查昕昕，王正新，2，蔣國平

（1.南京郵電大學(xué)理學(xué)院，江蘇 南京 210023 2.南京郵電大學(xué)江蘇省物聯(lián)網(wǎng)智能機(jī)器人工程實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 210023 3.南京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院、人工智能學(xué)院，江蘇 南京 210023）

近年來，多智能體系統(tǒng)的協(xié)調(diào)控制被廣泛研究，特別是多智能體系統(tǒng)的一致性控制。多智能體系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)之間的一致性主要通過智能體之間的局部信息交換來實(shí)現(xiàn)。在研究多智能體系統(tǒng)一致性問題時(shí)，大致可以分為以下幾種情形：有向網(wǎng)絡(luò)［1］或者無向網(wǎng)絡(luò)［2］、線性網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)［3］或非線性網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)［4］、單層網(wǎng)絡(luò)［5］或多層網(wǎng)絡(luò)［6］、同質(zhì)網(wǎng)絡(luò)［7］或異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)［8］。除了網(wǎng)絡(luò)的協(xié)調(diào)動(dòng)力學(xué)，網(wǎng)絡(luò)的可控性及可觀性［9］、拓?fù)渥R(shí)別［10］、信息擴(kuò)散［11］等也得到了廣泛的研究。近年來，與單層網(wǎng)絡(luò)相比，對(duì)多層網(wǎng)絡(luò)的研究越來越深入。文獻(xiàn)［12］利用線性變換討論了兩層網(wǎng)絡(luò)，首先給出了兩層網(wǎng)絡(luò)中領(lǐng)導(dǎo)者網(wǎng)絡(luò)之間達(dá)到一致性的充分條件；然后給出了兩層網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)之間達(dá)到一致性的充分條件。文獻(xiàn)［13］設(shè)計(jì)了一個(gè)兩層網(wǎng)絡(luò)，并提出了一種識(shí)別單層結(jié)構(gòu)的新方法。文獻(xiàn)［14］利用 Lyapunov穩(wěn)定性理論，證明了兩層網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)間的同步是可以實(shí)現(xiàn)的，并將結(jié)果推廣到了多層網(wǎng)絡(luò)的情形。

由于受到參數(shù)擾動(dòng)、節(jié)點(diǎn)多樣性等影響，無論是單層網(wǎng)絡(luò)還是多層網(wǎng)絡(luò)往往表現(xiàn)出異質(zhì)的特征。在現(xiàn)實(shí)世界中，異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)更加普遍。例如，在多個(gè)機(jī)器人的協(xié)調(diào)控制中，所有機(jī)器人的參數(shù)可能并不完全相同。生物系統(tǒng)、腦科學(xué)、生理學(xué)等領(lǐng)域也存在大量的異質(zhì)系統(tǒng)。文獻(xiàn)［15］研究了異質(zhì)非線性多智能體系統(tǒng)的一致性跟蹤問題。文獻(xiàn)［16］研究了具有時(shí)變的非線性異質(zhì)多智能體系統(tǒng)的輸出同步問題。文獻(xiàn)［17］研究了由一階和二階積分器組成的異質(zhì)多智能體系統(tǒng)的一致性問題。異質(zhì)多智能體系統(tǒng)的研究逐漸得到學(xué)者的關(guān)注。

由于在異質(zhì)復(fù)雜系統(tǒng)中，不同類型的節(jié)點(diǎn)很難實(shí)現(xiàn)同步或一致性。在固定耦合關(guān)系的情況下，引入外部控制是必要的。對(duì)于非線性復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，已經(jīng)找到了一些有效的控制策略，如脈沖控制［18］、自適應(yīng)控制［19］、間歇控制［20］，以及采樣控制［21］。文獻(xiàn)［22］提出了一種新的間歇脈沖控制方法來實(shí)現(xiàn)具有時(shí)滯多智能體系統(tǒng)的一致性。由于網(wǎng)絡(luò)通訊存在延遲，文獻(xiàn)［23］研究了一個(gè)具有延遲脈沖的非線性系統(tǒng)的跟蹤一致性問題。文獻(xiàn)［24］研究了在周期數(shù)據(jù)同步采樣框架下，非線性智能體的同步問題。文獻(xiàn)［25］設(shè)計(jì)了兩個(gè)自適應(yīng)協(xié)議，以確保所有無向連接下多智能體系統(tǒng)都能以完全分布式的方式達(dá)到同步。本文采用自適應(yīng)控制協(xié)議，與采樣控制相比，它不僅降低了控制成本，而且具有動(dòng)態(tài)調(diào)整的特性。

受到上述討論的啟發(fā)，本文研究了兩層異質(zhì)多智能體系統(tǒng)的自適應(yīng)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)擬一致性問題。主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)如下：首先，研究了異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)，各層節(jié)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)是異質(zhì)的，兩層之間對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)也是異質(zhì)的。其次，設(shè)計(jì)了自適應(yīng)控制以保證系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性。最后，給出了兩層異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)擬一致性的充分判據(jù)。

1 預(yù)備知識(shí)和模型描述

1.1 符號(hào)說明

本文所用的一些符號(hào)介紹：?和?N×N表示實(shí)數(shù)集和N×N維實(shí)矩陣。IN表示N×N維單位陣，1N表示元素全1的列向量，0N表示元素全0的列向量。假設(shè)方陣A是對(duì)稱的，λmin（A）和 λmax（A）分別表示其最小和最大的特征值。矩陣A和B的克羅內(nèi)克積用A?B表示。符號(hào)‖·‖表示歐幾里得范數(shù)。

1.2 圖論與引理

引理 1［26］對(duì)于任意兩個(gè)向量 x，y有

2xTy≤xTx+yTy

引理2［27］令 A∈?n×n是一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣，對(duì)任意的x∈?n，都有

λmin（A）xTx≤xTAx≤λmax（A）xTx

1.3 模型描述

本文討論一個(gè)兩層多智能體系統(tǒng)的點(diǎn)對(duì)點(diǎn)擬一致性問題。兩層網(wǎng)絡(luò)分別是驅(qū)動(dòng)層和響應(yīng)層，它們都有N個(gè)節(jié)點(diǎn)。驅(qū)動(dòng)層不但影響響應(yīng)層的節(jié)點(diǎn)，而且還與其鄰居節(jié)點(diǎn)相互影響。

在驅(qū)動(dòng)層，第i個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者的動(dòng)力學(xué)方程表示為

其中，xi（t）∈ ?n為第 i個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài)，A1i∈?n×n為系統(tǒng)矩陣，i＝1，2，…，N。α ＞0表示耦合強(qiáng)度，P＝［pij］N×N為驅(qū)動(dòng)層的加權(quán)鄰接矩陣。

假設(shè)1 驅(qū)動(dòng)層網(wǎng)絡(luò)中包含一個(gè)有向生成樹。

不失一般性，設(shè)驅(qū)動(dòng)層的第一個(gè)節(jié)點(diǎn)為根節(jié)點(diǎn)，視為整個(gè)驅(qū)動(dòng)層的領(lǐng)導(dǎo)者。在本文中，假設(shè)x1（t）有界，即在任意初始條件下，存在正常數(shù)γ，使得‖x1（t）‖≤γ。

注1 因?yàn)轭I(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài)可能是穩(wěn)定的，或者是周期振蕩的，或者存在一個(gè)混沌吸引子，所以假設(shè)領(lǐng)導(dǎo)者狀態(tài)有界是合理的。

進(jìn)一步地，驅(qū)動(dòng)層的動(dòng)力學(xué)方程可以改寫為

在響應(yīng)層，第i（1≤i≤N）個(gè)跟隨者的動(dòng)力學(xué)方程表示為

注2 本文主要研究具有驅(qū)動(dòng)?響應(yīng)結(jié)構(gòu)的多智能體系統(tǒng)的點(diǎn)對(duì)點(diǎn)擬一致性問題，且假設(shè)兩個(gè)系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是不同的。

定義1 對(duì)于任意初值，如果

其中κ為常數(shù)，那么具有驅(qū)動(dòng)?響應(yīng)結(jié)構(gòu)的多智能體系統(tǒng)（1）和（2）可以實(shí)現(xiàn)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)擬一致性。

為了實(shí)現(xiàn)驅(qū)動(dòng)層（1）和響應(yīng)層（2）之間的點(diǎn)對(duì)點(diǎn)擬一致性，設(shè)計(jì)了如下控制協(xié)議

2 主要結(jié)果

2.1 線性多智能體系統(tǒng)分布式點(diǎn)對(duì)點(diǎn)擬一致性

本節(jié)主要通過控制器（3），實(shí)現(xiàn)兩層多智能體系統(tǒng)（1）和（2）的點(diǎn)對(duì)點(diǎn)擬一致性。分為兩步進(jìn)行分析：第一步證明驅(qū)動(dòng)層內(nèi)部達(dá)到擬一致性；第二步證明響應(yīng)層與驅(qū)動(dòng)層對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)間達(dá)到擬一致性的狀態(tài)。

2.1.1 驅(qū)動(dòng)層網(wǎng)絡(luò)的擬一致性

定理1 在假設(shè)1成立的前提下，如果存在α＞0使得

成立，那么驅(qū)動(dòng)層多智能體系統(tǒng)（1）可以達(dá)到擬一致性。

證明：構(gòu)造如下的Lyapunov函數(shù)

沿著式（4）對(duì) V1（t） 求導(dǎo)得

因此，從引理1可以得到

結(jié)合式（5）和（6）得到

根據(jù)定理1的條件，令

于是，由引理2得

注3 從上述證明中可以得到，在已知‖x1（t）‖≤γ的情況下，驅(qū)動(dòng)層多智能體系統(tǒng)可以達(dá)到擬一致性的狀態(tài)，并且存在ω ＞0使‖x（t）‖≤ω。

2.1.2 驅(qū)動(dòng)層與響應(yīng)層的點(diǎn)對(duì)點(diǎn)擬一致性

式中，H＝［hij］N×N和 L＝［lij］N×N分別為 P 和 Q 對(duì)應(yīng)的拉普拉斯矩陣。

定理2 如果存在α＞0使得

證明：為系統(tǒng)構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù)

沿著式（8）對(duì) V1（t） 求導(dǎo)得

由引理1可得

以上分析表明，兩層線性多智能體系統(tǒng)（1）和（2）可以實(shí)現(xiàn)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)擬一致性。

注4 如果A2i-A1i＝0，則

構(gòu)造同V2（t）的Lyapunov函數(shù)，同上述分析，在定理2成立的條件下同樣可以得到兩層多智能體系統(tǒng)（1）和（2）可以實(shí)現(xiàn)分布式點(diǎn)對(duì)點(diǎn)擬一致性。

結(jié)合定理1和定理2，兩層多智能體系統(tǒng)（1）和（2）可以實(shí)現(xiàn)整個(gè)系統(tǒng)的擬一致性。

定理3 在假設(shè)1成立的前提下，如果定理1和定理2的條件成立，那么兩層多智能體系統(tǒng)（1）和（2）可以實(shí)現(xiàn)擬一致性。

2.2 非線性多智能體系統(tǒng)分布式點(diǎn)對(duì)點(diǎn)擬一致性

本節(jié)討論具有Lipschitz非線性動(dòng)力學(xué)的多智能體系統(tǒng)的擬一致性問題。

在2.1節(jié)研究了線性多智能體系統(tǒng)的分布式點(diǎn)對(duì)點(diǎn)擬一致性。然而，大多數(shù)真實(shí)的節(jié)點(diǎn)服從非線性動(dòng)力學(xué)模型。在本節(jié)中，第i個(gè)（2＜i＜N）領(lǐng)導(dǎo)者的動(dòng)力學(xué)描述為

式中，xi（t）∈ ?n為第 i個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài)，A1i∈?n×n，B1i∈ ?n×n為系 統(tǒng) 矩陣，i＝1，2，…，N。f（·）∈?n為一個(gè)連續(xù)可微的向量函數(shù)，表示第i個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者自己的非線性動(dòng)力學(xué)。α＞0表示耦合強(qiáng)度，在本節(jié)中，假設(shè)x1（t）有界，即在任意初始條件下，存在正常數(shù)γ，使得‖x1（t）‖≤γ。

在響應(yīng)層，第i（1≤i≤N）個(gè)跟隨者的動(dòng)力學(xué)方程表示為

2.2.1 驅(qū)動(dòng)層網(wǎng)絡(luò)的擬一致性

假設(shè)2 存在一個(gè)非負(fù)的常數(shù)δ，使得‖f（xi（t））-f（x1（t））‖≤δ‖xi（t）-x1（t）‖其中 i＝2，3，…，N。

定理4 在假設(shè)1和假設(shè)2成立的條件下，如果存在α＞0使得

成立，那么驅(qū)動(dòng)層多智能體系統(tǒng)（12）可以達(dá)到擬一致性。

由引理1可知

其中，‖f（xi（t））‖≤ν，記

根據(jù)定理4的條件知θ＞0。由引理2得

注5 從上述證明中可以得到，在‖x1（t）‖≤γ的條件下，驅(qū)動(dòng)層網(wǎng)絡(luò)可以達(dá)到擬一致性的狀態(tài)，并且存在χ＞0使得‖x（t）‖≤χ。

2.2.2 驅(qū)動(dòng)層與響應(yīng)層的點(diǎn)對(duì)點(diǎn)擬一致性

定理5 如果存在α＞0使得

證明：構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù)

由Lipschitz條件可知，對(duì)任意正常數(shù)δ＞0可得

沿著式（16）對(duì) V4（t） 求導(dǎo)得

將式（17）代入式（19）可得

根據(jù)定理5的條件，記

因此由引理2可知

因此，兩層非線性多智能體系統(tǒng)分布式點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的擬一致性可以實(shí)現(xiàn)。

結(jié)合定理4和定理5可得定理6。

定理6 在假設(shè)1和假設(shè)2成立的條件下，如果定理4和定理5的條件成立，那么非線性多智能體系統(tǒng)式（12）和（13）可以實(shí)現(xiàn)擬一致性。

3 仿真結(jié)果與分析

例1 考慮有3個(gè)節(jié)點(diǎn)的兩層線性多智能體系統(tǒng)，其驅(qū)動(dòng)層系統(tǒng)如下

響應(yīng)層的系統(tǒng)如下

因此，根據(jù)定理1可以得到

根據(jù)定理2可以得到

根據(jù)定理1，線性多智能體系統(tǒng)的驅(qū)動(dòng)層可以實(shí)現(xiàn)擬一致性。取驅(qū)動(dòng)層的初始狀態(tài)為［1.2，0.9，0.6］′，響應(yīng)層的初始轉(zhuǎn)態(tài)為［3.5，4.6，6］′，仿真結(jié)果如圖1所示。在定理2成立的情況下，線性多智能體系統(tǒng)的驅(qū)動(dòng)層與響應(yīng)層之間也可以實(shí)現(xiàn)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)擬一致性，仿真結(jié)果分別如圖2和圖3所示。

圖1 線性多智能體系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)層 xi（t），i＝1，2，3 的狀態(tài)圖

圖2 線性多智能體系統(tǒng)響應(yīng)層（t），i＝1，2，3的狀態(tài)圖

由定理1和定理2可以得到線性多智能體系統(tǒng)中驅(qū)動(dòng)層與響應(yīng)層間的誤差值能達(dá)到一個(gè)有界的狀態(tài)，如圖3所示。

圖3 線性多智能體系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)層與響應(yīng)層間誤差 ei（t），i＝1，2，3 的狀態(tài)圖

例2 在非線性多智能體系統(tǒng)中，驅(qū)動(dòng)層系統(tǒng)如下

取 B21＝-0.04，B12＝-0.028，B13＝0.015，其他參數(shù)取值與例1相同。

因此，根據(jù)定理4可以得到

根據(jù)定理5可以得到

根據(jù)定理4，非線性多智能體系統(tǒng)的驅(qū)動(dòng)層可以實(shí)現(xiàn)擬一致性，如圖4所示。根據(jù)定理5，非線性多智能體系統(tǒng)的驅(qū)動(dòng)層與響應(yīng)層之間也可以實(shí)現(xiàn)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)擬一致性，分別如圖5和圖6所示。

圖4 非線性多智能體系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)層 xi（t），i＝1，2，3 的狀態(tài)圖

由定理4和定理5可以得到非線性多智能體系統(tǒng)中驅(qū)動(dòng)層與響應(yīng)層間的誤差值能達(dá)到一個(gè)有界的狀態(tài)，如圖6所示。

圖6 非線性多智能體系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)層與響應(yīng)層間誤差 ei（t），i＝1，2，3 的狀態(tài)圖

4 結(jié)束語

本文研究了兩層異質(zhì)多智能體系統(tǒng)的自適應(yīng)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)擬一致性問題。各層節(jié)點(diǎn)間的狀態(tài)是異質(zhì)的，相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)在兩層之間的狀態(tài)也是異質(zhì)的。針對(duì)異質(zhì)線性多智能體系統(tǒng)和異質(zhì)非線性多智能體系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了自適應(yīng)控制協(xié)議，保證了兩層多智能體系統(tǒng)中響應(yīng)層的每個(gè)節(jié)點(diǎn)能夠跟蹤到驅(qū)動(dòng)層相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)，從而實(shí)現(xiàn)了兩層多智能體系統(tǒng)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)擬一致性。在未來的研究中，將致力于更為一般的多層網(wǎng)絡(luò)的同步問題。