廣東省佛山市華南師范大學(xué)附屬北滘?qū)W校中學(xué)部(528300)宋波 陳文欽

一、問(wèn)題提問(wèn)

題目(2021年高考全國(guó)乙卷理科第21 題)已知拋物線C:x2= 2py(p ＞0)的焦點(diǎn)為F, 且F與圓M:x2+(y+4)2=1 上點(diǎn)的距離的最小值為4.

(1)求p;

(2)若點(diǎn)P在M上,PA,PB是C的兩條切線,A,B是切點(diǎn),求ΔPAB面積的最大值.

本題圓錐曲線壓軸題,以拋物線和圓為載體,以拋物線阿基米德三角形為背景,考查解析幾何的核心素養(yǎng)用代數(shù)方法解決三角形的面積最值問(wèn)題.此題因涉及的知識(shí)點(diǎn)多,綜合性強(qiáng),運(yùn)算繁雜,難度較大,故思路易有,結(jié)果難求.其中第2 問(wèn)的解法較多,在各種解法中,如何求出經(jīng)過(guò)A,B兩點(diǎn)的切點(diǎn)弦直線方程,是解決問(wèn)題的突破口和關(guān)鍵.若能正確求出切點(diǎn)弦直線方程,就能順利表示出AB弦長(zhǎng)和點(diǎn)P到直線AB的距離,從而輕松構(gòu)建ΔPAB的面積表達(dá)式,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為復(fù)合函數(shù)求最值.

二、解法探究

三、引申推廣

四、應(yīng)用拓展

以上在“定”與“變”是相對(duì)且可以相互轉(zhuǎn)換的解析幾何觀點(diǎn)指導(dǎo)下,從求圓錐曲線的切線出發(fā),推出了一組“殊途同歸”的“新”結(jié)論,對(duì)于有關(guān)高考的一些較難問(wèn)題,得到了一些簡(jiǎn)易的解題方法,從中體會(huì)了導(dǎo)數(shù)求切線斜率的優(yōu)勢(shì)和解析幾何的“設(shè)而不求”、利用方程(組)思想解決問(wèn)題的本質(zhì)和精髓.事實(shí)上,上述結(jié)論的推導(dǎo)和相關(guān)高考試題的簡(jiǎn)便解答,都引入和應(yīng)用了極點(diǎn)、極線和阿基米德三角形的有關(guān)性質(zhì),所以在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)文化因素的融入,不僅能夠激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,還能從中豐富解題方法,進(jìn)而提高解題的效率和精度,達(dá)到事半功倍的效果.