丁 佳，殷 勇*，2，陳林根，戈延林，劉 存

1.武漢工程大學光電信息與能源工程學院，湖北 武漢430205；2.武漢工程大學熱科學與動力工程研究所，湖北 武漢430205；3.武漢工程大學機電工程學院，湖北 武漢430205

19世紀初，卡諾提出了著名的卡諾循環(huán)，其效率上限為ηc=1-T2T1，只取決于高溫熱源（T1）和低溫熱源（T2）的溫度而與工質無關。實際上，所有熱機的熱效率都不大于可逆卡諾熱機的熱效率。隨著科學技術的發(fā)展，人們的研究已經(jīng)達到微觀納米級別，在這個尺度，量子效應不可忽視［1］。所以基于宏觀尺寸系統(tǒng)的經(jīng)典熱力學理論不再適用于量子熱力學系統(tǒng)，量子熱力學的研究發(fā)展任重道遠。

經(jīng)典循環(huán)中的工質通常遵循經(jīng)典的傳熱規(guī)律。隨著量子信息處理技術和納米技術的發(fā)展，熱力學和量子物理學之間的聯(lián)系吸引了大多數(shù)物理學家和工程師們的興趣。在量子熱力循環(huán)中，需考慮工質的量子特性。常見的量子工質有自旋系統(tǒng)［2-4］、無相互作用的諧振子［5-6］、無限深方勢阱中的粒子［7-9］和無限深勢阱中的極端相對論粒子［10-11］。1984年，Kosloff［12］建立了第一個量子熱機模型。在相關文獻中，許多學者已經(jīng)對量子卡諾循環(huán)［13-15］、量子斯特林循環(huán)［16-18］、量子奧托循環(huán)［19-20］等量子熱力循環(huán)模型進行了研究。Satnam等［21］建立了以囚禁于一維無限深勢阱中的無相互作用費米子為工質的量子狄塞爾熱機循環(huán)，從理論上計算了循環(huán)的熱效率、克勞修斯不等式及無量綱功率。2000年，Bender等［22］研究了以一維無限深勢阱中單粒子為工質的量子卡諾熱機循環(huán)，以能量源代替經(jīng)典熱源，能量源的能量本征值由薛定諤方程計算給出。在此基礎上，學者們發(fā)表了大量有關量子熱力學循環(huán)的論文［23-24］。

基于文獻［21］，本文建立1個以一維無限深方勢阱中的無相互作用的費米子為工質的量子狄塞爾熱泵循環(huán)。該循環(huán)由2個絕熱過程、1個等壓過程和1個等勢阱寬度過程組成，運用量子熱力學的研究方法，導出該熱泵循環(huán)的性能系數(shù)、泵熱率與無量綱泵熱率，并對循環(huán)的性能進行分析與優(yōu)化。

1 一維無限深方勢阱中的熱力學

假設一個質量為m的粒子，被囚禁于寬度為L的一維無限深方勢阱中，粒子的勢能函數(shù)為U（x）。描述粒子的波函數(shù)滿足的定態(tài)薛定諤方程為：

其中ψ(x)是粒子的波函數(shù)，?是約化普朗克常量，E是粒子的能量。利用邊界條件ψ(0)=ψ(L)=0，可以得到粒子的一系列的本征態(tài)和對應的能量本征值

一般情況下，粒子的態(tài)函數(shù)為這些本征態(tài)波函數(shù)的線性疊加，每個能級對應的概率為pn=|ψn|2，且每個能級對應的概率之和滿足歸一化條件

系統(tǒng)的平均能量為：

式中U類似于經(jīng)典熱力學系統(tǒng)中的熱力學能，對其求全微分，可得：

由熱力學第一定律可有

所以

對比式（6）與式（8），可得：

其中Q為量子熱，由式（9）可知，熱量的變化與粒子所處能級的概率變化相關；W為量子功，由式（10）可知，功的變化與系統(tǒng)哈密頓期望值的變化有關。

2 量子狄塞爾熱泵循環(huán)模型

量子狄塞爾熱泵循環(huán)由兩個量子定熵過程、量子定壓放熱過程和量子定容吸熱過程組成。在量子定熵過程中，粒子在每個能級上的占有幾率不發(fā)生改變，系統(tǒng)與外界沒有熱量交換，這與經(jīng)典等熵過程類似；量子定壓過程就是作用在勢阱壁上的力沒有發(fā)生改變的過程，這與經(jīng)典等壓過程中壓力保持不變也是類似；而量子等容過程表示的是勢阱的寬度保持不變，系統(tǒng)的哈密頓量的期望值未發(fā)生改變，這與經(jīng)典等容過程是類似的。在此模型中，循環(huán)工質為一維無限深方勢阱中的N個質量為m的費米子，整個系統(tǒng)與1個低溫熱源和1個高溫熱源耦聯(lián)，F(xiàn)-L循環(huán)示意圖如圖1（a）所示。根據(jù)泡利不相容原理，2個費米子不能占據(jù)相同的能級。

圖1 （a）量子狄塞爾熱泵循環(huán)F-L圖，（b）不同λ1時，性能系數(shù)與截止比的關系曲線Fig.1（a）F-L diagram of quantum Diesel heat pump cycle；（b）Curves of relationship betweenεand cut-off ratio at differentλ1

系統(tǒng)總的熱力學能可以表示為：

基于以上公式，可以對量子狄塞爾熱泵循環(huán)性能進行分析與研究。

2.1 定熵壓縮過程

過程A→B為量子定熵壓縮過程。在量子等熵過程中，粒子在每個能級上的占有幾率不發(fā)生改變，勢阱中的粒子與高低溫熱源沒有熱量交換，這與經(jīng)典定熵過程類似。所以，熱力學第一定律可表示為：

在此過程中，勢阱壁從L1位移到L3，此過程的功為：

令L1=λ1L3，由圖2可知，λ1＞1，其物理意義為該過程的壓縮比。代入式（14）可得：

2.2 定壓放熱過程

過程B→C為量子定壓放熱過程。量子定壓過程是作用在勢阱壁上的力沒有發(fā)生改變的過程，這與經(jīng)典等壓過程中壓力保持不變也是類似。由熱力學第一定律可知：

且

在此過程中，系統(tǒng)能量減少，粒子躍遷到較低的能級?？紤]粒子的概率變化從|ψn|2到|φn|2。這時作用在勢阱壁上的力為：

過程所做的功

其中λ2=L2L3，顯然有λ2＜1，該過程中內能的變化量為：

由熱力學第一定律可知，該過程中系統(tǒng)向高溫熱源釋放的熱量為：

2.3 定熵膨脹過程

過程C→D為定熵膨脹過程，同理可得，系統(tǒng)對外界所做的功為：

2.4 定容吸熱過程

過程D→A為定容吸熱過程。量子等容過程表示的是勢阱的寬度保持不變，系統(tǒng)與外界沒有功的交換，系統(tǒng)的哈密頓量的期望值未發(fā)生改變，這與經(jīng)典等容過程中容積保持不變是類似的。由熱力學第一定律可知：

所以

3 熱泵循環(huán)的性能系數(shù)與無量綱泵熱率

外界對系統(tǒng)所做的總功W=WAB+WBC+WCD+WDA，所以

性能系數(shù)

該量子系統(tǒng)弛豫時間的數(shù)量級為?E，假設勢阱壁移動的平均速率為υˉ，循環(huán)周期為τ，循環(huán)中勢阱壁移動路程的總和為L=2(L1-L2)，如果τ=Lυˉ＜＜?E，可認為系統(tǒng)狀態(tài)變化無限緩慢，循環(huán)過程可視為準靜態(tài)過程［22］。結合式（19）與式（22），循環(huán)的泵熱率表示為：

4 量子狄塞爾熱泵循環(huán)的性能優(yōu)化

由式（27）可知，循環(huán)的性能系數(shù)并不取決于一維無限深方勢阱中粒子的的數(shù)量，而是壓縮比和截止比的函數(shù)。對于不同的壓縮比取值，繪出性能系數(shù)與截止比的關系曲線，如圖1（b）所示。由圖1（b）可知：對于給定的壓縮比，量子狄塞爾熱泵循環(huán)的性能系數(shù)隨著截止比的增加而增大；當截至比一定時，壓縮比越小，性能系數(shù)越大。

由式（30）繪出無量綱泵熱率關于壓縮比與截止比的關系曲線如圖2（a）所示。從圖2（a）中可知：對于給定的壓縮比，無量綱泵熱率隨截止比的增大而減?。划斀刂贡纫欢〞r，壓縮比越大，無量綱泵熱率越小。

由式（32）可繪出在不同截止比時無量綱泵熱率與性能系數(shù)的關系曲線圖，如圖2（b）所示。從圖2（b）中可知：當截止比一定時，無量綱泵熱率隨著性能系數(shù)的增加而增大；當性能系數(shù)一定時，無量綱泵熱率隨截至比的增大而減小。

圖2 （a）無量綱泵熱率關于壓縮比和截止比的關系曲線；（b）不同λ2時，無量綱泵熱率與性能系數(shù)的關系曲線Fig.2（a）Curves of relationship between dimensionless heating load and compression ratio and cut-off ratio；（b）Curves of relationship between dimensionless heating load and cut-off ratio at differentλ2

5 結 論

以上建立的以一維無限深方勢阱中由N個無相互作用的費米子作為循環(huán)工質的量子狄塞爾熱泵循環(huán)模型，應用有限時間熱力學的研究方法，通過量子力學求解了體系的薛定諤方程，導出了循環(huán)的性能系數(shù)、無量綱泵熱率等性能參數(shù)，分析與優(yōu)化了該量子狄塞爾熱泵循環(huán)的性能，得出如下結論：（1）性能系數(shù)和無量綱泵熱率都是截止比的單調函數(shù)，性能系數(shù)隨截止比的增加而增大，無量綱泵熱率隨截止比的增加而減小。（2）無量綱泵熱率與性能系數(shù)的關系曲線為單調遞增函數(shù)，當性能系數(shù)一定時，無量綱泵熱率隨截止比的增大而減小。（3）當截止比一定時，無量綱泵熱率隨性能系數(shù)的增加而增大。研究結果有助于加深對以一維無限深勢阱中由N個無相互作用的費米子為循環(huán)工質的量子狄塞爾熱泵循環(huán)性能的理解，也能對其他量子熱力循環(huán)的性能研究提供一些理論參考。