王梓齊，樊 凱，張軍劍，馮志華

（1.中國科學(xué)技術(shù)大學(xué) 精密機(jī)械與精密儀器系，安徽 合肥 230026；2.中國科學(xué)技術(shù)大學(xué) 精密科學(xué)儀器安徽普通高校重點實驗室，安徽 合肥 230026）

引言

同步輻射光因其高亮度、低發(fā)射度等優(yōu)異特性被廣泛應(yīng)用于原子分子物理、化學(xué)、生命科學(xué)等基礎(chǔ)學(xué)科研究以及微電子、醫(yī)藥、化工等應(yīng)用技術(shù)研究中，已經(jīng)成為當(dāng)今眾多前沿科學(xué)和高新技術(shù)開發(fā)中不可替代的最佳光源[1]。為使這一優(yōu)質(zhì)光源性能得到充分應(yīng)用，在束線光學(xué)中必須具備與此相適應(yīng)的聚焦和成像元件，以保證光學(xué)傳輸過程中入射束線發(fā)射度不拓展，通量不降級[2]。在過去的20 多年，第3 代同步輻射裝置的建設(shè)推動了納米聚焦光學(xué)元件的飛速發(fā)展，如光柵[3]、復(fù)合折射率透鏡[4]和菲涅爾波帶片[5]等，但是具有能動可調(diào)性的光學(xué)元件仍處于探索和研究階段。第4 代同步輻射光源的建設(shè)對能夠達(dá)到衍射極限的光學(xué)聚焦元件的需求逐漸凸顯，變形鏡是同步輻射中對光束線進(jìn)行聚焦的重要光學(xué)器件，其面形精度直接影響著光束線的性能。

變形鏡按變形原理不同可細(xì)分為壓彎變形鏡(bendable mirror)和壓電變形鏡（piezoelectric bimorph mirror,PBM）。壓彎鏡通過在長鏡端部施加力矩，使鏡面變形，鏡面形貌可以通過設(shè)計力矩施加的方式和大小、機(jī)械約束形式、鏡面形狀和厚度分布等方法調(diào)控[6-7]。相較而言，壓彎變形鏡的發(fā)展較為成熟，已在3 代光源中大量應(yīng)用。PBM 技術(shù)的研發(fā)則相對滯后，目前國際上僅有少數(shù)幾個同步輻射光源機(jī)構(gòu)開展了相關(guān)技術(shù)的前期研究。相對壓彎變形鏡，PBM 對機(jī)械加工要求較低，面形控制自由度高，又因壓電材料固有的機(jī)電耦合屬性，其具有更加靈活的控制特性和很大的發(fā)展前景[8-9]，近年來受到國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。

自1994年第一個單電極PBM[10]提出以來，研究人員不斷通過增加電極分區(qū)數(shù)量來提升控制自由度，獲得更加理想的面形結(jié)果。2015年，英國Diamond 同步輻射光源Alcock S G 等人[11]在600 mm基底上設(shè)計了16 對電極的結(jié)構(gòu)，通過建立壓電響應(yīng)方程，采用逆矩陣方法求解控制電壓，成功將PBM 的面形誤差RMS 由2 μrad 減小到0.5 μrad。2013年，日本同步輻射裝置Spring-8 的Nakamori H 等人[12]研制了一個用于實現(xiàn)衍射極限聚焦的PBM，該PBM 的主要特點之一是電極排列密度高，在100 mm 的基底上設(shè)計了18 對分區(qū)電極。這種設(shè)計大大提高了面形控制自由度和自適應(yīng)校正精度，使衍射極限聚焦成為可能。經(jīng)過測試，在Spring-8 光束線BL29-XUL 中通過粗調(diào)與精調(diào)相結(jié)合的在線控制方法調(diào)節(jié)電壓配置，獲得了達(dá)到衍射極限120 nm 光斑，展現(xiàn)了多電極PBM 的應(yīng)用價值。2020年，上海應(yīng)用物理研究所田納璽等人[13]采用類似設(shè)計思路，通過迭代全局優(yōu)化算法，成功將初始43.4 μm 焦斑尺寸經(jīng)相位補(bǔ)償后壓縮到12.9 μm，為上海同步輻射光源的快速相位補(bǔ)償提供了可能。

電極數(shù)量的增加可以增加控制自由度，改善因加工或裝配造成的鏡面空間低頻誤差，使PBM 面形精細(xì)控制成為可能[8-9,14]。但與此同時，這種多電極的設(shè)計也面臨著控制困難，包括反演后相鄰電極間壓差超過安全極限的問題[3,15]。由于壓電致動單元排列密集，各個致動單元之間的變形貢獻(xiàn)高度耦合，面對一個目標(biāo)面形，如何理清各個致動單元的變形貢獻(xiàn)，如何施加合理的控制電壓成為亟待解決的工程問題。

1 壓電變形鏡構(gòu)成與工作原理

本文的結(jié)構(gòu)參考了Spring-8 的設(shè)計思路[16]，并通過進(jìn)一步提升電極數(shù)來獲得更加精細(xì)的面形控制效果，PBM 結(jié)構(gòu)如圖1所示。PBM 由單晶硅基底和鋯鈦酸鉛壓電陶瓷（PZT-5H）組成。其中，單晶硅基底尺寸為200 mm×50 mm×15 mm，單片PZT 尺寸為200 mm×17.5 mm× 1 mm。在頂部的2 片PZT 上表面分區(qū)鍍36 個電極，單電極尺寸為17.5 mm×5 mm，相鄰兩電極分區(qū)間隔0.55 mm；底部的2 片PZT 不分區(qū)，與頂部對稱分布，以減小溫度等共模因素對鏡面穩(wěn)定性的影響。

圖1 PBM 有限元模型Fig.1 Finite element model of PBM

令PZT 與鏡面相接觸的電極板接地，當(dāng)上表面電極通電后，根據(jù)逆壓電效應(yīng)，壓電材料橫向的收縮將帶動基底產(chǎn)生形變。一般地，上表面寬度方向?qū)ΨQ的2 個電極電氣相連，視作一組，輸入相同的控制電壓。通過精細(xì)調(diào)節(jié)各組電極施加的電壓，可以控制PBM 的鏡面形貌。同步輻射光經(jīng)上表面中間的鏡面區(qū)反射后在測試樣品的目標(biāo)點處匯聚為光斑，如圖2所示。

圖2 PBM 聚焦示意圖Fig.2 Schematic diagram of PBM convergence

2 壓電變形鏡的數(shù)學(xué)描述與控制目標(biāo)

2.1 PBM 數(shù)學(xué)模型的建立

為了定量描述鏡面面形與各極板間施加電壓的數(shù)學(xué)關(guān)系，需要構(gòu)建輸入（控制電壓）與輸出（鏡面中心位置各點斜率）的數(shù)學(xué)模型。一般地，將變形鏡的小變形與施加電壓的關(guān)系視為線性[17-18]，具體可分為2 個方面：1）針對單組電極，施加電壓大小與鏡面中線各點斜率大小呈線性關(guān)系；2）多組電極共同施加電壓的變形效果等價于單組電極分別施加電壓變形效果的線性疊加。據(jù)此，構(gòu)造以下數(shù)學(xué)關(guān)系：

簡化為

在有限元仿真軟件COMSOL Multiphisics 中各組極板依次施加1 kV 電壓，通過采集鏡面中線的位移變化，可以繪制36 條壓電響應(yīng)方程（piezo response function,PRF），如圖3所示。通過將各條PRF 離散化采樣后求采樣點處斜率，可以獲得變換矩陣H對應(yīng)列的數(shù)據(jù)。本文共選擇采樣點數(shù)m=196。

圖3 PBM 壓電響應(yīng)方程（PRF）圖像Fig.3 Schematic of PBM piezoelectric response equations

2.2 PBM 的反演目標(biāo)及約束條件

從橢圓一個焦點發(fā)射出的所有光線，經(jīng)橢圓面反射后經(jīng)相同的光程同時匯聚到橢圓的另一焦點處。得益于該幾何特性，在同步輻射中常選取橢圓作為理想面形。Sutter J P [19-20]等人指出，對于如圖4所示的橢圓面形，可以通過(3)式實現(xiàn)斜率關(guān)系重建。據(jù)此，獲得了橢圓面形的斜率Sellipse，本文選取的橢圓面形參數(shù)如表1所示。

圖4 橢圓的坐標(biāo)重建示意圖Fig.4 Schematic of ellipse coordinates reconstruction

表1 橢圓面形參數(shù)Table 1 Parameters selection of ellipse surface shape

在工程應(yīng)用中，鏡面面形會受到重力、裝配等因素的影響產(chǎn)生畸變[11]。圖5所示是仿真鏡面受重力后產(chǎn)生的豎直方向位移和斜率變化，將鏡面因重力造成的斜率變化記作Sgravity，該畸變需要被PBM 主動變形抵消。由此得到反演目標(biāo)表達(dá)式為

圖5 鏡面受重力后產(chǎn)生的豎直方向位移和斜率變化Fig.5 Displacement in vertical direction and slope changes of PBM under gravity

此外，控制目標(biāo)的確定通常還需要傳感器對當(dāng)前面形進(jìn)行測量，經(jīng)計算后主動補(bǔ)償殘差。為使模型更加貼近工程實際，向反演目標(biāo)S0中引入噪聲項ζ并記作由MATLAB 中rand()函數(shù)隨機(jī)獲得，引入的噪聲小于真值的±1%。通過將該反演目標(biāo)離散化采樣，可以獲得反演斜率向量采樣位置與H矩陣的采樣點位置相同，即的尺寸為196×1。

反演后所得的電壓施加在電極時需滿足一定的約束條件[3,15]。一般認(rèn)為PZT 施加的電壓不應(yīng)超過2 kV/mm，否則易造成壓電陶瓷退極化，甚至擊穿介質(zhì)[21]。另外，相鄰分區(qū)極板間電壓差不應(yīng)過大，根據(jù)電極間距設(shè)計的壓差不同，一般認(rèn)為最大壓差不得超過500 V/mm，否則會增加極間擊穿風(fēng)險，造成對PBM 的破壞不可逆。本文設(shè)計電極間隔0.55 mm，據(jù)此確定相鄰分區(qū)電壓差不應(yīng)超過275 V。

3 電壓反演算法及控制效果分析

探討通過最小二乘法和Tikhonov 正則化兩種方法反演出電壓配置向量的方法與結(jié)果。下面將說明反演時采用最小二乘法的局限性，以及采用Tikhonov 正則化的現(xiàn)實意義和工程價值。

3.1 最小二乘法

最小二乘法（least square method,LSM）是常用的對目標(biāo)曲線進(jìn)行參數(shù)化擬合的數(shù)學(xué)方法，具有線性、無偏的特點[22]。該方法以獲得擬合量與目標(biāo)量之間殘差的平方和最小為目標(biāo)，不附加任何約束形式，是一種數(shù)學(xué)上最優(yōu)的參數(shù)化擬合手段。本文針對反演斜率向量的196 個采樣數(shù)據(jù)擬合電壓配置向量中36 個元素，使擬合結(jié)果具有最小的殘差平方和。LSM 的解析解表達(dá)式為

3.2 Tikhonov 正則化

Tikhonov 正則化是對不適定問題（Ill-posed problem）進(jìn)行回歸分析時使用的一種正則化方法[23]。其本質(zhì)上是一種改良的LSM 估計法，通過放棄LSM的無偏性，以損失部分信息、降低精度為代價，獲得的回歸系數(shù)更符合實際，更可靠。Tikhonov 正則化對病態(tài)數(shù)據(jù)的擬合強(qiáng)于LSM，廣泛應(yīng)用于數(shù)據(jù)分析、機(jī)器學(xué)習(xí)、統(tǒng)計學(xué)習(xí)等領(lǐng)域[24]。相關(guān)的懲罰項構(gòu)造泛函，即：

在LSM 的基礎(chǔ)上，添加一個與電壓波動程度

式中：α為正則化參數(shù)；為電壓先驗值。求解電壓的過程就是使泛函取得最小值的過程：

令：

推導(dǎo)得到電壓配置向量解析表達(dá)式為

式中I為單位陣。先驗值是對目標(biāo)面形施加電壓的粗略估計，往往根據(jù)經(jīng)驗估計或仿真得到，包含著對控制結(jié)果方向性和范圍性的預(yù)測。本文選取先驗值為0.3 kV。

目前比較有代表性的正則化參數(shù)選取策略有：Morozov 偏差原理、廣義交叉檢驗、L 曲線(Lcurve)等準(zhǔn)則，其中L 曲線準(zhǔn)則應(yīng)用最為廣泛[25]。該方法原理是，在平面上將一系列不同α值時的作為橫縱坐標(biāo)繪制成曲線，曲線呈L 形而得名。

圖6所示是本文對應(yīng)的L 曲線，各個數(shù)據(jù)點的橫縱坐標(biāo)分別代表面形控制誤差和控制電壓波動。從圖6 可看出，隨著α的不斷增大，電壓波動逐漸減小，但這是以犧牲面形控制精度為代價的。因此，α的選取應(yīng)綜合考量工程實際需求，需在曲線拐點附近選取，最終選取α值為1.25。

圖6 L 曲線繪制與正則化參數(shù)的選取Fig.6 L-curve and selection of regularization parameters

3.3 控制結(jié)果分析與討論

分別使用LSM 和Tikhonov 正則化兩種方法對控制電壓進(jìn)行求解，電壓反演結(jié)果如圖7所示。經(jīng)LSM 反演求解，相鄰極板間產(chǎn)生的最大壓差為1.019 kV，遠(yuǎn)大于工程中允許的安全壓差0.275 kV，極易擊穿電極。采用Tikhonov 正則化后，鄰近極板最大壓差減小為0.174 kV，符合工程實際要求成為可能。

圖7 電壓反演結(jié)果對比Fig.7 Comparison of voltage inversion results

電壓大幅波動的原因是，隨著壓電致動單元排列更加密集，單元間變形貢獻(xiàn)耦合程度急劇提升。以變換矩陣H條件數(shù)（condition number）衡量耦合程度，經(jīng)仿真發(fā)現(xiàn)，相同約束和尺寸的PBM，隨著PZT 分區(qū)數(shù)量的增加，矩陣H條件數(shù)快速增加，如表2所示。數(shù)學(xué)上稱這類條件數(shù)較大的矩陣為病態(tài)矩陣，這意味著變換矩陣H各列之間相關(guān)性增加，對病態(tài)矩陣反演問題稱為不適定問題。

表2 不同分區(qū)數(shù)量對變換矩陣H 條件數(shù)的影響Table 2 Influence of number of different partitions on condition number of transformation matrix H

因此，當(dāng)系統(tǒng)引入噪聲時，使用LSM 反演的控制結(jié)果對帶有噪聲的離散采樣點過擬合，逼近帶有噪聲的目標(biāo)面形，表現(xiàn)為相鄰電極間大多形成“相互掣肘”的控制電壓。采用Tikhonov 正則化通過增加與電壓波動情況相關(guān)的懲罰項，能夠有效避免電壓過度波動。從另一個角度來講，加入了正則化即相當(dāng)于接受了假設(shè)：面形是連續(xù)而平緩的，不會高頻波動，放棄了電壓對噪聲部分的過擬合，因此系統(tǒng)對噪聲具有魯棒性。

圖8所示為反演目標(biāo)斜率與采用LSM 和Tikhonov 正則化兩種方法所得控制結(jié)果殘差對比，表3 是兩種方法控制結(jié)果量化對比。由圖8 可知，兩種方法均能將面形誤差控制在一個較低的水平，但采用LSM 比Tikhonov 正則化斜率殘差波動更大，表現(xiàn)出LSM 對于噪聲分量的過擬合問題。對表3 數(shù)據(jù)分析可得，采用Tikhonov 正則化后，面形控制誤差相較LSM 降低了21.7%，電壓標(biāo)準(zhǔn)差降低了66.7%。Tikhonov 正則化反演結(jié)果解決了電壓異常波動問題，同時獲得了更加出色的面形控制效果，比LSM 具有更加優(yōu)越的現(xiàn)實應(yīng)用價值。

圖8 反演目標(biāo)斜率及兩種方法控制結(jié)果殘差對比Fig.8 Inversion target slope and comparison of control residual between LSM and Tikhonov regularization

表3 兩種方法反演結(jié)果比較Table 3 Comparison of inversion results of two methods

4 結(jié)論

通過有限元仿真分析，構(gòu)建了36 組電極分區(qū)的PBM 數(shù)學(xué)模型。為了獲得橢圓目標(biāo)面形，同時結(jié)合工程實際，考慮了重力引起的面形畸變和傳感器引入的測試噪聲，對致動單元控制電壓進(jìn)行反演。研究發(fā)現(xiàn)，因致動單元排列密集，各致動單元之間的變形貢獻(xiàn)高度耦合，變換矩陣H條件數(shù)較大，矩陣呈病態(tài)。采用LSM 方法反演后，相鄰電極間壓差最大可達(dá)1.019 kV，遠(yuǎn)超安全極限，表現(xiàn)出對噪聲分量的過擬合問題；采用Tikhonov 正則化反演后，控制電壓波動放緩，電壓標(biāo)準(zhǔn)差減小了66.7%，面形控制誤差降低了21.7%。所得結(jié)論為國家同步輻射實驗室PBM 閉環(huán)控制策略提供了理論指導(dǎo)。