余俊鵬，吳偉東，孫佳明，滿益云，沈 剛

1. 廣東工業(yè)大學土木與交通工程學院，廣東 廣州 510006； 2. 錢學森空間技術實驗室，北京 100094

有理函數(shù)模型(rational function model,RFM)自1999年作為商業(yè)遙感衛(wèi)星IKONOS-2的影像定位模型推出后，因其通用性強、方便實用等優(yōu)點，很快被廣泛應用，成為衛(wèi)星遙感影像處理的主要幾何模型[1]。由于RFM本質上是遙感成像幾何的一種數(shù)學擬合模型，受影像內外方位元素觀測誤差影響，RFM直接定位結果存在系統(tǒng)誤差。為滿足測圖精度要求，學者們分別提出了RFM的像方平差和物方平差方案[2]。目前以像方平差方案較為常用[3]，該方案保持RFM模型參數(shù)(rational polynomial coefficients,RPC)不變，通過附加像方定位系統(tǒng)誤差補償項并對其進行平差求解，使影像定位精度顯著提高[4-9]。

近年來，隨著遙感衛(wèi)星的數(shù)量和類型增多，RFM平差方法隨之不斷優(yōu)化，以適應不同場景的數(shù)據(jù)處理需求。文獻[10]針對弱交會條件下衛(wèi)星遙感影像區(qū)域網平差無法正確求解的問題,通過引入數(shù)字高程模型作為高程約束，實現(xiàn)近似垂直觀測影像的高精度平面定位。文獻[11]利用同軌道長條帶衛(wèi)星影像的系統(tǒng)誤差分布特性，提出基于軌道約束的區(qū)域網平差方法，減少了平差所需控制點。文獻[12]對于大規(guī)模區(qū)域網平差問題，利用RPC生成虛擬控制點，并將其作為帶權觀測值引入平差模型，克服了在無控制點條件下平差精度不穩(wěn)定的問題。文獻[13]提出一種利用平均高程面的RFM區(qū)域網平差模型，改進了國產靜止軌道遙感衛(wèi)星高分四號影像的內部拼接精度。文獻[14]提出采用三階多項式進行像方系統(tǒng)誤差補償，提高了資源三號立體影像定位精度。

盡管RFM平差的實現(xiàn)方法因具體需求而異，但其平差模型都采用一般多項式作為附加項，對像方系統(tǒng)誤差的補償效果基本相同。而衛(wèi)星傳感器成像受到姿軌誤差、平臺顫振、大氣折光、鏡頭畸變、焦面形變及內部拼接等各種因素影響[15-19]，實際的像方系統(tǒng)誤差相當于一種復雜畸變。由于一般多項式理論上無法對整個像幅范圍內的多種畸變進行精確擬合，在某些點位可能殘存較大誤差，導致定位結果的精度和可靠性降低。對此，本文根據(jù)傅里葉級數(shù)的逼近特性，提出一種可適應符合連續(xù)條件下任意形式畸變的RFM平差方法，并通過模擬和真實數(shù)據(jù)的平差試驗，驗證了該方法的可行性和有效性。

1 平差模型

1.1 RFM基本形式

RFM是星載傳感器成像幾何的一種通用數(shù)學表達式，將成像目標的像點坐標(R,C)表示為物方坐標(B,L,H)的多項式的比值，如式(1)所示

(1)

式中，(r,c)為正則化的像點坐標；(φ,λ,h)為正則化的物方坐標，物方坐標可取地心直角坐標、大地坐標或地圖投影坐標。正則化公式為

(2)

式中，Roff、Rscale、Coff、Cscale為像方坐標的正則化參數(shù)；Boff、Bscale、Loff、Lscale、Hoff、Hscale為物方坐標的正則化參數(shù)。經正則化后，像方坐標和物方坐標數(shù)值范圍為(-1.0～+1.0)，以減小兩者轉換計算誤差。P1、P2、P3、P4均為一般多項式，最高不超過3次，形式為

Pi(φ,λ,h)=ai1+ai2λ+ai3φ+ai4h+ai5λφ+

ai6λh+ai7φh+ai8λ2+ai9φ2+

ai10h2+ai11φλh+ai12λ3+ai13λφ2+

ai14λh2+ai15λ2φ+ai16φ3+

ai17φh2+ai18λ2h+ai19φ2h+ai20h3

(3)

式中，aij(j=1,2,…，20)為多項式系數(shù)，即RPC參數(shù)，其中a21、a41取常數(shù)1。RPC參數(shù)通常由地形無關算法得到，即先利用影像定向元素構建嚴格成像幾何模型，并在影像覆蓋區(qū)域范圍內生成虛擬控制格網，再根據(jù)大量均勻分布的虛擬控制點坐標求解RPC參數(shù)。

1.2 RFM平差模型

1.2.1 觀測方程

受衛(wèi)星影像定向元素觀測值的誤差影響，RFM像方定位結果存在系統(tǒng)誤差。像點坐標觀測值為

(4)

式中，(R′,C′)為利用RFM得到的像點坐標計算值；(ΔR,ΔC)為像方系統(tǒng)誤差補償項。理論上，(ΔR,ΔC)的函數(shù)形式越符合實際誤差分布，其補償效果越好，常規(guī)采用的一般多項式補償項為[20-21]

(5)

式中，J為多項式階數(shù)；ek、fk為多項式系數(shù)；p、q分別為各項中R、C的冪次數(shù)。二階一般多項式如式(6)所示

(6)

而一階一般多項式即為仿射變換式[22]為

(7)

大量試驗表明，e0、f0可以分別吸收衛(wèi)星沿飛行方向和垂直飛行方向的外方位元素及像主點偏移系統(tǒng)誤差，e1、e2和f1、f2可吸收主距變化引起的誤差。但對于影像中存在的復雜畸變，唯有尋求相適應的補償函數(shù)才能進一步有效消除。

根據(jù)高等數(shù)學理論，傅里葉級數(shù)具有全局逼近特性，可趨近于二維區(qū)間內符合連續(xù)條件的任意函數(shù)[23]。由此可知，以二元傅里葉多項式作為像方系統(tǒng)誤差補償項，能夠精確描述影像平面上存在的多種復雜畸變[24]，其形式為

(8)

(9)

(10)

式中，w為影像寬度；h為影像高度；M、N為階數(shù)。傅里葉多項式階數(shù)越高，對畸變的擬合精度越高。當M=N=1時，傅里葉補償項簡化為常數(shù)項

(11)

當M=N=2時，傅里葉補償項含16個待求參數(shù)，形式為

(12)

當M=N=3時，傅里葉補償項參數(shù)增加至36個，形式為

(13)

傅里葉補償項參數(shù)之間嚴格正交，有利于平差求解。但多項式階數(shù)過高仍可能產生過度參數(shù)化問題[25]，實際處理時應根據(jù)影像畸變復雜度及平差條件，選取合適的階數(shù)以滿足定位精度要求。

1.2.2 平差計算

在像點坐標觀測方程中，設像方系統(tǒng)誤差補償項ΔR、ΔC分別包含c、d個補償項系數(shù)，對式(4)線性化可得到光束法平差的誤差方程為

(14)

將式(14)寫成矩陣形式

V=At+Bx-l

(15)

式中，V為像點坐標觀測值殘差向量；t=[Δe0Δe1…Δec-1Δf0Δf1…Δfd-1]T為補償項系數(shù)T的增量向量；x=[ΔBΔLΔH]T為目標點的物方空間坐標X的增量向量，對于控制點可令x=0；A、B為系數(shù)矩陣，即對未知數(shù)的偏導數(shù)矩陣；l=[R-R0C-C0]T為常數(shù)項，其中(R,C)為像點坐標觀測值，(R0,C0)為利用未知數(shù)近似值代入式(4)計算得到的像點坐標。計算誤差方程各項數(shù)值時，RFM補償項系數(shù)初值T0設為0，各目標點的物方空間坐標初值X0通過基于RFM的立體定位方法逐點計算得到，具體計算過程參見文獻[2]。

由式(15)根據(jù)最小二乘平差原理建立如下法方程，用于求解補償項系數(shù)及待定目標點的物方坐標增量

(16)

平差求解需要迭代進行。第1次求解采用一階多項式補償項并更新RPC參數(shù)，隨后可采用傅里葉補償項逐步消除殘余系統(tǒng)誤差。在完成第s(s>1)次求解后，對未知數(shù)進行修正并將其作為下次求解的未知數(shù)初值，即Ts+1=Ts+t、Xs+1=Xs+x，再重新計算未知數(shù)增量t、x，直至平差過程收斂。

2 試驗及結果分析

本文先通過仿真衛(wèi)星影像數(shù)據(jù)，對附加傅里葉補償項的RFM平差方法進行測試，驗證新方法的畸變補償性能，進而通過兩組真實衛(wèi)星影像數(shù)據(jù)的平差試驗，比較新方法與常規(guī)方法的實際處理效果。

2.1 仿真試驗

仿真數(shù)據(jù)以衛(wèi)星遙感影像的成像幾何模型為基礎，按設定的衛(wèi)星立體傳感器成像參數(shù)及畸變模型參數(shù)構建物像幾何關系，生成覆蓋一定區(qū)域范圍的地面點坐標及其像點坐標。對各項攝影測量模擬“真值”引入隨機誤差后作為待平差觀測數(shù)據(jù)。具體仿真參數(shù)見表1。

表1 衛(wèi)星立體遙感影像仿真參數(shù)Tab.1 Simulation parameters of satellite stereo remote sensing images

表2 對仿真數(shù)據(jù)用不同平差方法得到的物方定位精度Tab.2 Geopositioning accuracy results of simulation data obtained by different adjustment methods m

在無畸變情況下，像方定位系統(tǒng)誤差完全由影像內外方位元素誤差所致。采用一階多項式補償項進行平差后物方定位中誤差從平面26.7 m、高程14.9 m分別減小為平面0.20 m、高程0.52 m，平面精度相當于像方0.25個像元大小，接近于像點觀測精度0.2像元，說明一階多項式對于消除影像內外方位元素的誤差影響十分有效。本文方法與常規(guī)方法定位精度相當，表明傅里葉多項式也可以有效補償影像內外方位元素誤差造成的定位誤差。

在引入二次模擬畸變后，從理論和試驗結果看采用二階多項式補償項平差效果最優(yōu)，因此可以以其作為其他補償方法的評價基準。由表2看出，隨著模擬畸變的增大，一階多項式補償效果呈現(xiàn)下降趨勢。當影像邊緣畸變?yōu)?像元時，物方定位中誤差為平面0.39 m、高程1.79 m。定位中誤差隨畸變同步擴大，當畸變增大至20像元時，平差定位中誤差為平面1.28 m、高程6.91 m，說明該方法無法完全消除二次畸變，且原畸變越大，平差后的殘余系統(tǒng)誤差也越大。當采用附加傅里葉補償項的平差方法時，平面定位精度基本上不再受畸變大小影響，平差后均在0.3像元以內，接近像點觀測精度水平。高程定位精度隨畸變增大而緩慢下降，平差后保持在0.8 m即像元分辨率以內。以三階傅里葉補償項為例，在邊緣畸變20像元的情況下，本文方法比常規(guī)方法的平面精度提高(1.28-0.23)/1.28≈82%，高程精度提高(6.91-0.60)/6.91≈91%，表明傅里葉補償項對二次畸變的擬合補償能力有顯著提高，且接近于最優(yōu)水平。

理論上，傅里葉多項式階數(shù)越高，對畸變擬合補償效果越好。但從仿真數(shù)據(jù)的平差結果看，采用過高的階數(shù)對提高精度作用不大，反而可能因為過度參數(shù)化導致物方坐標求解精度下降。本文在實際數(shù)據(jù)處理中采用附加二階和三階傅里葉補償項的平差模型。

2.2 實際數(shù)據(jù)驗證

試驗數(shù)據(jù)選取兩組以不同立體觀測方式獲取的衛(wèi)星遙感影像。數(shù)據(jù)1為北美地區(qū)快鳥Basic級同軌立體影像范例數(shù)據(jù)(圖1)，數(shù)據(jù)2為3景我國河北遷西地區(qū)SPOT-5 HRG 1A級異軌影像數(shù)據(jù)(圖3)。兩組數(shù)據(jù)的具體參數(shù)見表3，兩組數(shù)據(jù)對應的影像及地面立體覆蓋情況如圖1—圖4所示。

圖1 快鳥立體影像縮略圖Fig.1 Thumbnail of Quickbird stereo images

圖2 快鳥影像立體覆蓋及控制點分布Fig.2 Stereo coverage and control point distribution map of Quickbird images

圖3 SPOT-5立體影像縮略圖Fig.3 Thumbnail of SPOT-5 stereo images

圖4 SPOT-5影像立體覆蓋及控制點分布Fig.4 Stereo coverage and control point distribution map of SPOT-5 images

表3 衛(wèi)星遙感影像試驗數(shù)據(jù)參數(shù)Tab.3 Parameters of experimental satellite remote sensing image data

兩組數(shù)據(jù)在不同控制點條件下，分別采用一般多項式和傅里葉多項式補償項的RFM平差定位結果見表4、表5。

表4 快鳥影像平差后定位精度Tab.4 Geopositioning accuracy of Quickbird images obtained by different adjustment methods m

表5 SPOT-5影像平差后定位精度Tab.5 Geopositioning accuracy of SPOT-5 images obtained by different adjustment methods m

從試驗結果分析得出：

(1) 采用一階多項式補償項(方法1)適用于少量控制點情形，平差后定位精度顯著提高。在6個控制點情況下，快鳥影像平差后定位精度從平面9.24 m、高程8.77 m提高到平面1.18 m、高程0.84 m，按地面分辨率0.8 m計，分別相當于1.5、0.8個像元。然而在使用更多控制點情況下，該方法難以進一步提高定位精度，投入全部控制點時平面精度僅為1.4個像元。對于SPOT-5影像，在使用6個控制點情況下定位精度從平面7.78 m、高程9.27 m提高到平面4.38 m、高程3.12 m，按地面分辨率5.5 m計，分別相當于0.8、0.6個像元，使用全部控制點平差后定位精度提升至平面0.7像元、高程0.5像元，提升效果有限。對比兩組數(shù)據(jù)的平差結果，由于SPOT-5影像畸變較小，且測區(qū)地表相對平坦，定位精度達到了子像素水平。快鳥衛(wèi)星由于軌道高度較低，影像分辨率高，內部畸變更為復雜。對快鳥影像用一階多項式補償后未達到子像素級定位精度，應系由殘余畸變系統(tǒng)誤差所致。

(2) 采用二階多項式補償項(方法2)適用于充足控制點情形，可進一步消除畸變系統(tǒng)誤差，平差后定位精度較高。當所用控制點數(shù)少于6時，該方法由于基準不足導致解算不穩(wěn)定，平差結果無效。在6個控制點情況下，對快鳥影像平差后的高程精度從0.84 m提高至0.76 m，但平面精度從1.18 m下降至1.26 m；SPOT-5影像的平面精度4.38 m提高至3.77 m，但高程精度從3.12 m下降至3.36 m。說明少量控制點情況下，方法2的實際處理效果不穩(wěn)定，定位精度相比方法1也無優(yōu)勢。而在控制點充足、平差計算穩(wěn)定性得到保證的情況下，借助二階多項式更強的畸變擬合能力，方法2較方法1定位精度有明顯提高。

(3) 采用傅里葉多項式補償項(方法3)適用于充足控制點情形，對復雜畸變的擬合補償性能最優(yōu)，平差后定位精度最高。在6個控制點情況下，用方法3對快鳥影像平差后的平面和高程定位精度優(yōu)于方法1和方法2，而對SPOT-5影像平差后的定位精度則較差，說明少量控制點下方法3效果不穩(wěn)定。而在控制點充足情況下，方法3對兩組數(shù)據(jù)的處理精度均優(yōu)于方法1和方法2，若采用三階傅里葉補償項則優(yōu)勢更加明顯。在投入全部控制點情況下，方法3對快鳥影像平差的平面精度比方法1、2可分別提高31%和6%,高程精度可分別提高22%和5%，達到子像素級精度水平；對于SPOT-5影像，盡管常規(guī)方法平差結果已達到子像素級精度，但方法3得到的平面精度比方法1、2分別提高10%、3%,高程精度分別提高10%、7%。在3種方法中，方法3具有最高的定位精度，表明傅里葉多項式能夠最有效地擬合并消除復雜畸變影響。

3 結 語

針對含復雜畸變的衛(wèi)星遙感影像高精度幾何處理問題，本文基于傅里葉級數(shù)的逼近特性，提出了一種附加二元傅里葉多項式補償項的RFM平差方法。本文方法具有像方平差方案方便實用的特點，通過采用二元傅里葉多項式代替常規(guī)一般多項式作為殘余系統(tǒng)誤差補償項，可以更加精確地擬合遙感影像中存在的復雜畸變。仿真試驗結果表明，本文方法不僅能夠消除由于影像內外方位元素誤差造成的像方定位系統(tǒng)誤差，同時對于不同大小的畸變有很好的擬合補償能力，平差后平面定位精度接近于像點觀測精度的水平。最后對衛(wèi)星遙感影像的試驗結果證實，在充足控制點的條件下，附加三階傅里葉補償項的RFM平差定位精度明顯優(yōu)于附加一般多項式補償項的常規(guī)方法，其中對亞米級分辨率快鳥立體影像的平差定位精度可達到子像素級水平。二元傅里葉多項式作為一種畸變擬合性能優(yōu)越的系統(tǒng)誤差補償模型，理論上具備通用性，不僅適用于高分辨率衛(wèi)星遙感影像的畸變校正，后續(xù)可進一步測試應用于航空和近景影像的畸變校正。