許作飛

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)也是難點(diǎn)，教師教學(xué)時(shí)應(yīng)幫助學(xué)生梳理函數(shù)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，并將其融入整個(gè)初中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中。函數(shù)圖像的解讀可以幫助學(xué)生深化理解函數(shù)的概念，提高學(xué)生的識(shí)圖能力，增強(qiáng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的解題意識(shí)。在函數(shù)學(xué)習(xí)中，要指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想探討函數(shù)問(wèn)題的解題策略，運(yùn)用數(shù)學(xué)建模思想培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，提高學(xué)生解決函數(shù)類問(wèn)題的技巧。

初中數(shù)學(xué)中，一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)三個(gè)單元學(xué)習(xí)的側(cè)重點(diǎn)雖不同，其解決問(wèn)題的方法和經(jīng)驗(yàn)其實(shí)是相通的，教學(xué)時(shí)應(yīng)打好基礎(chǔ)穩(wěn)步推進(jìn)。指導(dǎo)初中生學(xué)習(xí)函數(shù)，得從函數(shù)的概念出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生循序漸進(jìn)地深入探究，理清函數(shù)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，并將其融入整個(gè)初中數(shù)學(xué)知識(shí)體系之中，使學(xué)生對(duì)函數(shù)知識(shí)融會(huì)貫通。

函數(shù)學(xué)習(xí)中，入門很重要，多數(shù)學(xué)生對(duì)函數(shù)學(xué)習(xí)產(chǎn)生困惑都是因?yàn)閷?duì)“函數(shù)”概念的理解不清晰。筆者在函數(shù)入門教學(xué)時(shí)，先通過(guò)具體的實(shí)例，讓學(xué)生初步了解函數(shù)，學(xué)生初步感受函數(shù)后，再?gòu)暮瘮?shù)概念的角度規(guī)范它，從例題學(xué)習(xí)中辨識(shí)并鞏固它。

分析：解讀本題函數(shù)圖像，必須搞清楚各選項(xiàng)之間的區(qū)別，準(zhǔn)確理解各選項(xiàng)中每一段函數(shù)圖像的實(shí)際意義。A、B、C三個(gè)選項(xiàng)中都有一段與橫軸平行的線段，而D選項(xiàng)中沒(méi)有。線段表示時(shí)間在變化而航行的路程沒(méi)變，正與題意在超市選商品，停留一段時(shí)間不吻合，故D選項(xiàng)被排除在外。圖中B、C、D三個(gè)選項(xiàng)的圖像只有起點(diǎn)在橫軸上，而A選項(xiàng)除了起點(diǎn)外，還有一個(gè)點(diǎn)在橫軸上。有的學(xué)生從“從家出發(fā)又返回家”這個(gè)角度理解它，誤認(rèn)為選A。此時(shí)，可引導(dǎo)學(xué)生討論縱軸表示的含義——小明走的路程，而不是“離家的距離”，所以A選項(xiàng)應(yīng)被排除在外。到這里剩下B和C兩個(gè)選項(xiàng)了，B選項(xiàng)的第一段和第三段是平行的，而C選項(xiàng)的第一段和第三段不平行。小明往返的速度不同，所以這兩條線段應(yīng)該不平行。B被排除，本題選C。

選用函數(shù)圖像進(jìn)行解讀，盡量選取選擇題作為例題，降低學(xué)生學(xué)習(xí)難度，借助對(duì)函數(shù)圖像的解讀，幫助學(xué)生掌握一些有關(guān)函數(shù)圖像的常識(shí)，提高他們解讀函數(shù)圖像的能力，增強(qiáng)他們數(shù)形結(jié)合的意識(shí)。運(yùn)用對(duì)函數(shù)圖像的解讀，深化學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解，是函數(shù)教學(xué)不可或缺的步驟。如果僅僅對(duì)課本中的函數(shù)圖像進(jìn)行解讀，圖像的類型及數(shù)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。教學(xué)時(shí)，筆者從智學(xué)網(wǎng)上選擇一些函數(shù)圖像，讓學(xué)生合作探究、討論、交流，理解其含義。

函數(shù)本身比較抽象，有的問(wèn)題還需要學(xué)生根據(jù)條件自己畫圖，要求學(xué)生熟練掌握各類函數(shù)圖像的特征，解題時(shí)若能結(jié)合圖形理解，往往便能一目了然。解決函數(shù)問(wèn)題，既要依據(jù)條件中數(shù)量，又要根據(jù)圖像信息進(jìn)一步分析數(shù)量之間的關(guān)系，做到數(shù)形結(jié)合。

1.一次函數(shù)

一次函數(shù)是基本的函數(shù)類型，學(xué)習(xí)一次函數(shù)時(shí)，不僅要讓學(xué)生強(qiáng)化一次函數(shù)的知識(shí)技能，還要向?qū)W生滲透函數(shù)學(xué)習(xí)的一般常識(shí)，比如求函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，求兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)的坐標(biāo)，判定一個(gè)點(diǎn)是否在某個(gè)函數(shù)圖像上等，注重用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想解決一次函數(shù)的問(wèn)題。

2.反比例函數(shù)

反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)要充分借鑒解一次函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，注意區(qū)別兩類函數(shù)間的區(qū)別，反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，其增減性與一次函數(shù)完全不同，教學(xué)時(shí)引導(dǎo)學(xué)生區(qū)分清楚。

解決反比例函數(shù)問(wèn)題，通常都涉及函數(shù)圖像，雖然圖像未必要畫出來(lái)，但心中要有清晰的印象，利用圖像解決問(wèn)題。

3.二次函數(shù)

二次函數(shù)的圖像是拋物線，y=ax2+bx+c（a≠0）的開(kāi)口和方向由“a”決定，圖像的位置由“b”和“c”決定；y=a（x-k）2+h（a≠0）的圖像中，“k”和“h”決定了圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)。

例4.將拋物線y=-x2+6x-5在x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸的上方，得到如圖4（1）的圖像。一條動(dòng)直線y=x+b與這個(gè)圖像恰好有3個(gè)公共點(diǎn)，求b的值。

分析：動(dòng)直線y=x+b與y=x平行，當(dāng)“b”很小時(shí)，它們沒(méi)有交點(diǎn)，將其向上平移經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，兩者有一個(gè)交點(diǎn)，繼續(xù)向上平移時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)它經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，恰有三個(gè)交點(diǎn)，如圖4（2）。繼續(xù)向上平移則有四個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)兩個(gè)函數(shù)圖像相切時(shí)，如圖4（3），又恰有三個(gè)交點(diǎn)，再向上平移就是有兩個(gè)交點(diǎn)了。顯然在兩種情況下，直線y=x+b與變化過(guò)的二次函數(shù)圖像恰好有3個(gè)公共點(diǎn)。

本題中，求直線y=x+b與這個(gè)圖像恰好有3個(gè)公共點(diǎn)時(shí)b的值，靠苦思冥想是得不出結(jié)論的，必須根據(jù)題目的條件，畫出草圖，根據(jù)圖形，分析在什么情況下有3個(gè)公共點(diǎn)，再用方程思想解決問(wèn)題，離開(kāi)數(shù)形結(jié)合解本題是比較困難的。

建模是很重要的數(shù)學(xué)思想，一方面，學(xué)生有時(shí)在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)不知所措，而相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題常常能駕輕就熟，通過(guò)建模搭建橋梁可以讓學(xué)生順利解題。另一方面，函數(shù)的一般式、數(shù)學(xué)公式等其實(shí)也都是建模的思想在解題中的運(yùn)用。數(shù)學(xué)建模，有利于深化學(xué)生的函數(shù)思想。

用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不再抽象，降低了初中生學(xué)習(xí)函數(shù)的難度，促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升。