江西師范大學(xué)附屬中學(xué) (330027) 張 璀

1 試題呈現(xiàn)

圖1

(2021年全國(guó)乙卷·理科第21題)已知拋物線C：x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，且F與圓M：x2+(y+4)2=1上的點(diǎn)的最短距離為4.如圖1

(1)求p；

(2)若點(diǎn)P在M上，PA,PB為C的切線，切點(diǎn)為A,B，求ΔPAB面積的最大值.

2 解法探究

該題形式上以拋物線中的阿基米德三角形為背景，結(jié)構(gòu)雖簡(jiǎn)單、明了，但內(nèi)涵豐富、綜合性強(qiáng)、解法靈活，考查了拋物線和圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系、三角形的面積等知識(shí)，考查了學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力及轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).第(1)問(wèn)屬于常規(guī)問(wèn)題，答案是p=2，第(2)問(wèn)是一道求三角形面積最大值問(wèn)題，內(nèi)涵豐富，本文主要對(duì)該問(wèn)予以探析與拓展：

評(píng)注：該法也屬于同構(gòu)方程法，區(qū)別于解法2同構(gòu)的元素為斜率，解法3同構(gòu)的元素為坐標(biāo)，利用“兩點(diǎn)確定一條直線”的原理，得到直線AB方程為x0x-2y-2y0=0，兩種不同的同構(gòu)法，異曲同工之效.

評(píng)注：該法通過(guò)引進(jìn)三角函數(shù)設(shè)參數(shù)方法，將直線AB的方程及ΔPAB面積的給表示出來(lái)，相比前幾種方法更好地簡(jiǎn)化了運(yùn)算量，這一類方法尤其是在研究直線與橢圓的位置關(guān)系中優(yōu)勢(shì)比較明顯.

3 變式訓(xùn)練

變式1 已知拋物線C：x2=4y，P為直線y=x-2上一點(diǎn)，PA,PB為C的切線，切點(diǎn)為A,B，求ΔPAB面積的最小值.

4 一般化拓展

已知拋物線C：x2=2py(p>0)，C上兩不同點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(x1,y1)，(x2,y2)，以A,B兩點(diǎn)為切點(diǎn)的切線交于點(diǎn)P，通過(guò)以上探究，我們不難得到阿基米德三角形PAB的如下性質(zhì)：