黃岳竹, 尹安東, 王笑樂, 谷先廣,3

(1.合肥工業(yè)大學 汽車與交通工程學院,安徽 合肥 230009;2.安徽農業(yè)大學 工學院,安徽 合肥 230036; 3.太航常青汽車安全系統(蘇州)股份有限公司,江蘇 蘇州 215100)

鯨魚優(yōu)化算法(whale optimization algorithm,WOA)是文獻[1]提出的一種元啟發(fā)式算法,具有初始參數少、原理簡單且易于實現等優(yōu)點。相較于粒子群算法(particle swarm optimization,PSO)[2]、灰狼優(yōu)化算法(grey wolf optimizer,GWO)[3]、差分進化 (differential evolution,DE)[4]等經典算法,WOA具有更高的收斂精度和收斂速度,但在處理復雜的非線性問題時,WOA仍然可能因搜索力度不足而過早收斂于局部極值。

因此,研究人員采取了一些措施來改善算法性能。受PSO算法中慣性權重的啟發(fā),文獻[5]利用非線性權重來加強算法的探索和開發(fā),同時引入一種分段式非線性收斂因子來平衡全局搜索與局部開發(fā);文獻[6]利用自適應位置權重來改進算法的迭代策略,并通過自適應概率閾值來增強算法的靈活性;考慮到混沌映射的遍歷性,文獻[7]和文獻[8]分別利用Logistic映射和Tent映射從不同角度來優(yōu)化算法的搜索策略,混沌搜索能遵循其自身“規(guī)律”不重復地遍歷所有狀態(tài),但在大空間、多變量的優(yōu)化搜索上可能出現搜索不到最優(yōu)解的情況;受混合算法的啟發(fā),文獻[9]在WOA算法中嵌入模擬退火法,以加強算法的局部尋優(yōu)能力;文獻[10]基于壽命機制在WOA中引入了一個具有較強搜索能力的差分進化算子。實驗結果證明算法融合有利于性能優(yōu)化,甚至在某些問題上實現“1+1>2”的效果,但會增加計算復雜度。

綜合來說,針對WOA的局限性,研究人員已經提出一些建設性的建議,但如何進一步提升算法的尋優(yōu)速度和尋優(yōu)精度仍需更深入的研究。為此,本文基于自適應權重、反向學習策略和相關性指標,提出一種改進的鯨魚優(yōu)化算法(modified whale optimization algorithm,MWOA)。通過4個基準測試函數對MWOA和WOA、基于非線性收斂因子和慣性權重的鯨魚優(yōu)化算法(whale optimization algorithm with nonlinear weight and convergence factor,WCLWOA)[5]、基于自適應參數及小生境技術的改進鯨魚優(yōu)化算法(whale optimization algorithm based on adaptive parameters and niche,APNWOA)[6]、DE、PSO、GWO算法的性能測試和比較,證明了MWOA算法的可行性和競爭性。最后為測試MWOA在實際工程中的應用價值,建立了正面100%剛性壁碰撞工況下某款汽車的乘員約束系統模型,利用PSO支持向量回歸(PSO-support vector regression,PSO-SVR)模型技術[11]建立相應的近似模型,采用MWOA算法對乘員約束系統的性能進行優(yōu)化,實現了乘員約束系統性能的提升。

1 鯨魚優(yōu)化算法

WOA衍生于自然界中座頭鯨獨特的捕食方法,捕食示意圖如圖1所示。在WOA中,各搜索代理(即鯨魚)通過信息交流機制不斷地獲取獵物的信息并根據特定的捕食行為逐漸靠近獵物,最終找到獵物。鯨魚的捕食行為包括包圍獵物、攻擊獵物、搜索獵物。

圖1 座頭鯨捕食示意圖

(1) 包圍獵物。將當前種群中的最優(yōu)個體定義為獵物,其余搜索代理在其指引下逐漸聚攏收縮,形成包圍獵物的趨勢,其數學模型如下:

D=CXbest(t)-X(t)

(1)

X(t+1)=Xbest(t)-AD

(2)

其中:t為當前迭代次數;X為搜索代理的位置向量;Xbest為當前種群中最優(yōu)個體的位置向量;A、C為系數。A、C可以表示為:

A=2ar-C

(3)

C=2r

(4)

其中:r為[0,1]之間的隨機數;a為從2遞減至0的控制參數,即

(5)

其中,T為最大迭代次數。

(2) 攻擊獵物。在攻擊階段,搜索代理通過收縮包圍機制和螺旋更新方式來更新種群位置,其數學模型如下:

D′=Xbest(t)-X(t)

(6)

X(t+1)=D′eblcos(2πl(wèi))+Xbest(t)

(7)

其中:b為常數,通常取b=1;l為[-1,1]之間的隨機數。

(3) 搜索獵物。在搜索階段,搜索代理在定義域內隨機搜索獵物,其數學模型如下:

D″=CXr(t)-X(t)

(8)

X(t+1)=Xr(t)-AD″

(9)

其中,Xr為當前種群中隨機個體的位置向量。

2 改進鯨魚優(yōu)化算法

針對WOA算法的局限性,本文提出一種改進的鯨魚優(yōu)化算法MWOA。該算法在WOA的基礎上引入自適應權重策略和全局極值優(yōu)化策略來改進算法性能。

2.1 自適應權重策略

WOA算法的尋優(yōu)過程可分為探索和開發(fā)2個階段。在探索階段,搜索代理在整個搜索空間內尋找獵物,這個過程被稱為全局搜索,此時全局搜索能力越強,種群多樣性越好,算法早熟的風險也就越小。在開發(fā)階段,搜索代理在全局最優(yōu)個體的指引下迅速向其周圍聚攏收縮,在局部區(qū)域內探索是否存在質量更高的個體,此時算法收斂速度加快,但搜索力度下降,算法可能過早收斂于局部極值。

受前人經驗的啟發(fā),本文引入一種自適應權重系數w來增強算法的全局搜索能力與局部開發(fā)能力,自適應權重系數w的計算公式如下:

(10)

其中,wmax=1。利用權重系數w對隨機個體Xr和全局最優(yōu)個體Xbest進行擾動,改進后的迭代策略如下:

X(t+1)=(1-w)Xr(t)-AD″

(11)

X(t+1)=(1-w)Xbest(t)-AD

(12)

X(t+1)=D′eblcos(2πl(wèi))+(1-w)Xbest(t)

(13)

迭代前期擾動w較大,隨機個體Xr和全局最優(yōu)個體Xbest對種群的牽引力度較弱,搜索代理能夠在更大區(qū)域內展開搜索,加強了算法的搜索力度。迭代后期擾動w逐漸趨近于0,算法局部尋優(yōu)能力增強。

2.2 全局極值優(yōu)化策略

在WOA算法中,全局極值起導向作用,指引種群向局部有利區(qū)域進行高效開發(fā)。換而言之,全局極值自身水平越高,其指引種群運動的方向就越正確,算法的尋優(yōu)能力也就越強。因此本文通過反向學習策略和相關性指標對全局極值進行優(yōu)化,幫助算法更加精確地鎖定有利區(qū)域,提高收斂速度和收斂精度。

反向學習策略(opposition-based learning,OBL)是由文獻[12]提出的一種計算智能方案,其核心思想是同時評估一個個體及其反向個體的優(yōu)劣,并從中選出較好的個體進入下一代。通過反向學習策略計算出當前種群中全局極值的反向極值,計算公式如下:

Xr-best=bu+bl-Xbest

(14)

其中:Xbest為全局極值的位置向量;Xr-best為反向極值的位置向量;bu、bl分別為搜索空間的上、下限。

通常,研究者根據全局極值Xbest和反向極值Xr-best的適應度,擇優(yōu)選擇適應度高的個體作為當前種群中的最優(yōu)個體。而實際上,僅根據極值的適應度無法準確判定Xbest與Xr-best之間的優(yōu)劣。這是由于Xr-best的適應度若優(yōu)于Xbest,但Xr-best卻遠離種群,則意味著Xr-best所在區(qū)域可能只是一個局部最優(yōu)區(qū)域,不具備開發(fā)價值。此時,若用適應度高的Xr-best代替Xbest,反而會影響算法的收斂精度。因此,本文提出了一種相關性指標來衡量Xbest和Xr-best與當前種群之間的相關程度,根據Xbest和Xr-best的適應度及其與種群間的相關度來更新全局極值。評價Xbest和Xr-best與種群間相關度的公式為:

(15)

其中:μ為當前種群中個體的均值;S為種群的協方差矩陣;S-1為協方差矩陣的逆矩陣。

MWOA算法流程如圖2所示。

圖2 MWOA算法流程

綜上所述,MWOA算法融合了權重策略和全局極值優(yōu)化策略來增強算法的全局搜索能力和局部開發(fā)能力。通過自適應權重系數動態(tài)調節(jié)算法的全局搜索與局部開發(fā),增強算法的搜索能力。通過OBL和相關性指標來優(yōu)化全局最優(yōu)個體,提高算法的開發(fā)效率。

3 函數測試與結果分析

為了驗證MWOA的收斂速度和收斂精度,本文選用4個基準測試函數來測試算法性能,并將其與WOA、APNWOA、WCLWOA、DE、PSO、GWO算法性能進行對比分析。

基準測試函數的具體信息見表1所列。仿真測試在Matlab編程軟件中實現。

表1 基準測試函數

各算法的參數設置見表2所列。其中,參數N、T、v、wmax、wmin、c1、c2、F0、pc分別表示種群規(guī)模、最大迭代次數、維度、最大權重系數、最小權重系數、個體學習因子、社會學習因子、變異系數、交叉概率。

表2 算法參數設置

算法最大迭代次數為500次,為保證優(yōu)化結果的可靠性,每種算法獨立運行30次,取優(yōu)化結果的均值、標準差以及平均計算時間,結果見表3所列。其中:均值表示算法的收斂精度;標準差表示算法的穩(wěn)定性;計算時間表示算法收斂到最優(yōu)解所需的計算時間。

由表3可知:就均值和標準差而言,MWOA算法在函數F1、F2、F4上均獲得了理論最優(yōu)值,其精度和穩(wěn)定性明顯優(yōu)于PSO、DE、GWO、WOA算法,并且與APNWOA和WCLWOA算法精度一致；在函數F3中,7種算法都只獲得了次優(yōu)解,其中MWOA算法收斂精度最高且最穩(wěn)定。

表3 優(yōu)化結果

從表3的計算時間上來看,PSO算法的計算速度快于WOA、DE、GWO算法但計算精度較低;MWOA算法在函數F1、F2、F4中計算速度最快且精度最高，雖然在函數F3中,該算法計算速度略有不足，但同樣獲得了最高的精度。

MWOA、WOA、APNWOA、WCLWOA算法的收斂曲線如圖3所示,該曲線直觀展示了各算法收斂至最終解時所需的迭代次數。

由圖3可知,MWOA算法的收斂速度最快,WCLWOA算法次之,WOA算法最慢。

綜合來說,相較于WOA算法，本文提出的MWOA算法的收斂速度和收斂精度有明顯改善,并且相較于APNWOA、WCLWOA算法以及其他典型的優(yōu)化算法,MWOA算法也具有一定的優(yōu)勢。

4 MWOA算法的應用

為了驗證MWOA算法在實際工程中的應用價值,采用提出的算法優(yōu)化正面100%碰撞下乘員約束系統的性能,具體內容如下。

4.1 乘員約束系統建立

本文根據C-NCAP(China-New Car Assess-ment Program)碰撞測試評價體系,利用MADYMO仿真軟件建立了正面100%剛性壁碰撞工況下的乘員約束系統模型,如圖4所示。

圖4 乘員約束系統模型

乘員約束系統模型由駕駛室模型、約束系統模型和假人模型3個部分組成。駕駛室模型包括座椅、儀表板、防火墻、踏板、轉向系統等;約束系統模型包括安全帶和安全氣囊;假人模型采用Hybridr Ⅲ50百分位男性假人。

此外,為了確保模型能夠準確反映真實的運動狀態(tài),定義車體、約束系統與假人之間的接觸關系,并對整體模型施加垂直向下的重力場和對假人模型施加沿著運動方向的加速度場。

4.2 優(yōu)化問題定義

4.2.1 設計變量

乘員約束系統旨在保護乘客在意外事故中不會遭受過大的傷害,因此本文選擇對乘員損傷影響最大的5個關鍵參數作為設計變量,即限力器限力等級X1、預緊器預緊時間X2、排氣孔直徑X3、充氣質量流率比例X4、氣囊體積X5。

系統設計變量的初值以及取值范圍見表4所列。

表4 設計變量初值和取值范圍

4.2.2 目標和約束

以加權傷害指標WIC作為優(yōu)化目標,以胸部壓縮量Ccomp、左右大腿軸向力FFCL和FFCR、頭部傷害指標HIC36、胸部3 ms加速度C3 ms作為約束,各響應的初始值和目標見表5所列。

表5 響應初值和目標

由表5可知,在初始設計中,除了左右大腿軸向力滿足要求之外,胸部壓縮量、頭部傷害指標和胸部3 ms加速度均不滿足要求,乘員的頭部和胸部受到了較大的傷害。

因此需要進一步優(yōu)化乘員約束系統的性能來降低對乘員的傷害。

4.3 近似模型構建

在優(yōu)化過程中,往往需要經歷成千上萬次評估才可能獲得令人滿意的結果,如果直接利用復雜的有限元模型進行響應預測,那么將會花費巨大的時間成本,影響優(yōu)化效率。因此,利用高精度的近似模型取代有限元模型來擬合變量與響應之間的關系，是優(yōu)化設計中不可或缺的一步。

采用試驗設計在變量的設計空間內生成140組均勻分布的樣本點,并通過MADYMO軟件對乘員約束系統模型進行仿真分析,計算出每組變量樣本點對應的輸出響應。其中,120組樣本點組成訓練樣本集,20組樣本點組成測試樣本集。利用訓練樣本集中變量與響應之間的關系構建PSO-SVR模型,利用測試樣本集驗證模型精度。精度指標為確定系數R2和最大相對誤差ERmax,模型精度結果見表6所列。

從表6可以看出,每個響應對應的PSO-SVR模型的精度指標均滿足R2≥0.9、ERmax≤5%,模型精度滿足要求,可用于后續(xù)優(yōu)化。

表6 模型精度

4.4 基于MWOA算法的乘員約束系統優(yōu)化

乘員約束系統優(yōu)化問題的數學表達式如下所示:

min WIC;

s.t.Ccomp≤30 mm,

FFCL≤2 000 N,

FFCR≤2 000 N,

HIC36≤650,

C3 ms≤50g，

(16)

采用MWOA算法調用建立的PSO-SVR模型進行優(yōu)化,優(yōu)化結果見表7所列。

由表7可知:經MWOA算法優(yōu)化后,約束指標Ccomp、HIC36、C3 ms有了明顯的改善,滿足約束要求;右大腿軸向力FFCR略有增加,但仍處于合理范圍內;優(yōu)化目標WIC降低了45.3%,優(yōu)化效果顯著。

表7 正面碰撞工況下的優(yōu)化結果

設計變量的優(yōu)化結果見表8所列.

表8 設計變量優(yōu)化結果

5 結 論

本文針對WOA早熟收斂的問題,提出了一種新穎的MWOA算法。該算法利用自適應權重系數的靈活性來增強算法的搜索能力,并通過反向策略和相關性指標來改進全局極值,指引種群向更有優(yōu)勢的區(qū)域進行高效開發(fā)。4個基準測試函數的實驗結果證明，該算法具有較好的收斂速度和收斂精度。

最后,聯合MWOA算法和PSO-SVR模型優(yōu)化乘員約束系統,使乘員的加權傷害指標降低了45.3%。