趙旭楷 劉兆霆

（杭州電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院，浙江杭州 310018）

1 引言

系統(tǒng)辨識［1-2］的目的就是利用數(shù)學(xué)方法和準(zhǔn)則從未知系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)中擬合出該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，這種擬合常常具體化為對模型參數(shù)的估計(jì)，在工業(yè)［3］、人工智能［4］和醫(yī)療器械［5］等領(lǐng)域有很廣泛的應(yīng)用。依據(jù)系統(tǒng)的復(fù)雜性和模型的準(zhǔn)確性，將系統(tǒng)辨識分為線性系統(tǒng)辨識和非線性系統(tǒng)辨識。本論文主要研究具有Hammerstein 模型結(jié)構(gòu)［6］的非線性系統(tǒng)自適應(yīng)辨識問題。Hammerstein模型由動(dòng)態(tài)線性子系統(tǒng)和靜態(tài)非線性子系統(tǒng)級聯(lián)而成，可以用來表示實(shí)際工業(yè)應(yīng)用中大部分的非線性系統(tǒng)，如精餾塔［7］、PH 中和過程［8］、聚合反應(yīng)過程［9］等，因此，Hammerstein 模型在工業(yè)上有很重要的應(yīng)用。

遞推最小二乘（RLS）算法［10-11］是系統(tǒng)辨識中常用的一種算法，該算法能夠通過調(diào)節(jié)遺忘因子來平衡算法在收斂速度、跟蹤能力、穩(wěn)定性等方面的性能。傳統(tǒng)RLS 算法的遺忘因子一般都是固定且預(yù)先設(shè)定的，不能根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行調(diào)節(jié)以使算法達(dá)到最佳的性能；因此，更加需要一種能夠通過自適應(yīng)調(diào)節(jié)進(jìn)一步改進(jìn)算法性能的變遺忘因子RLS 算法［12-13］。然而，RLS 算法一般只適用于線性系統(tǒng)，無法直接應(yīng)用于Hammerstein 系統(tǒng)的辨識。

為了克服這個(gè)問題，本論文將Hammerstein 系統(tǒng)的系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行映射變換，使得變換后的系統(tǒng)參數(shù)與Hammerstein 系統(tǒng)的輸入輸出構(gòu)成一個(gè)線性關(guān)系，從而使傳統(tǒng)RLS 算法能夠適用于該系統(tǒng)。另外，為了進(jìn)一步提高對Hammerstein 系統(tǒng)辨識的性能，我們提出了一種變遺忘因子遞推最小二乘（VFF-RLS）算法。通過實(shí)驗(yàn)分析，VFF-RLS 算法比傳統(tǒng)RLS 算法具有更好的跟蹤能力、更佳的收斂速度和穩(wěn)定性，能夠更有效地實(shí)現(xiàn)對非線性Hammerstein系統(tǒng)辨識。

2 非線性系統(tǒng)模型

如圖1所示，基于Hammerstein 模型的非線性系統(tǒng)由動(dòng)態(tài)線性子系統(tǒng)和靜態(tài)非線性子系統(tǒng)級聯(lián)而成，其中動(dòng)態(tài)線性子系統(tǒng)是一個(gè)有限脈沖響應(yīng)系統(tǒng)，而靜態(tài)非線性子系統(tǒng)是一個(gè)多項(xiàng)式模型。該系統(tǒng)的輸出y（k）與輸入u（k）關(guān)系可以表示為：

其中x（k）是中間變量，v（k）是測量噪聲，假設(shè)m和n是已知的且a0=1。

論文的主要目的是利用獲得的輸入與輸出數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)對上述Hammerstein 非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)辨識，即對Hammerstein 系統(tǒng)參數(shù)｛a1，a2，…，an｝和｛b1，b2，…，bm｝自適應(yīng)估計(jì)。

3 Hammerstein非線性系統(tǒng)的RLS算法

為了提高算法的收斂性，我們考慮采用遞推最小二乘（RLS）算法。根據(jù)信號模型（1），系統(tǒng)參數(shù)的估計(jì)問題可以表述為下列加權(quán)優(yōu)化問題：

其中λ（0＜λ≤1）是RLS 算法的遺忘因子。然而，問題（2）是一個(gè)非線性且非凸問題，無法直接利用傳統(tǒng)的RLS 算法實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)參數(shù)估計(jì)。為此，我們考慮將問題（2）映射為一個(gè)線性且凸的優(yōu)化問題。定義a=[a0，a1，...，an]T，b=[b1，...，bm]T，H∈?（n+1）×m，其中矩陣H中的元素有hi，j=um(k-j)，i=0，…，n和j=0，…，m-1 分別代表矩陣H的行和列。利用這些定義并根據(jù)模型（1），我們有：

根據(jù)矩陣跡Tr（*）的性質(zhì)，可以得到bTHa=Tr(bTHa)=vec(abT)Tvec(H)，其中vec 表示向量化運(yùn)算，因此：

其中w=vec(abT)，h(k)=vec(H)，v（k）是系統(tǒng)噪聲。根據(jù)式（4）可知，問題（2）可以轉(zhuǎn)化為：

該問題是一個(gè)關(guān)于w的線性且凸的優(yōu)化問題。參數(shù)w與參數(shù)｛a1，a2，…，an｝和｛b1，b2，…，bm｝的存在下列映射關(guān)系：

因此，結(jié)合傳統(tǒng)RLS 算法和問題（5），Hammerstein非線性系統(tǒng)的RLS 算法（命名為HRLS 算法）可以表述如下

4 VFF-HRLS算法

在上述HRLS 算法中，遺忘因子是一個(gè)預(yù)先設(shè)定的固定值，無法通過調(diào)節(jié)遺忘因子使算法達(dá)到最佳性能，針對這個(gè)問題，本論文提出了一個(gè)變遺忘因子Hammerstein 非線性系統(tǒng)的RLS（VFF-HRLS）算法，它具有快速跟蹤和收斂能力，同時(shí)保證較高的估計(jì)精度。

定義在自適應(yīng)濾波器中后驗(yàn)誤差為：

因此，將式（7）和式（9）代入式（11）中，可以得到后驗(yàn)誤差和先驗(yàn)誤差的關(guān)系式為：

已知HRLS算法的正則方程［14］為：

其中，Φ(k)=。將Φ（k）和θ（k）的值代入到式（13），則HRLS 算法的正則方程可以改寫為：

假設(shè)在遺忘因子λ是個(gè)非常接近1的值，k也足夠大的情況下，有：

其中，E｛·｝表示數(shù)學(xué)期望。因此根據(jù)式（15），式（14）可以改寫為：

其中q(k)=hT(k)p(k-1)h(k)，E{e2(k)}=是先驗(yàn)誤差信號的功率。對于公式（17），若輸入信號和誤差信號不相關(guān)，則只有當(dāng)自適應(yīng)濾波器開始收斂到穩(wěn)態(tài)解時(shí)，式（17）成立。而且遺忘因子具有確定性和時(shí)間依賴性，通過對式（17）中的一元二次方程進(jìn)行求解，可以得到一個(gè)遺忘因子表達(dá)式：

其中1＜γ＜2。否則，當(dāng)，遺忘因子可通過下面的公式進(jìn)行調(diào)節(jié)：

其中，ξ是一個(gè)極小的正常數(shù)，為了防止分母為零。

5 性能仿真分析

本文通過一系列的MATLAB 仿真實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證提出的VFF-HRLS 算法對于Hammerstein 系統(tǒng)辨識的有效性和可靠性。對于估計(jì)值而言，用均方偏差（MSD）來定義其性能指標(biāo)：

系統(tǒng)的輸入信號為一個(gè)高斯白噪聲信號，系統(tǒng)噪聲選擇一個(gè)均值為零，方差為0.8 的白噪聲。設(shè)置VFF-HRLS算法的待估參數(shù)的真實(shí)值a0=［1，0.9，1.1，1.3］T，b0=［0.8，0.5，1.2］T。算法中出現(xiàn)的參數(shù)分別設(shè)置為m=3，n=3，λmax=0.999999，Kα=3，Kβ=2Kα。在確定遺忘因子時(shí)，將HRLS算法確定為0.98，對應(yīng)45000 次的迭代，脈沖響應(yīng)在迭代次數(shù)為15000 次和30000 次會發(fā)生變化，以下描述的所有結(jié)果均為通過100次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)平均后得到。仿真結(jié)果如圖2所示。

圖2 給出了HRLS 算法和VFF-HRLS 算法在Hammerstein 系統(tǒng)里進(jìn)行系統(tǒng)辨識的性能比較。觀察圖2（a）和圖2（b）可以看出VFF-HRLS 算法比HRLS 算法估計(jì)精度更高，算法的跟蹤和收斂能力也更好。

圖3 描述了在迭代過程中遺忘因子λ（k）的變化，在達(dá)到穩(wěn)態(tài)解后λ（k）均等于λmax，只有在第15000 次和第30000 次脈沖響應(yīng)發(fā)生變化時(shí)，λ（k）才轉(zhuǎn)向較低值，以適應(yīng)系統(tǒng)參數(shù)的改變，并加快收斂。

接下來，我們進(jìn)一步驗(yàn)證系統(tǒng)噪聲對VFFHRLS 算法的影響。設(shè)置了三組對比試驗(yàn)，設(shè)置噪聲方差分別為=[0.2，1，2]，遺忘因子分別為λ=［0.6，0.8，0.99］，待估參數(shù)的真實(shí)值a0=［1，0.8，1.1，1.4］T，其余條件與圖2 實(shí)驗(yàn)的一致。仿真結(jié)果列在下方。

從圖4、圖5、圖6 可以看出，遺忘因子越大，HRLS 算法的均方偏差越小，HRLS 算法的估計(jì)精度變高，但與VFF-HRLS 算法相比，VFF-HRLS 算法的估計(jì)精度明顯優(yōu)于HRLS算法。

結(jié)合圖4、圖5、圖6 分析不同噪聲方差條件對兩種算法均方偏差產(chǎn)生的影響，觀察圖4（a）、圖5（a）、圖6（a）可以看出，在遺忘因子相同的情況下，系統(tǒng)噪聲方差越大，VFF-HRLS 算法與HRLS 算法的均方偏差增大，VFF-HRLS 算法與HRLS 算法的估計(jì)精度減小。而且HRLS算法的均方偏差始終在VFF-HRLS 算法的上方，VFF-HRLS 算法的估計(jì)性能要優(yōu)于HRLS算法的估計(jì)性能。

最后，我們驗(yàn)證VFF-HRLS 算法的跟蹤性能。設(shè)置m=3，n=3，則待估參數(shù)a=［a0，a1，a2，a3］T，b=［b1，b2，b3］T。設(shè)置總共迭代次數(shù)為6000 次，迭代次數(shù)前3000次中，設(shè)置待估參數(shù)的真實(shí)值為a0=［1，0.2，0.5，0.8］T，b0=［0.85，0.55，0.25］T；迭代次數(shù)后3000 次中，對待估參數(shù)的真實(shí)值進(jìn)行改變，設(shè)置參數(shù)a的真實(shí)值為a0=［1，0.4，0.7，1］T，設(shè)置參數(shù)b的真實(shí)值為b0=［0.65，0.35，0.05］T，其余條件與圖2實(shí)驗(yàn)的一致。由于系統(tǒng)已知a0=1，所以就只對參數(shù)a中后三個(gè)數(shù)進(jìn)行自適應(yīng)估計(jì)，仿真結(jié)果如圖7、圖8所示。

從圖7、圖8 可以看出，提出的算法對于時(shí)變參數(shù)也有較好的估計(jì)；當(dāng)參數(shù)的真實(shí)值發(fā)生變化時(shí)，參數(shù)的估計(jì)值也能很快地跟蹤這種變化，從而保證與真實(shí)參數(shù)有較小的估計(jì)誤差，體現(xiàn)了算法具有良好的跟蹤性能。

6 結(jié)論

本文研究了非線性Hammerstein 系統(tǒng)辨識問題，提出了一種變遺忘因子遞推最小二乘（VFFHRLS）算法。該算法將Hammerstein 系統(tǒng)的系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行線性映射變換，從而將該非線性系統(tǒng)辨識問題轉(zhuǎn)化為線性系統(tǒng)辨識問題；同時(shí)，為了進(jìn)一步提高算法的性能，論文引入了變遺忘因子。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，提出的VFF-HRLS 算法具有較好的估計(jì)精度和跟蹤性能，能較好地解決非線性Hammerstein 系統(tǒng)辨識問題。