歐陽城添，周 凱

江西理工大學(xué) 信息工程學(xué)院，江西 贛州341000

教與學(xué)優(yōu)化（teaching-learning based optimization，TLBO）算法[1]是印度學(xué)者Rao 等人于2011 年提出的一種模擬班級(jí)教學(xué)過程的群智能算法。將優(yōu)化問題的解空間描述為一個(gè)班級(jí)，班級(jí)里的每個(gè)學(xué)生對(duì)應(yīng)于解空間的各個(gè)解，其學(xué)習(xí)成績對(duì)應(yīng)于解的適應(yīng)度值，教師則代表當(dāng)前適應(yīng)度值最好的解。該算法原理簡單，參數(shù)較少，收斂速度較快，已被成功應(yīng)用于多個(gè)學(xué)術(shù)或工業(yè)領(lǐng)域，如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)優(yōu)化[2]、視覺跟蹤[3]、數(shù)據(jù)分類[4]、PID控制[5]等。

然而，在面對(duì)維度較高的復(fù)雜優(yōu)化問題時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)TLBO 算法往往無法收斂到全局最優(yōu)，存在易早熟、解精度低、陷入局部最優(yōu)等問題。因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)TLBO算法種群個(gè)體采用隨機(jī)初始化產(chǎn)生，在初始種群沒有覆蓋到全局最優(yōu)解的情況下，如果在有限迭代次數(shù)內(nèi)無法搜索到最優(yōu)解，那么算法早熟是難以避免的。求解單峰問題時(shí)，若最優(yōu)解所在區(qū)域種群個(gè)體適應(yīng)度值相差較大，或最優(yōu)個(gè)體和次優(yōu)個(gè)體的適應(yīng)度相差較小，則算法容易提前收斂。求解多峰問題時(shí)，若解與解之間相距較遠(yuǎn)，則無法保證種群覆蓋到所有最優(yōu)區(qū)域，這時(shí)算法也容易提前收斂。此外，迭代過程中學(xué)生個(gè)體在教學(xué)階段會(huì)向教師所在區(qū)域靠近，雖然有利于算法快速收斂，但是當(dāng)前最優(yōu)不一定是全局最優(yōu)，持續(xù)的迭代會(huì)使學(xué)生個(gè)體高度聚集，將導(dǎo)致算法陷入局部最優(yōu)。

為提高算法求解性能，近年來不少專家學(xué)者對(duì)標(biāo)準(zhǔn)TLBO 算法進(jìn)行了改進(jìn)研究。Rao 等人[6]引入精英策略和變異機(jī)制，提出精英教與學(xué)優(yōu)化（elitist teachinglearning based optimization，ETLBO）算法，能有效提高學(xué)生整體學(xué)習(xí)水平，有利于算法快速收斂，但容易收斂到局部極值。于坤杰等[7]在ETLBO 算法的基礎(chǔ)上引入反饋機(jī)制，增加差生與老師之間的反饋交流，提出一種基于反饋的精英教與學(xué)優(yōu)化（Feedback ETLBO，F(xiàn)ETLBO）算法，實(shí)驗(yàn)證明該算法可以有效抑制種群的過早收斂，然而也存在求解精度不高的問題。童楠等[8]提出一種基于反思機(jī)制的教與學(xué)優(yōu)化（teaching-learning based optimization based on reflection，RTLBO）算法，利用高斯正態(tài)分布和教師與學(xué)生之間的差異實(shí)現(xiàn)兩者各自的局部搜索，達(dá)到同步提高的目的，實(shí)驗(yàn)表明該改進(jìn)算法具有穩(wěn)定的魯棒性，但在多峰高維測(cè)試函數(shù)上，收斂精度明顯下降。李麗榮等[9]提出具有動(dòng)態(tài)自適應(yīng)學(xué)習(xí)機(jī)制的教與學(xué)優(yōu)化（teaching-learning based optimization with dynamic self-adapting learning，DSTLBO）算法，在教學(xué)階段加入非線性的動(dòng)態(tài)學(xué)習(xí)因子和動(dòng)態(tài)隨機(jī)搜索策略，有效提高了收斂速度和解精度，但依然存在過早收斂的現(xiàn)象。王培崇等[10]提出一種融合加權(quán)中心學(xué)習(xí)的教與學(xué)優(yōu)化（teaching-learning based optimization with weighted center，WCTLBO）算法，以加權(quán)中心取代教師個(gè)體，在學(xué)習(xí)階段引入小組討論，有效避免種群陷入局部最優(yōu)，但收斂精度一般。

針對(duì)標(biāo)準(zhǔn)TLBO 算法的問題和以上改進(jìn)算法的不足，本文提出融合改進(jìn)天牛須搜索的教與學(xué)優(yōu)化（teachinglearning based optimization with improved beetle antennae search，BASTLBO）算法。該算法進(jìn)行了三方面的改進(jìn)：首先，針對(duì)種群隨機(jī)初始化，多樣性無法保證的問題，提出Tent 映射反向?qū)W習(xí)策略，使初始種群在解空間分布得更加均勻，盡可能覆蓋到全局最優(yōu)解，有利于算法快速收斂而又避免早熟；其次，在教學(xué)階段，先對(duì)教師個(gè)體執(zhí)行二次插值天牛須搜索，然后再讓學(xué)生向老師學(xué)習(xí)，進(jìn)行自我更新，以此來提高算法全局尋優(yōu)和對(duì)當(dāng)前最優(yōu)解區(qū)域進(jìn)行精細(xì)搜索的能力；最后，由于教學(xué)階段會(huì)引導(dǎo)種群向最優(yōu)個(gè)體所在空間收斂，為保證算法在陷入局部最優(yōu)時(shí)能迅速跳出，提出自適應(yīng)混合變異策略，結(jié)合柯西變異和高斯變異自身特性，使算法達(dá)到全局開發(fā)與局部搜索的動(dòng)態(tài)平衡。

1 標(biāo)準(zhǔn)TLBO算法

TLBO 算法的原理是利用教師和班級(jí)平均學(xué)習(xí)水平之間的差異性來引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)化學(xué)習(xí)，之后學(xué)生之間也要相互學(xué)習(xí)，進(jìn)而提高整個(gè)班級(jí)的成績。具體過程分為教學(xué)和學(xué)習(xí)兩個(gè)階段。

1.1 教學(xué)階段

教學(xué)過程的數(shù)學(xué)描述如式（1）所示。

1.2 學(xué)習(xí)階段

學(xué)生xi與另一名隨機(jī)選擇的學(xué)生xj相互學(xué)習(xí)，比較其對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值f(xi)和f(xj)，讓學(xué)習(xí)差的向?qū)W習(xí)好的進(jìn)行學(xué)習(xí)，即：

2 融合改進(jìn)天牛須搜索的教與學(xué)優(yōu)化算法

2.1 種群初始化策略

為了增強(qiáng)種群的多樣性，在BASTLBO 算法中，首先使用Tent映射產(chǎn)生混沌初始種群，然后通過反向?qū)W習(xí)產(chǎn)生反向種群，最后對(duì)混沌初始種群及其反向種群進(jìn)行排序，從中選擇適應(yīng)度值較優(yōu)的解組成初始種群。

Tent映射產(chǎn)生混沌粒子序列的公式定義如下：

式中，表示第t次迭代粒子i在第d維分量上的混沌變量，t=1,2,…,T,d=1,2,…,D。

通過式（3）迭代T次可以得到t個(gè)混沌變量Yt=(Yt,1,Yt,2,…,Yt,D)組成的混沌序列，再經(jīng)過式（4）進(jìn)行逆映射，即可得到t個(gè)初始解Xt=(Xt,1,Xt,2,…,Xt,D)，記為種群X。

其中，Xmax和Xmin來自搜索空間的取值范圍[Xmin,Xmax]。

作為一種提高隨機(jī)搜索算法搜索能力的有效方法，反向?qū)W習(xí)（opposition-based learning，OBL）策略的原理[11]是若在D維空間中存在一個(gè)點(diǎn)x=(x1,x2,…,xD)，xi∈[ai,bi]則其反向點(diǎn)為，其中,i∈[1,D]。因此由種群X計(jì)算反向種群OX：

將種群X和反向種群OX合并得到新種群，即Xnew={X?OX}，然后計(jì)算Xnew的目標(biāo)函數(shù)值并排序，若是極小值尋優(yōu)，則從小到大排序，若是極大值尋優(yōu)，則從大到小排序，然后選取其中適應(yīng)度值最好的前N個(gè)個(gè)體作為初始種群。

2.2 改進(jìn)天牛須搜索

TLBO 算法有一個(gè)明顯的缺點(diǎn)是教師個(gè)體缺少學(xué)習(xí)機(jī)制，即教師沒有進(jìn)一步地尋優(yōu)，沒有對(duì)所在的空間進(jìn)行精細(xì)的局部搜索。而天牛須搜索（beetle antennae search，BAS）算法[12]不同于其他優(yōu)化算法，它恰好只需要一個(gè)個(gè)體，不需要知道函數(shù)具體形式和梯度信息即可實(shí)現(xiàn)高效尋優(yōu)，運(yùn)算量小，尋優(yōu)速度快。BAS 算法流程如下：

（1）因?yàn)樘炫ｎ^的朝向隨機(jī)，所以天牛左須指向右須的向量表示為：

其中，rands(k,1)表示生成k維的隨機(jī)向量。

（2）設(shè)置天牛步長δ，以線性方式進(jìn)行遞減，t為當(dāng)前迭代次數(shù)，則第t次迭代時(shí)天牛的移動(dòng)步長為：

式中，eta_δ為步長遞減系數(shù)。

（3）設(shè)置天牛兩須距離d，同樣以線性方式遞減，其遞減系數(shù)為eta_d，第t次迭代時(shí)兩須的距離為：

（4）天牛左右兩須進(jìn)行位置更新：

式中，左須xl、右須xr都是k維向量，xt表示第t次迭代時(shí)天牛質(zhì)心的位置。

（5）計(jì)算左右兩須xl和xr的適應(yīng)度值f(xl) 和f(xr)，根據(jù)二者大小關(guān)系，判斷天牛的前進(jìn)方向：

其中，sign 為符號(hào)函數(shù)。

（6）計(jì)算天牛移動(dòng)后的適應(yīng)度值。

（7）判斷是否符合迭代結(jié)束條件，符合就結(jié)束迭代，否則重復(fù)（1）到（6）直到符合條件。

雖然BAS算法原理簡單，收斂速度快，但是單個(gè)天牛在高維空間中的尋優(yōu)能力還是有所欠缺，容易陷入局部最優(yōu)，有必要對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)。因此，引入二次插值算子：

其中，k表示維度，xb為當(dāng)前全局最優(yōu)解。

采用二次擬合函數(shù)法，在每一次天牛位置更新時(shí)，都可以利用二次插值得到一個(gè)異于當(dāng)前解xt的新解xi，對(duì)比它們的適應(yīng)度值，若f(xi)

改進(jìn)BAS 算法雖然高維尋優(yōu)能力有所增強(qiáng)，但是該算法搜索到的最優(yōu)點(diǎn)不一定是全局最優(yōu)點(diǎn)。因此要給BAS 設(shè)置兩個(gè)終止條件來保證算法整體搜索效率：第一個(gè)是解的精度；考慮到在某些問題的求解過程中，精度要求即使較低，BAS 算法可能也會(huì)迭代很多次，因此第二個(gè)是要設(shè)定固定的迭代次數(shù)。當(dāng)精度達(dá)到要求或迭代次數(shù)達(dá)到設(shè)定值，則搜索完畢，直接應(yīng)用所得到的點(diǎn)替換教師個(gè)體。

2.3 學(xué)生的混合變異

由高斯變異、柯西變異自身的概率分布特性以及在其他優(yōu)化算法中的應(yīng)用效果可知，高斯變異可以賦予算法更好的局部搜索能力，柯西變異則具有較強(qiáng)的全局探索能力，因此可以結(jié)合二者特性，通過混合變異使教與學(xué)優(yōu)化算法能夠自適應(yīng)調(diào)節(jié)學(xué)生之間互相學(xué)習(xí)的效果。在學(xué)生個(gè)體更新公式中引入服從混合變異分布的隨機(jī)向量，如式（12）所示。

在算法迭代過程中，前期需要更強(qiáng)的局部搜索能力，使算法能夠快速地收斂到全局最優(yōu)附近，節(jié)省算法尋優(yōu)時(shí)間。而后期為了使TLBO逃脫局部極值的束縛，避免早熟收斂，則需要加強(qiáng)算法的全局探索能力，因此TLBO 算法前期要側(cè)重高斯變異，后期要側(cè)重柯西變異。α(t)與γ(t)隨迭代進(jìn)程計(jì)算如下：

其中，t是當(dāng)前迭代次數(shù)，T是算法最大迭代次數(shù)，G(0,1)為標(biāo)準(zhǔn)高斯分布，C(0,1)為柯西分布。

2.4 BASTLBO算法的步驟

步驟1以個(gè)體X0(0)為起點(diǎn)，依據(jù)式（3）、（4）進(jìn)行迭代得到混沌種群X，種群X通過式（5）迭代得其反向種群OX。令Xnew={X?OX}，計(jì)算Xnew的目標(biāo)函數(shù)值并排序，選取其中適應(yīng)度值最好的前N個(gè)個(gè)體組成初始種群POP（0）。

步驟2計(jì)算適應(yīng)度值，選出最佳個(gè)體，設(shè)為教師xteacher，并計(jì)算班級(jí)平均值xmean。

步驟3對(duì)教師個(gè)體xteacher執(zhí)行天牛須搜索。設(shè)置改進(jìn)BAS 算法相關(guān)初始參數(shù)，迭代次數(shù)t=0，依據(jù)式（10）、（11）進(jìn)行天牛迭代，判斷是否滿足BAS算法終止條件，若是，則進(jìn)入下一步，否則繼續(xù)迭代。

步驟4更新教師個(gè)體xteacher=xt。

步驟5依據(jù)式（1）進(jìn)行教師的“教”行為。

步驟6依據(jù)式（12）、（13）、（14）進(jìn)行學(xué)生的相互“學(xué)”行為。

步驟7BASTLBO算法滿足結(jié)束條件，則輸出最優(yōu)解Xgbest，結(jié)束算法，否則返回步驟2。

3 實(shí)驗(yàn)與分析

3.1 標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)

為了檢驗(yàn)本文改進(jìn)算法的尋優(yōu)能力，選取6個(gè)經(jīng)典benchmark 測(cè)試函數(shù)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，分別是f1:Sphere、f2:Rosenbrock、f3:Schwefel2.22、f4:Rastrigin、f5:Griewank、f6:Ackley，它們的理論最優(yōu)值均為0。其中f1到f3是單峰函數(shù)，可以測(cè)試算法收斂速度與精度，f4到f6是多峰函數(shù)，可以測(cè)試算法逃出局部極值的能力。表1給出了標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)的具體信息，包括表達(dá)式和取值范圍。

表1 標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)Table 1 Benchmark functions

此外，本文所有實(shí)驗(yàn)運(yùn)行環(huán)境始終一致，均在AMD A10-7300 處理器、Windows 10 操作系統(tǒng)下基于軟件Matlab2016a實(shí)現(xiàn)。

3.2 天牛須搜索改進(jìn)有效性分析

2.2 節(jié)中在原始天牛須搜索算法的基礎(chǔ)上引入二次插值算子，目的是得到尋優(yōu)性能更好的BAS，然后將其嵌入到TLBO算法中。為了驗(yàn)證二次插值的改進(jìn)效果，設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)如下。

首先通過單因素實(shí)驗(yàn)、正交分析確定BAS 的內(nèi)部最優(yōu)參數(shù)：初始步長δ0取1，兩須初始距離d0取2，步長和兩須距離的遞減系數(shù)均取0.95。然后通過3.1節(jié)中的標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)對(duì)改進(jìn)BAS和原始BAS進(jìn)行優(yōu)化性能比較。實(shí)驗(yàn)條件為函數(shù)維度30 維，最大迭代次數(shù)1 000次。算法對(duì)不同函數(shù)均獨(dú)立運(yùn)行30 次，結(jié)果取平均值并計(jì)算方差。對(duì)比數(shù)據(jù)如表2所示。

從表2可以看出，改進(jìn)天牛須搜索的收斂精度和穩(wěn)定性較原始算法有明顯提升。其中在30次的函數(shù)測(cè)試中，改進(jìn)BAS 對(duì)多峰函數(shù)f4都成功收斂到了理論最優(yōu)值0，方差也為0，同時(shí)在多峰函數(shù)f6上方差為0，說明改進(jìn)算法具有較高的穩(wěn)定性，驗(yàn)證了引入二次插值算子的改進(jìn)BAS的尋優(yōu)有效性。

表2 原始BAS和改進(jìn)BAS函數(shù)測(cè)試結(jié)果Table 2 Functional test results of original BAS and improved BAS

通過以上實(shí)驗(yàn)可以確定改進(jìn)BAS的可行性與優(yōu)越性以及此種算法特有的內(nèi)部參數(shù)值，為后續(xù)將其嵌入到TLBO 算法中提供了理論依據(jù)。然而為了保證本文實(shí)驗(yàn)的嚴(yán)謹(jǐn)性，根據(jù)2.2節(jié)中的分析，還需要考慮固定迭代次數(shù)的設(shè)置問題，如果固定迭代次數(shù)過大，則會(huì)影響改進(jìn)TLBO 算法的整體收斂效率，如果過小，則可能體現(xiàn)不出改進(jìn)優(yōu)勢(shì)。因此針對(duì)上述改進(jìn)BAS，將最大迭代次數(shù)分別取200、1 000、2 000，在標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)上進(jìn)行獨(dú)立30次優(yōu)化實(shí)驗(yàn)，計(jì)算并統(tǒng)計(jì)最優(yōu)解和均值，如表3所示。

表3 最大迭代次數(shù)對(duì)改進(jìn)BAS優(yōu)化性能影響Table 3 Effect of maximum iterations on improved BAS optimization performance

由表3可知，最大迭代次數(shù)對(duì)天牛須搜索算法的影響不大，因此為了保證BASTLBO改進(jìn)算法的整體尋優(yōu)效率，后續(xù)實(shí)驗(yàn)中在給改進(jìn)BAS設(shè)置終止條件時(shí)，固定迭代次數(shù)取值為200。

3.3 不同改進(jìn)策略單一有效性分析

將僅使用Tent映射反向?qū)W習(xí)初始化策略的TLBO_1、僅加入改進(jìn)天牛須搜索的TLBO_2、僅加入組合變異的TLBO_3 與標(biāo)準(zhǔn)TLBO 算法進(jìn)行比較，探討本文每部分改進(jìn)對(duì)算法整體效果影響，驗(yàn)證不同策略的改進(jìn)有效性。TLBO_2中加入的改進(jìn)BAS內(nèi)部參數(shù)設(shè)置同3.2節(jié)一樣，并且設(shè)置其迭代終止條件為固定搜索精度0.001，固定迭代次數(shù)200次。統(tǒng)一實(shí)驗(yàn)條件，各算法種群規(guī)模為20，測(cè)試函數(shù)維度均為30維，最大迭代次數(shù)1 000次。獨(dú)立運(yùn)行30次，統(tǒng)計(jì)各算法的解平均值和方差，結(jié)果如表4所示。

表4 不同改進(jìn)策略結(jié)果比較Table 4 Comparison of results of different improvement strategies

結(jié)合表4數(shù)據(jù)，分析每種改進(jìn)策略，TLBO_2對(duì)于單峰函數(shù)f3和多峰函數(shù)f4、f5，都可以收斂到函數(shù)最優(yōu)值0，雖然在f1和f6上沒有尋到理論最優(yōu)，但也是表現(xiàn)最優(yōu)秀的。因?yàn)門LBO 算法的核心便是利用教師與學(xué)生之間的差異來尋優(yōu)，始終讓當(dāng)前最優(yōu)個(gè)體指導(dǎo)整個(gè)種群進(jìn)化，而加入了改進(jìn)BAS的TLBO_2可以在算法每次迭代過程中獲得更優(yōu)秀的當(dāng)前最優(yōu)個(gè)體，一方面提高了尋優(yōu)精度，一方面使得種群在算法初始階段快速向可能最優(yōu)解區(qū)域靠近，加快了收斂速度。實(shí)驗(yàn)證明了在TLBO中引入改進(jìn)天牛須搜索的有效性和優(yōu)越性。在函數(shù)f2上，三種改進(jìn)策略相比標(biāo)準(zhǔn)TLBO提升效果不是特別明顯，但TLBO_3表現(xiàn)最優(yōu)，并且在f4上找到了理論最優(yōu)值，在f5中方差為0，穩(wěn)定性良好。這是因?yàn)門LBO_3中的組合變異策略有效增強(qiáng)了算法前期的局部勘探能力和后期的全局開發(fā)能力，實(shí)驗(yàn)說明此策略對(duì)本文改進(jìn)算法性能提升具有顯著影響。另外，使用了本文Tent映射反向?qū)W習(xí)策略的TLBO_1 相比于標(biāo)準(zhǔn)TLBO 算法優(yōu)化性能也有一定提升。下文將繼續(xù)通過實(shí)驗(yàn)測(cè)試融合了以上三種改進(jìn)策略的BASTLBO算法的尋優(yōu)性能。

3.4 BASTLBO算法性能測(cè)試

將本文所提出的BASTLBO 算法與標(biāo)準(zhǔn)TLBO 以及兩種典型TLBO 改進(jìn)算法FETLBO[7]、DSTLBO[9]進(jìn)行對(duì)比，分別在維度為30 維、100 維的條件下，在3.1 節(jié)中的標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)上進(jìn)行尋優(yōu)測(cè)試，參數(shù)設(shè)置同3.2 節(jié)一樣，F(xiàn)ETLBO和DSTLBO的實(shí)驗(yàn)參數(shù)參考各自文獻(xiàn)。獨(dú)立運(yùn)行30次，計(jì)算并統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表5所示。

從表5數(shù)據(jù)可以看出，函數(shù)維度為30維時(shí)，BASTLBO算法可以成功找到單峰函數(shù)f1的最優(yōu)解，而參與對(duì)比的TLBO、FETLBO、DSTLBO算法雖然無法搜索到全局最優(yōu)值，但FETLBO、DSTLBO 的性能較于TLBO 仍有較大提升。四個(gè)算法在f2上都沒有找到最優(yōu)解，但觀察各算法的解均值和方差，可以看出BASTLBO表現(xiàn)最優(yōu)。f3也是單峰函數(shù)，多峰函數(shù)f4極值點(diǎn)較多，但三種改進(jìn)TLBO 算法均收斂到了全局最優(yōu)。對(duì)于多峰函數(shù)f5，TLBO 算法解精度較低，而FETLBO、DSTLBO、

表5 不同維度下算法尋優(yōu)結(jié)果對(duì)比Table 5 Comparison of algorithm optimization results in different dimensions

如圖1 所示，繪制出了30 維度下TLBO、FETLBO、DSTLBO、BASTLBO 算法在不同函數(shù)上的平均收斂曲線，結(jié)合表5 數(shù)據(jù)，進(jìn)一步評(píng)估算法尋優(yōu)性能?？梢钥闯觯诹鶄€(gè)測(cè)試函數(shù)上，三種改進(jìn)算法的解精度和收斂速度較標(biāo)準(zhǔn)TLBO 均有所提高，在f3上DSTLBO 前期收斂速度比BASTLBO 要快，除此之外，本文所提出的BASTLBO 算法無論在單峰還是多峰函數(shù)上始終都保持著較高的穩(wěn)定性和尋優(yōu)精度，且收斂速度最快，在其他算法陷入局部最優(yōu)時(shí)，依然可以持續(xù)尋優(yōu)。綜上，加入了本文提出的三種改進(jìn)策略的BASTLBO 算法的綜合優(yōu)化性能得到了有效驗(yàn)證。

圖1 30維度下不同函數(shù)平均收斂曲線Fig.1 Average convergence curves of different functions in 30 dimensions

3.5 與其他群智能算法對(duì)比

為了更好地評(píng)估BASTLBO算法的尋優(yōu)能力，選取CEC2013 函數(shù)集中的10 個(gè)基準(zhǔn)函數(shù)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，具體函數(shù)信息如表6 所示，包括函數(shù)名稱、搜索空間范圍BASTLBO算法在本實(shí)驗(yàn)中均成功收斂30次。在f6中，DSTLBO 表現(xiàn)最優(yōu)，BASTLBO 與FETLBO 算法求解精度相當(dāng)，但就方差而言，BASTLBO算法顯得更穩(wěn)定些。

表6 CEC2013函數(shù)（部分）Table 6 CEC2013 functions（part）

當(dāng)測(cè)試函數(shù)維度增加到100維時(shí)，四個(gè)算法均沒有在1 000 次迭代內(nèi)找到函數(shù)f1的全局最優(yōu)值，但是BASTLBO 算法的解精度要優(yōu)于其他三種算法。對(duì)于f3、f4，BASTLBO均成功收斂30次，而FETLBO、DSTLBO在f4上表現(xiàn)相當(dāng)，在f3上可以收斂到理論最優(yōu)。三種改進(jìn)TLBO 算法在30 維時(shí)可以找到f5函數(shù)的最優(yōu)值，但在100維度時(shí)，尋優(yōu)精度和穩(wěn)定性均有不同程度的下降，而且可以注意到，此時(shí)DSTLBO、BASTLBO 還要稍遜于FETLBO 算法。在f6函數(shù)上，BASTLBO 算法100維下的求解精度較30 維時(shí)幾乎沒有下降，而FETLBO、DSTLBO均有所下降，說明本文改進(jìn)算法具有更好的魯棒性，適用于高維尋優(yōu)。和理論最優(yōu)值。參與對(duì)比的新型群智能算法有螢火蟲算法（FA）[13]、布谷鳥算法（CS）[14]、人工魚群算法（AFSA）[15]。設(shè)置各算法種群規(guī)模為40，最大迭代次數(shù)為1 000，分別在10維、30維、50維條件下，獨(dú)立運(yùn)行30次取解平均值和方差，結(jié)果如表7所示。

表7 CEC2013函數(shù)優(yōu)化結(jié)果對(duì)比Table 7 Comparison of CEC2013 functions optimization results

分析表7 數(shù)據(jù)，最優(yōu)指標(biāo)數(shù)據(jù)已經(jīng)加粗顯示，可以看出，與其他算法相比，無論是低維還是高維，BASTLBO算法均能在CEC2013單峰、多峰以及復(fù)合函數(shù)上找到更好的結(jié)果，進(jìn)一步證明BASTLBO具有較好的收斂精度和魯棒性。

上述實(shí)驗(yàn)中僅使用了平均值和方差兩種評(píng)價(jià)指標(biāo)，為了增強(qiáng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的說服力，采用顯著性水平α=5%的Wilcoxon 秩和檢驗(yàn)[16]方法來進(jìn)一步評(píng)估BASTLBO 算法的性能。如表8所示，其中符號(hào)“+”“-”和“=”分別表示BASTLBO算法的結(jié)果優(yōu)于、劣于和相當(dāng)于對(duì)比算法的測(cè)試結(jié)果。

當(dāng)p值小于5%時(shí)，拒絕零假設(shè)，說明兩種算法之間具有顯著性差異。從表8的Wilcoxon統(tǒng)計(jì)結(jié)果來看，當(dāng)顯著性水平為5%時(shí)，BASTLBO算法與另外三種群智能對(duì)比算法之間具有顯著性差異，且BASTLBO明顯更優(yōu)。

表8 Wilcoxon秩和檢驗(yàn)結(jié)果統(tǒng)計(jì)Table 8 Statistics of Wilcoxon test results

3.6 用壓力容器設(shè)計(jì)優(yōu)化問題驗(yàn)證算法

BASTLBO 算法求解無約束測(cè)試函數(shù)的有效性和優(yōu)越性已經(jīng)得到驗(yàn)證，為了驗(yàn)證其對(duì)約束問題的求解能力，選擇壓力容器設(shè)計(jì)優(yōu)化這一實(shí)際結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題來進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，使用BASTLBO求解最小總成本。式（15）給出了該問題的目標(biāo)函數(shù)，約束條件見式（16）。其中x1、x2、x3、x4分別表示實(shí)際問題中的半球形封頭厚度Ts、圓柱形壓力容器厚度Th、內(nèi)徑R和圓柱長度L。

其中，1×0.062 5 ≤x1,x2≤99×0.062 5,10 ≤x3,x4≤200。

為評(píng)判求解結(jié)果的優(yōu)劣，將BASTLBO算法與廣泛學(xué)習(xí)粒子群算法（CLPSO）、協(xié)同差分進(jìn)化算法（CEDE）以及人工免疫混合遺傳算法（GA-AIS）進(jìn)行比較實(shí)驗(yàn)[17]。為保證公平性，各算法種群規(guī)模設(shè)置為50，均獨(dú)立運(yùn)行30次，取優(yōu)化結(jié)果均值。對(duì)比數(shù)據(jù)如表9、表10所示。

表9 壓力容器設(shè)計(jì)問題中約束函數(shù)值對(duì)比Table 9 Constraint function values comparison in pressure vessel design problem

表10 不同算法在壓力容器設(shè)計(jì)問題上的優(yōu)化結(jié)果對(duì)比Table 10 Optimization results comparison of different algorithms in pressure vessel design problem

綜合表9、表10數(shù)據(jù)可以看出，BASTLBO算法的優(yōu)化結(jié)果更好一些，其迭代50 000次得到的總成本比其他三種算法要更低。約束函數(shù)值也證明了BASTLBO 求解此問題的有效性和優(yōu)越性，g3函數(shù)值達(dá)到了0，約束函數(shù)g1、g2、g4的值也更接近0，其中g(shù)1、g2約束函數(shù)值至多提升了9個(gè)數(shù)量級(jí)。

4 結(jié)束語

針對(duì)TLBO算法易陷入局部最優(yōu)、求解精度低的弱點(diǎn)，本文提出如下三方面的改進(jìn)。

（1）在種群初始化階段，結(jié)合Tent 映射和反向?qū)W習(xí)機(jī)制，根據(jù)適應(yīng)度值排序，擇優(yōu)組成初始種群，提高了種群多樣性，且有利于算法快速收斂。

（2）在迭代過程中對(duì)教師個(gè)體執(zhí)行BAS搜索，并對(duì)BAS進(jìn)行改進(jìn)，增強(qiáng)TLBO算法對(duì)當(dāng)前最優(yōu)個(gè)體周圍區(qū)域的精細(xì)搜索，提高跳出局部最優(yōu)的能力。

（3）在學(xué)生個(gè)體更新公式中加入混合變異算子，利用柯西函數(shù)較強(qiáng)的局部變異能力和高斯函數(shù)較強(qiáng)的全局變異能力，使算法隨迭代進(jìn)程自適應(yīng)調(diào)節(jié)探索方向，既維持了算法的收斂速度，又可以在陷入局部最優(yōu)時(shí)迅速跳出。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文提出的BASTLBO算法在低維和高維下的尋優(yōu)均具有較好的求解精度和魯棒性，收斂速度快。并通過對(duì)壓力容器設(shè)計(jì)優(yōu)化問題的求解，驗(yàn)證了BASTLBO 算法解決約束優(yōu)化問題的有效性和優(yōu)越性。未來還會(huì)借鑒其他隨機(jī)搜索算法的優(yōu)點(diǎn)，來進(jìn)一步改善算法性能，同時(shí)也將深入研究拓展該算法的應(yīng)用領(lǐng)域。