郝懷銀

摘要：初中概率計算題主要是古典概型計算題，并且不需要通過計數原理計算，只需要列舉統(tǒng)計一次隨機試驗及某個隨機事件包含的等可能結果數。學生解題困難的根源在于，不能針對隨機試驗的基本過程或要素進行分析，正確得到（表示出）所有等可能出現的結果。對此，教學要重體驗，讓學生感受等可能出現的結果源自隨機試驗的過程（要素）;重表達，讓學生學會不重不漏地列舉出所有等可能出現的結果。

關鍵詞：概率計算;古典概型;學生錯誤;等可能;樹狀圖

概率計算是數學中考的重要考點之一，題目難度適中，但學生在解題中頻頻出錯。本文結合幾道學生錯誤率較高的概率計算題，分析差錯原因，梳理教學對策。

一、初中概率計算題的典型差錯分析

初中概率計算題主要是古典概型計算題，并且不需要（其實是不能夠，因為沒有學習過）通過計數原理計算，只需要列舉統(tǒng)計一次隨機試驗及某個隨機事件包含的等可能結果數。因此，學生解題困難的根源在于，不能針對隨機試驗的基本過程或要素進行分析，正確得到（表示出）所有等可能出現的結果。因而，學生解題的錯誤集中表現在，憑感覺或從其他主觀臆斷的角度分析，得到一些并不等可能出現的結果，并據此進行計算。

最簡單的例子是，同時拋擲兩枚相同的硬幣一次，有學生認為，朝上的一面等可能出現的結果有“兩正”“一正一反”“兩反”三個。實際上，這三個結果不是等可能出現的。正確的解法是，兩枚硬幣整體朝上一面的結果是兩枚硬幣各自朝上一面的結果組合決定的，因此等可能出現的結果有“A正B正”“A正B反”“A反B正”“A反B反”四個。

下面來看兩個復雜一點的例子：

題1把3顆算珠放在計數器的3根插棒上構成一個數字，例如圖1擺放的算珠表示300?，F將3顆算珠任意擺放在這3根插棒上。若構成的數是兩位數，則十位數字為1的概率為。

學生的錯誤解答是：構成兩位數一共有12、21、30三個等可能出現的結果，其中十位數字為1的有1個，所以概率是13。這里出錯的原因是，學生得到的結果不是等可能出現的。正確的解法是，3顆算珠整體擺放的結果是3顆算珠各自擺放的結果組合決定的，因此可以逐個寫出3顆算珠擺放的結果，形成一個整體的結果，從而一一列舉出所有等可能出現的結果：（十，十，十）、（十，十，個）、（十，個，十）、（十，個，個）、（個，十，十）、（個，十，個）、（個，個，十）。因此，一共有7個等可能出現的結果，其中十位數字為1的有3個，所以概率為37。

題2某初中每天對全校學生的午休情況進行檢查，初一、初二、初三3個年級都要被檢查到。某天由甲、乙、丙3名同學檢查，他們來自3個不同的年級，每人只能檢查1個年級。求他們都不檢查自己所在年級的概率。

學生的錯誤解答是：他們要么檢查自己所在的年級，要么不檢查自己所在的年級，所以概率是12。這里出錯的原因同樣是，學生得到的結果不是等可能出現的。正確的解法是，3名同學整體檢查的結果是3名同學各自檢查的結果組合決定的，因此可以基于題目條件的限制，一一列舉出所有等可能出現的結果：（初一，初二，初三）、（初一，初三，初二）、（初二，初一，初三）、（初二，初三，初一）、（初三，初一，初二）、（初三，初二，初一）。再假設3名同學分別來自初一、初二、初三（其他情況下結果數不變），從而找出他們都不檢查自己所在年級的結果：（初二，初三，初一）、（初三，初一，初二）。最終求出概率為26=13。

此外，還有一類錯誤可以歸結為審題不清（或缺少生活常識），沒有注意到題目（或生活實際）已經對隨機試驗可能出現的結果做了限制，即有些結果理論上可能發(fā)生，實際上不可能發(fā)生。例如：

題3小秋打算去某影城看電影。她用手機打開購票頁面，發(fā)現座位已售和可選情況如圖2所示（虛線框內為黃金區(qū)域，其余為普通區(qū)域;深色為已售座位，白色為可選座位）。

（1）小秋獨自觀影，她選擇第4排或第5排的概率是;

（2）小秋約小葉一同觀影，求她選擇的2個同排相鄰的座位恰好都在黃金區(qū)域的概率。

解本題時，有學生沒有注意到深色為已售座位，不能選擇，不能作為一次試驗的結果，因而出現錯誤。

二、基于差錯分析的教學建議

（一）重體驗，讓學生感受等可能出現的結果源自隨機試驗的過程（要素）

概率計算都是隨機試驗（事件）引發(fā)的，隨機試驗有一定的現實性與操作性。因此，教師不能讓學生只憑借想象和思考，抽象地理解隨機試驗，計算有關概率，而要充分設計實踐活動，讓學生親自做隨機試驗，體驗試驗的基本過程及要素，從而真正地感受到等可能出現的結果源自隨機試驗的過程（要素），學會分析概率計算題中等可能出現的結果，認識概率的本質。

比如，設計這樣一道題：2封信投到3個不同的信箱，共有多少種等可能的結果？課前準備2個信封a、b，3個盒子A、B、C，讓學生拿著2個信封去投。學生在操作過程中，會先拿其中一個信封去投，再拿另外一個信封去投，從而能體會到一次試驗是投2封信到3個信箱，2封信都投完，試驗才完成。雖然初中沒有教學分步計數原理，但是，可以通過這個試驗讓學生感受到分步完成。由此，試驗結果就是2封信分別在哪個信箱，列出來應該是（A，A）、（A，B）、（A，C）、（B，A）、（B，B）、（B，C）、（C，A）、（C，B）、（C，C）這9種，它們是等可能出現的。此外，還要引導學生注意到，如果不加區(qū)分，（A，A）和（B，B）、（A，B）和（B，A）等有可能被看成同一個結果，而這樣得到的結果就可能不是等可能出現的，因此，一定要抓住隨機試驗的基本過程或要素，分析所有等可能出現的結果。

（二）重表達，讓學生學會不重不漏地列舉出所有等可能出現的結果

有時，隨機試驗的基本過程比較復雜（要素較多），包含的等可能出現的結果較多。因此，學生即使知道抓住隨機試驗的基本過程或要素進行分析，也很難不重不漏地列舉出所有等可能出現的結果。對此，教師既要引導學生抓住隨機試驗的基本過程或要素逐個有序地思考，也要引導學生借助列表、樹狀圖等方法清楚地表達出結果。一般地，若隨機試驗的基本過程包括兩個步驟（要素），可以用列表或樹狀圖的方法;若隨機試驗的基本過程包括三個及以上步驟（要素），最好用樹狀圖的方法。

比如，上述試題1中的隨機試驗就包括三個步驟（要素），可以用樹狀圖的方法表達出在沒有“構成的數是兩位數”的條件限制下（實際上，此題有第2問，即求構成的數是三位數的概率，就去掉了“構成的數是兩位數”的條件限制）所有等可能出現的結果（如圖3所示）。

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