，且總是大于公平中性時的利潤。

5 結(jié)論

本文以政府、低碳產(chǎn)品制造商、低碳產(chǎn)品零售商組成的三階段博弈模型為研究對象，分別考慮了公平中性、零售商公平關(guān)切兩種情形下，政府及低碳供應(yīng)鏈成員的最優(yōu)決策，以及公平關(guān)切對政府、低碳供應(yīng)鏈成員、和整個低碳供應(yīng)鏈系統(tǒng)效用的影響。零售商的公平關(guān)切水平對產(chǎn)品的零售價、低碳水平以及市場需求沒有影響，零售商的公平關(guān)切程度對政府的效用水平?jīng)]有影響，對其自身的利潤和效用總是有利的，對制造商的效用總是不利的。零售商的公平利潤標(biāo)準(zhǔn)較小時，政府補貼下的制造商主導(dǎo)型低碳供應(yīng)鏈的效用水平隨著公平關(guān)切程度的增加而增加，且總是大于公平中性時的渠道總利潤，零售商的公平利潤標(biāo)準(zhǔn)較高時，若公平關(guān)切水平不超過臨界值，那么低碳供應(yīng)鏈的最優(yōu)效用會隨著公平關(guān)切水平的提高先降低后增加，且總是小于公平中性時的渠道總利潤;若公平關(guān)切水平超過臨界值，那么隨著公平關(guān)切水平的提高，低碳供應(yīng)鏈系統(tǒng)的總效用逐漸增加，且總是大于公平中性時的總利潤。因此，在公平關(guān)切情形下，零售商會選擇更高的零售價格以平衡自身的嫉妒心理;制造商在保持產(chǎn)品低碳水平不變的同時，需降低批發(fā)價格，做出必要的利潤讓步;政府為補償制造商的利潤損失，應(yīng)加大對制造商的低碳補貼額度。未來可以研究具有政府補貼和公平關(guān)切行為情形下，存在多個零售商或制造商的低碳供應(yīng)鏈最優(yōu)決策問題，以及公平關(guān)切行為下影響低碳供應(yīng)鏈運作效率的契約協(xié)調(diào)問題。

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Three Level Low-carbon Supply Chain Game Study Based on Retailer's Fairness Concern

CHENG Hao-nan，JI Xiang-feng

（College of Business， Qingdao University， Qingdao 266071， China）

Abstract：

By using game theory and comparative analysis， explore the impact of fairness concerns on the optimal strategy and utility level of the three-level low-carbon supply chain decision-making body composed of the government， manufacturers， and retailers， and makes a comparative analysis on the equilibrium results of supply chain before and after fairness concern. The results show that retailers' fair concern behavior will increase the government's low carbon subsidy amount， reduce the wholesale price of manufacturers， and improve their own marginal profit. Retailer's fair concern behavior is always beneficial to its own utility level; It's always bad for the utility level of the manufacturer; It has no effect on the level of government effectiveness; The retailer's fairness concern behavior is not always beneficial to the utility maximization of the whole low-carbon supply chain system， which depends on the retailer's fair profit standard and the degree of fairness concern.

Keywords：

fairness concern; optimal strategies; utility levels; low-carbon supply chain

收稿日期：2021-09-29

基金項目：

國家自然科學(xué)基金（批準(zhǔn)號：71801138）資助。

通信作者：

紀(jì)翔峰，男，博士，副教授，主要研究方向為交通運輸管理。E-mail： jixiangfeng@qdu.edu.cn

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