邱 卓，華順明，彭 宇，王義強(qiáng)，張 宇

(1.浙大寧波理工學(xué)院 機(jī)電與能源工程學(xué)院，浙江 寧波 315100；2.浙江大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，浙江 杭州 310027；3.寧波博爾法液壓有限公司，浙江 寧波 315502)

0 引言

壓電陶瓷執(zhí)行器具有響應(yīng)速度快、頻帶寬和分辨率高等優(yōu)點(diǎn)，在高速伺服閥、精密定位、微流控等機(jī)械工程領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用。但是，其固有的遲滯特性會嚴(yán)重影響控制精度，必須加以克服，其中通過建立遲滯模型來構(gòu)造控制器是最常見的減小遲滯方式[1]。

根據(jù)工作原理的不同，可以將常見的遲滯模型分為靜態(tài)模型和動態(tài)模型[2]。靜態(tài)模型只能靜態(tài)描述壓電執(zhí)行器的輸出位移，主要有神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型[3]、Preisach模型[4，5]、Prandtl-Ishlinski模型[6]；動態(tài)模型可以動態(tài)跟蹤壓電執(zhí)行器的輸出位移，但一般誤差較大，常見的動態(tài)模型有Maxwell模型[7]、Duhem模型[8]和Bouc-Wen模型[9]。

為了能夠更好地模擬壓電疊堆在不同速率輸入信號下的位移輸出特性，應(yīng)采用動態(tài)模型，其中Bouc-Wen模型的基本形式是一階非線性微分方程，模型比較簡潔直觀。但是經(jīng)典Bouc-Wen模型對非對稱遲滯效應(yīng)的描述效果較差，且隨著輸入信號速率的升高，壓電執(zhí)行器的非對稱遲滯特征越明顯[10]。為解決上述問題，在經(jīng)典Bouc-Wen模型的基礎(chǔ)上引入松弛函數(shù)，提出一種廣義Bouc-Wen模型。

1 經(jīng)典Bouc-Wen模型基本原理

遲滯效應(yīng)曲線可以看作是線性分量X(t)和遲滯分量h(t)復(fù)合而成，所以經(jīng)典Bouc-Wen模型可以表示為：

y(t)=X(t)+h(t)=k·uA(t)+h(t).

(1)

(2)

其中：y(t)為壓電疊堆的輸出位移；uA(t)為壓電疊堆的作用電壓；k、α、β、γ和n是決定遲滯曲線形狀的模型參數(shù)，n通常設(shè)置為1。

那么根據(jù)式(2)，遲滯分量可以表示為：

(3)

由式(1)～式(3)可知，經(jīng)典Bouc-Wen模型的模型參數(shù)主要為k、α、β、γ，但是根據(jù)已有的研究成果可知，β和γ是常數(shù)，參數(shù)k和α都隨著輸入頻率的增加而減少，所以這種頻率依賴性不能用經(jīng)典Bouc-Wen模型來描述[11-13]。

2 廣義Bouc-Wen遲滯模型構(gòu)建

為使Bouc-Wen模型可以描述壓電疊堆遲滯特性在頻率增加時的變化，可引入松弛函數(shù)來表征速率相關(guān)的遲滯效應(yīng)[14，15]，由此建立的廣義Bouc-Wen模型可以表示為：

(4)

(5)

(6)

(7)

其中：a≥0，b≥0，a、b、ε、δ均為常數(shù)。

(8)

(9)

為使遲滯模型與壓電疊堆的實(shí)際遲滯效應(yīng)更加匹配，也即要求模型預(yù)測位移輸出與壓電疊堆實(shí)際位移輸出的方差盡量小，得出目標(biāo)函數(shù)如下：

(10)

(11)

其中：N為樣本總數(shù)；yi為第i個采樣周期中壓電疊堆實(shí)際位移輸出。

顯然，g(uA)是關(guān)于a、b、ε、δ、β和γ的非線性函數(shù)，目標(biāo)函數(shù)可看做是一個非線性最小二乘法問題[16]，由此可利用MATLAB/Simulink確定參數(shù)值，具體如表1所示。

表1 廣義Bouc-Wen模型參數(shù)

根據(jù)以上分析，建立的壓電疊堆的遲滯模型如圖1所示。

圖1 基于廣義Bouc-Wen模型的壓電疊堆仿真模型

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證模型的有效性，將前述遲滯模型的仿真值與壓電疊堆輸出位移的實(shí)際測量值進(jìn)行對比。

實(shí)驗(yàn)裝置主要有：AE0505D16型壓電疊堆，驅(qū)動電壓為0 V～100 V，最大輸出位移為11.6 μm±2.0 μm，其他參數(shù)見表2；哈爾濱芯明天XE-500D型壓電陶瓷伺服功率放大器，由放大器模塊、傳感器控制模塊和顯示與接口模塊組成，實(shí)現(xiàn)對壓電疊堆的驅(qū)動控制；DG4102型信號源，可提供任意頻率的激勵信號；日基恩士LK-H020型激光位移傳感器，工作電壓24 V，分辨率0.001 μm，可精確檢測壓電疊堆的輸出位移；北京普源精電公司的DP1308A型可編程直流穩(wěn)壓電源，用于激光位移傳感器供電。實(shí)驗(yàn)測試系統(tǒng)如圖2所示。

圖2 實(shí)驗(yàn)裝置

表2 AE0505D16壓電疊堆主要性能參數(shù)

為了驗(yàn)證前述廣義Bouc-Wen遲滯模型在不同速率下的有效性，采用u(t)=50+50sin(2πft)格式的正弦輸入信號來驅(qū)動壓電執(zhí)行器，分別測量1 Hz、10 Hz、50 Hz、100 Hz信號下壓電疊堆的輸出位移，并將測量數(shù)據(jù)與遲滯模型仿真結(jié)果進(jìn)行比較，結(jié)果如圖3所示。

由圖3可以看出，本文所述廣義Bouc-Wen遲滯模型的仿真結(jié)果可以較好地與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合，仿真值與實(shí)驗(yàn)值的誤差如表3所示。

表3 仿真值與實(shí)驗(yàn)值誤差對比

圖3 不同頻率下仿真值與實(shí)驗(yàn)值結(jié)果比較圖

1 Hz、10 Hz、50 Hz和100 Hz對應(yīng)的平均絕對誤差分別為0.023 μm、0.10 μm、0.34 μm和0.93 μm，相應(yīng)的誤差率分別為0.19%、0.81%、2.88%和8.02%。由上述結(jié)果可知，該模型在低頻范圍內(nèi)可以精確地與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相擬合，在高頻范圍內(nèi)，誤差率隨著頻率的增加而增大，但是可以控制在10%以內(nèi)，說明對于高頻信號同樣有著很好的擬合效果，證明該模型具有較好的可行性。

4 結(jié)束語

本文在經(jīng)典Bouc-Wen模型的基礎(chǔ)上提出了一種廣義Bouc-Wen模型，利用松弛函數(shù)對經(jīng)典模型中隨輸入頻率而變化的參數(shù)進(jìn)行描述，使得廣義模型可以表述不同速率輸入信號下的輸出特性。通過將仿真值與實(shí)驗(yàn)值對比可知，輸入信號頻率為1 Hz～100 Hz時，模型的誤差率隨頻率的增加而增大，最大平均誤差為0.93 μm，最大誤差率為8.02%，表明該模型在不同速率下是有效的，為設(shè)計前饋控制器奠定了基礎(chǔ)。