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基于浸入與不變原理的電力系統(tǒng)混沌振蕩分析與控制

2022-02-28 12:49王定勝張宏立張紹華
振動與沖擊 2022年4期
關鍵詞:滑模擾動反演

王定勝, 張宏立, 王 聰, 張紹華

(新疆大學 電氣工程學院,烏魯木齊 830047)

電力系統(tǒng)是一種典型的大規(guī)模復雜非線性動態(tài)系統(tǒng),非線性、多變量、強耦合的特點,為其帶來豐富的動力學行為,在一定條件下會產(chǎn)生突發(fā)性分岔、無規(guī)則混沌振蕩等現(xiàn)象[1-4]。電網(wǎng)在運行過程中易受到參數(shù)改變、外部擾動、負荷變化等影響,大大限制了其運行過程中穩(wěn)定安全域,如果不對其及時采取糾正措施,將會造成電網(wǎng)的轉(zhuǎn)角失穩(wěn)、電壓崩潰、頻率振蕩等危害,嚴重時甚至造成大規(guī)模的停電事故,對電網(wǎng)產(chǎn)生不可逆的損壞,增加安全隱患[5]。因此,如何快速有效地抑制電力系統(tǒng)中的混沌振蕩現(xiàn)象,提高系統(tǒng)的穩(wěn)定域,保障電網(wǎng)的安全運行,成為行業(yè)內(nèi)研究的熱門課題。

近年來,關于電力系統(tǒng)混沌振蕩的抑制問題被越來越多的重視,有關這方面的研究對此提出過許多新的控制方案。文獻[6]在簡單電力系統(tǒng)模型中采用狀態(tài)負反饋方法,通過鎮(zhèn)定系統(tǒng)的不穩(wěn)定周期軌道,以達到抑制混沌振蕩的目的。文獻[7]采用延遲反饋控制法(delayed feedback control,DFC)對電力系統(tǒng)進行混沌控制,該方法在證明過程中需要確定復雜的反饋系數(shù)和延遲時間才能夠保證系統(tǒng)的穩(wěn)定。文獻[8]論述了基于Washout-filter法通過改變電力系統(tǒng)的分岔點來維持系統(tǒng)穩(wěn)定的可能性,一定程度上增加了系統(tǒng)的穩(wěn)定運行域。滑模變結(jié)構(gòu)控制憑借其控制響應迅速、不受參數(shù)影響,魯棒性強等方面的優(yōu)勢,廣泛應用在電力系統(tǒng)的分岔、混沌等問題的控制策略中。文獻[9]利用反演思想設計的滑模變結(jié)構(gòu)控制器,應用到二階電力系統(tǒng)模型的混沌控制中,有效實現(xiàn)了該方法的穩(wěn)定控制效果,但其對問題的描述過于片面。文獻[10]通過增加等效快速終端的方法,對模糊滑??刂七M行改進,來抑制電力系統(tǒng)中的混沌振蕩現(xiàn)象,但是為了解決系統(tǒng)控制中因不可避免的抖振帶來的影響,需要在控制信號端對其進行柔性化處理。文獻[11]對具有兩個不確定參數(shù)的互聯(lián)電力系統(tǒng)混沌行為的研究中,設計了基于模糊理論的滑??刂破?,一定程度改善了混沌互聯(lián)電力系統(tǒng)的控制問題。除上述的研究外,現(xiàn)在還衍生出各種組合改進算法,如:有限時間無源自適應控制[12]、自適應全局滑模控制[13]、分布式神經(jīng)網(wǎng)絡自適應控制[14-15]。以上研究著重于電力系統(tǒng)二階模型進行討論,其形式過于簡單,很難全面地展現(xiàn)電力系統(tǒng)詳細的運行狀態(tài)信息。

浸入與不變(immersion and invariance,Ⅰ&Ⅰ)原理由Astolfi等[16-18]提出,其思想是通過降維處理將控制系統(tǒng)“浸入”到一種低維流形中,通過控制率的設計,能夠?qū)⑵淞餍伪3植蛔兒臀瑥亩WC整個系統(tǒng)的穩(wěn)定。基于Ⅰ&Ⅰ原理引出的控制策略不僅能夠快速處理非線性系統(tǒng)的控制問題,對系統(tǒng)中不確定項的自適應問題也能夠?qū)崿F(xiàn)精確跟蹤,具有較強的魯棒性。該方法的核心是根據(jù)設計指標確定一個低階的動態(tài)系統(tǒng),然后建立與被控系統(tǒng)之間的映射關系,使系統(tǒng)狀態(tài)漸近地跟隨低階動態(tài)系統(tǒng),這個過程可以視為使被控系統(tǒng)“浸入”低階動態(tài)系統(tǒng)。這里的低階動態(tài)系統(tǒng)和滑??刂扑惴ㄖ械幕瑒悠矫嫦嗨疲瑑烧叩牟煌c在于Ⅰ&Ⅰ控制方法不強制要求系統(tǒng)狀態(tài)運行到指定的滑動模態(tài),只需要滿足控制要求的漸近收斂條件即可,故不僅可大幅降低由滑模面快速切換引起的高頻振動,還可實現(xiàn)母線電壓動態(tài)平滑控制。

目前國內(nèi)對于Ⅰ&Ⅰ原理的相關研究,大多是將其應用到氣動彈性系統(tǒng),無人飛行器等剛體機械系統(tǒng)中[19-21]。本文通過建模與分析,將Ⅰ&Ⅰ原理引入到四階電力系統(tǒng)的混沌抑制過程中,對混沌電力系統(tǒng)的實施穩(wěn)定控制。仿真試驗結(jié)果表明,基于Ⅰ&Ⅰ原理設計的控制律和自適應律,能夠?qū)﹄娏ο到y(tǒng)混沌振蕩實現(xiàn)穩(wěn)定控制,對系統(tǒng)外部不確定擾動實現(xiàn)精確辨識。

1 電力系統(tǒng)動力學分析

電力系統(tǒng)的組成,主要包括發(fā)電機、動態(tài)負荷、電網(wǎng)絡三大模塊,發(fā)電機是電網(wǎng)的輸入端,其運行狀態(tài)能夠在電力系統(tǒng)穩(wěn)定運行中發(fā)揮導向性作用,其穩(wěn)定性表現(xiàn)在它的動態(tài)特性上。動態(tài)負荷模塊反映的是負載端的功率消耗(包括有功功率和無功功率)隨電壓改變而快速變化的情況。電網(wǎng)絡部分集中描述系統(tǒng)中各參數(shù)之間的相互關系。在電網(wǎng)實際中,常將實數(shù)部分有功功率Pi和虛數(shù)部分無功功率Qi分開來。常見的電力系統(tǒng)混沌振蕩現(xiàn)象是由無功功率Qi的變化所引起,是系統(tǒng)穩(wěn)定運行的重大隱患。本文采用經(jīng)典雙機三節(jié)點電力系統(tǒng)模型,系統(tǒng)模型的接線圖如圖1所示。E0為無窮大系統(tǒng)母線電壓幅值;Y0為節(jié)點導納。

圖1 雙機三節(jié)點電力系統(tǒng)模型Fig.1 Two machine three node power system model

根據(jù)電路原理,電力系統(tǒng)含不確定參數(shù)Qi非線性數(shù)學模型常規(guī)OED形式

(1)

式中:δ為功率角;ω為功率角速度;θ為負荷母線相角;V為節(jié)點電壓;Q1為系統(tǒng)的無功負荷,不確定參數(shù)項。

通過對電壓平衡曲線的研究,表明無功功率Q1的變化,可以改變電力系統(tǒng)的運行狀態(tài),引發(fā)電力系統(tǒng)產(chǎn)生豐富的動力學行為。

圖2所示,在Q1=[10,11.5]內(nèi),系統(tǒng)運行狀態(tài)在穩(wěn)定和分岔間來回切換,只能保持小范圍的穩(wěn)定,當Q1變化到10.946 7時,系統(tǒng)發(fā)生第一次Hopf分岔,此時系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)為0.012,該點為亞臨界Hopf分岔,表明系統(tǒng)已經(jīng)由分岔引起失穩(wěn),若繼續(xù)增大,則會發(fā)生第二次Hopf分岔和Fold分岔,且兩點間隔僅為0.004 7,表明系統(tǒng)在此區(qū)間內(nèi)非常敏感,進而可能發(fā)生混沌振蕩現(xiàn)象。下面選取兩個特例值,分析Q1對系統(tǒng)運行的具體影響。

圖2 電壓平衡曲線Fig.2 Voltage balance curve

當Q1=11.376 0時,系統(tǒng)電壓初值在0.97左右,表現(xiàn)為增幅振蕩,約經(jīng)過10 s后,系統(tǒng)逐漸失穩(wěn),電壓變?yōu)椴豢煽貭顟B(tài),隨后出現(xiàn)電壓崩潰現(xiàn)象,電壓曲線和相圖如圖3所示。

圖3 Q1=11.376 0電壓曲線和相圖Fig.3 Voltage curve and phase diagram when Q1=11.376 0

當Q1=11.367 7時,系統(tǒng)運行狀態(tài)發(fā)生本質(zhì)上改變,進入混沌狀態(tài),表現(xiàn)為不規(guī)則振蕩,系統(tǒng)徹底變?yōu)闊o序態(tài),電壓曲線和相圖如圖4所示。

圖4 Q1=11.376 7時電壓時序圖和相圖Fig.4 Voltage curve and phase diagram when Q1=11.376 7

2 基于Ⅰ&Ⅰ原理ABSMC設計

電壓穩(wěn)定是整個電網(wǎng)安全運行的關鍵。如何維持電壓在運行過程中穩(wěn)定輸出,正是解決電力系統(tǒng)穩(wěn)定運行的首要前提?;W兘Y(jié)構(gòu)控制是解決非線性系統(tǒng)控制問題的重要方法,其突出優(yōu)點是當系統(tǒng)到達滑模面時,控制器能夠?qū)崿F(xiàn)其根據(jù)切換面做指定的滑動模態(tài)運動,而整個過程與原系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及參數(shù)是無關的,因此滑??刂茖Ρ豢貙ο蟊憩F(xiàn)出很好的魯棒性。反演是一種較為成熟的控制器構(gòu)造思想,其通過對原系統(tǒng)進行降價,取得低維的子系統(tǒng),在此基礎上,設定虛擬控制量,并通過選取Lyapunov函數(shù),來保證系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性,再逆推控制律算法。這樣先保證穩(wěn)定性,再設計控制器的思想,確保整個系統(tǒng)一直處于穩(wěn)定狀態(tài)。利用Ⅰ&Ⅰ原理,可以對外部擾動進行估計時,更加地靈活有效,有別于一般的自適應算法,它是利用擾動的估計誤差,使其漸進收斂來保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性,通過設計流形并保持其吸引與不變來實現(xiàn)。本文以誤差估計為對象,建立不變流形,以控制目標估計誤差能夠收斂到0來設計合適的控制律和自適應律。

為提高控制方法的適應性,對式(1)的非線性數(shù)學模型增設外部擾動d,設計低維模型,表示為

(2)

式中:Δ=16.666 7sin(θ-δ+0.087 3)V-0.166 7ω+1.880 7;u為待設計的控制律。

根據(jù)反演法,設定功率角速度的預期控制目標為eδ,定義狀態(tài)變量誤差

e1=δ-eδ

(3)

(4)

(5)

此處,取虛擬控制量為

(6)

式中,系數(shù)k1>0,有

e2=ω-α

(7)

(8)

定義估計誤差

(9)

(10)

由自適應反演滑??刂?(adaptive backstepping sliding mode control,ABSMC)方法,設計滑模面為

s1=e2+c1e1

(11)

式中,系數(shù)c1>0,則

(12)

(13)

設計控制律

[εtanh(s1/σ)+h1s1]

(14)

為消除滑??刂茙淼亩墩窈涂刂撇贿B續(xù)問題,在控制律的設計過程中加入連續(xù)的反正切函數(shù)-εtanh(s1/σ)-h1s1作為趨近律,以改善控制品質(zhì)。

構(gòu)造正定矩陣

(15)

定義誤差流形

(16)

式中,β(δ,ω)為待設計補償函數(shù)。

假定上述流形能夠不變,則擴展電力系統(tǒng)模型,對照式(2)有

(17)

根據(jù)(17)中對b和β(δ,ω)的定義,有

e2=ω-α

(18)

(19)

同理,由ABSMC方法設計新的滑模面

s2=e2+c2e1

(20)

式中,系數(shù)c2>0,則

(21)

由式(21)得,新的控制律設計為

(22)

式中,系數(shù)k2>0,在控制律設計中加入調(diào)節(jié)系數(shù)σ,增強其控制能力。調(diào)節(jié)系數(shù)可以影響控制器的響應速度和超調(diào)量,具有更強的靈活性。

Ⅰ&Ⅰ原理要求,設計合適的擾動估計自適應律φ及額外補償項β(δ,ω),要能確保以上設計的流形保持不變和吸引,根據(jù)式(17)的定義,有

(23)

(24)

(25)

β(δ,ω)=γ2ω

(26)

s2{-b-ε2[tanh(s2/σ)+h2s2]-k2e1}-b2

(27)

為保證式(27)負定,這里需要令ε2>max|b|,有

(28)

綜上,是基于Ⅰ & Ⅰ原理的ABSMC的設計和證明過程。

3 數(shù)值仿真

為驗證本文所提方案的有效性,進行仿真試驗。系統(tǒng)的初始條件設定以下(δ,ω,θ,V)=(0.3,0,0.2,0.97),外部擾動取d=2cos(0.4πt),c1=5,c2=1,k1=3,k2=1,ε=2,h2=3,γ2=100,σ=0.1。

取無功功率Q1=11.376 7,根據(jù)第1章的分析可知,在此參數(shù)下,電力系統(tǒng)會在Q1的作用下產(chǎn)生混沌振蕩現(xiàn)象,可以很好地驗證理論證明結(jié)果。設置仿真區(qū)間0~20 s時間,試驗結(jié)果如圖5~圖11所示。

圖5 Q1=11.376 7控制對比曲線Fig.5 Control comparison curve when Q1=11.376 7

圖5變量響應曲線表示,通過對比是否加入控制器變化可以看出,系統(tǒng)自由演化發(fā)生無規(guī)則混沌振蕩,在控制器的介入下,系統(tǒng)各參數(shù)變量實現(xiàn)快速收斂,達到穩(wěn)定狀態(tài);從圖6中各變量與電壓關系相圖可以看出,最終各變量δ,ω和θ都可以實現(xiàn)關于電壓V穩(wěn)定;在控制率的設計過程中,因為加入了反演控制的思想,如圖7誤差曲線所示,保證了所設計變量誤差e1,e2最終都能收斂到0。

圖6 δ,ω,θ分別與電壓相圖Fig.6 δ,ω,θ phase diagram with voltage respectively

圖7 δ,ω變量誤差曲線Fig.7 δ,ω variable error curve

圖8展示了兩種不同趨近律對輸入控制信號的影響變化。對比得出,在本文所提出的控制方法中,以雙曲正切函數(shù)作為趨近律,可有效改善控制率的輸入品質(zhì),抑制了滑??刂贫墩瘳F(xiàn)象,從而使本文的控制策略具有較好的魯棒性。

圖8 不同趨近律的輸入曲線Fig.8 Input curves of different reaching laws

由于不同控制器的參數(shù)會對系統(tǒng)產(chǎn)生不同的控制效果,σ作為控制器的調(diào)節(jié)系數(shù),可以改善控制器的調(diào)節(jié)作用。圖9給出了系統(tǒng)的電壓V隨參數(shù)σ變化的響應曲線,可以看出σ的不同取值,會影響到控制曲線的超調(diào)量和響應速度。在σ∈[0.1,10]內(nèi),隨著σ的減小,可以降低控制曲線的超調(diào)量,并且在響應速度上有所提高。

圖9 系統(tǒng)電壓隨調(diào)節(jié)系數(shù)變化曲線Fig.9 Variation curve of system voltage with regulation coefficient

基于Ⅰ&Ⅰ的ABSMC控制方法的突出優(yōu)勢是可以對系統(tǒng)的動態(tài)擾動進行實時的精確辨識,我們在系統(tǒng)運行在第20秒時加入控制器,表示前后的對比變化。從圖10可以看出,在經(jīng)過一次較大的超調(diào)后,擾動估計量最終能夠?qū)崟r擬合到給定真值。觀測器的超調(diào)量與精度都和參數(shù)γ2有關。圖11顯示,隨著γ2的增大,可以不斷縮小擬合的誤差,但其超調(diào)量卻增加明顯。本文提出的方法具有較好的動態(tài)跟蹤性能和自適應能力,能夠有效使電力系統(tǒng)運行在期望的狀態(tài)。

圖10 擾動估計誤差曲線Fig.10 Disturbance estimation error curve

在圖12中,給定相同的仿真初始條件,將本文所提方案與傳統(tǒng)的反演控制(backstepping control,BSC)和ABSMC相比較。由于反演思想的引入,可以保證了BSC、ABSMC與Ⅰ&Ⅰ ABSMC三種方法均能實現(xiàn)電力系統(tǒng)穩(wěn)定控制。與其他兩種方法通過對比可以發(fā)現(xiàn),在Ⅰ&Ⅰ ABSMC控制器作用下,大約在1.5 s處便可使狀態(tài)變量收斂,系統(tǒng)達到穩(wěn)定狀態(tài),大大縮短了系統(tǒng)的過渡時間,提高了系統(tǒng)的響應速度。

圖11 擾動估計量觀測曲線Fig.11 Observation curve of disturbance estimator

圖12 控制效果對比曲線Fig.12 Control effect comparison curve

在工程實際中,電力系統(tǒng)并非只有混沌振蕩這一種不穩(wěn)定狀態(tài),還有可能發(fā)生電壓崩潰的可能。根據(jù)前文的分析,當Q1=11.376 0時,即為電壓崩潰。為此取相同的初始值和參數(shù)設置,進行如下仿真試驗。

圖13為變量響應曲線,展示了在電壓崩潰下的控制效果??梢钥闯?,大約在12 s左右,如果任由系統(tǒng)自由演化,將會發(fā)生電壓崩潰;而在控制器的介入下,可及時糾正電壓下降行為,改變系統(tǒng)運行,各參數(shù)變量實現(xiàn)快速收斂,達到穩(wěn)定狀態(tài)。

圖13 Q1=11.376 0控制對比曲線Fig.13 Control comparison curve when Q1=11.376 0

為符合工程實際,在其10 s后施加控制器。如圖14所示,在Q1=11.376 7時,觀測器仍然可以對外部擾動實現(xiàn)精確辨識。雖然與混沌振蕩不同的兩種狀態(tài),但其最終的控制效果和辨識能力可以說明本文所提方案對電力系統(tǒng)的穩(wěn)定控制具有普遍的適用性。

圖14 Q1=11.376 0擾動估計量觀測曲線Fig.14 Observation curve of disturbance estimator when Q1=11.376 0

4 結(jié) 論

本文將Ⅰ&Ⅰ原理應用到四階電力系統(tǒng)中,在四階電力系統(tǒng)的混沌振蕩的數(shù)值分析中發(fā)掘兩種不同的系統(tǒng)失穩(wěn)狀態(tài)。針對其無功負荷參數(shù)變化引起的系統(tǒng)不穩(wěn)定的問題,同時考慮到電網(wǎng)實際運行中存在的外部干擾,對系統(tǒng)模型加入了不確定擾動項,利用Ⅰ&Ⅰ原理對不確定擾動進行估計預測,根據(jù)反演思想,設計ABSMC,確保了控制律設計的魯棒性??刂破鞯恼w設計過程中,結(jié)合了反演法與滑??刂苾烧叩膬?yōu)勢,既保證了整個設計過程中系統(tǒng)的穩(wěn)定性,也提高了系統(tǒng)的響應速度和自適應性;并且在設計時增加控制率的調(diào)節(jié)系數(shù),增加了控制律調(diào)節(jié)能力。通過對理論分析進行數(shù)值仿真試驗,結(jié)果表明,本文所設計的控制律,能夠?qū)煦珉娏ο到y(tǒng)的外部擾動實現(xiàn)準確的辨識,電力系統(tǒng)各狀態(tài)變量快速達到收斂,系統(tǒng)運行的穩(wěn)定性和響應速度得到提升。本文控制方案的提出為電力系統(tǒng)的混沌振蕩控制提供了一種新可行性方案。

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