四川省成都市第七中學萬達學校 劉 春 （郵編：610036）

1 整體性教學的必要性分析

圓作為解析幾何的基本研究對象之一，一直是高中數(shù)學學習的重點內(nèi)容，也是高考考查的熱點.圓的方程的建立使用了坐標法，利用平面直角坐標系將曲線與方程統(tǒng)一起來，讓學生初步意識到解析幾何兼顧數(shù)與形，而直線與圓的聯(lián)動出現(xiàn)則更是將“數(shù)形結(jié)合”的思想，代數(shù)法與幾何法的辯證統(tǒng)一體現(xiàn)得淋漓盡致，因此本部分的學習可以重點培養(yǎng)學生直觀想象能力、數(shù)學運算、邏輯推理、數(shù)學抽象等核心素養(yǎng).但在實際教學中，圓的方程知識點覆蓋滿面廣，學習重難點多，課時容量大，一節(jié)課對應(yīng)多個知識點，因此教材有意采用了點狀的編排方式以突出重難點，從而降低學生學習的難度，但這又不利于學生知識網(wǎng)絡(luò)體系的構(gòu)建.因此，在復習的教學過程中要求老師能夠跳出“某一個知識點”“某一道題”“某一節(jié)課”，轉(zhuǎn)而去進行整體性教學的設(shè)計，即要將“知識的整體講授，思想方法的整體體會，核心素養(yǎng)的整體提升”結(jié)合在一起，才能夠讓學生“會當凌絕頂，一覽眾山小”.

2 整體性教學的概念

整體性原則，就是把研究對象看作由各個構(gòu)成要素形成的有機整體，從整體與部分相互依賴、相互制約的關(guān)系中揭示對象的特征和運動規(guī)律，研究對象整體性質(zhì).而整體性原則在數(shù)學教學上的體現(xiàn)，即以“教學整體”為工具，利用“教學整體”的知識性與功能性相統(tǒng)一的特征，對學生的認知基礎(chǔ)，對結(jié)構(gòu)相關(guān)的一系列知識進行加工和重組，先解決結(jié)構(gòu)良好領(lǐng)域的問題，后解決結(jié)構(gòu)不良領(lǐng)域的問題，使知識永遠在結(jié)構(gòu)中存在，使得學生學習活動形式與學習方式相一致，并通過整體性評價促進學生全身心投入到數(shù)學學習中.不難發(fā)現(xiàn)，當下單元復習，專題復習的研究方向都指向了基于“整體”視角進行教學設(shè)計.

3 傳統(tǒng)教學到整體性教學的三大轉(zhuǎn)變

3.1 單一知識點復習到“基礎(chǔ)知識，思想方法，核心素養(yǎng)”統(tǒng)領(lǐng)下復習的轉(zhuǎn)變

復習不是把新課重復一遍，而是將知識的發(fā)生、發(fā)展、運用三者串聯(lián)起來，即找到“學習主線”，學習主線將圍繞“基礎(chǔ)知識、思想方法、核心素養(yǎng)”展開傳統(tǒng)教學的主線大致為“知識呈現(xiàn)—例題講解—課堂小結(jié)”，這種組織復習重視了知識梳理但忽視了網(wǎng)絡(luò)建構(gòu)，重視解題技巧但忽略了思想方法，重視了題型教學但忽略了素養(yǎng)提升，即只重視了基礎(chǔ)知識這一條主線.整體性教學常以知識主線即“背景—本質(zhì)—性質(zhì)—應(yīng)用”為明線，以思想方法如“背景—方法—方法論—學科觀”為暗線，共同作用于數(shù)學六大核心素養(yǎng).

3.2 “唯分數(shù)論”評價方式到形成性評價方式的轉(zhuǎn)變

教育部考試院發(fā)布的中國課程評價體系由“一核四層四翼”三部分組成，是“一體兩面”的綜合體系，以“四層”為考查內(nèi)容評價學生素質(zhì)達成度，以“四翼”為考查要求評價學生素質(zhì)達成度，為了最大可能的實現(xiàn)“立德樹人、服務(wù)選材、引導教學”在教學中首先要弱化具有威脅性的，引起學生高度焦慮，導致學生對考試采取敵對心理甚至采用作弊等手段的評價方式，其次要采取形成性評價方式，僅僅用唯分數(shù)論評價學習結(jié)果是不夠科學的，還要評價學習方式與學習動機，了解學生的學習狀況和個人需求，可以采用觀察記錄，學生自評互評等方式，增大學生學習的內(nèi)驅(qū)力，讓學生本身形成對學習的興趣，好奇心，探索欲等，最終提升學生邏輯推理，數(shù)學運算等核心素養(yǎng).

3.3 單一視角看問題到多視角看問題的轉(zhuǎn)變

圓的方程這一部分的內(nèi)容兼具形與數(shù)的特點，因此問題的設(shè)計與解答不能光從幾何角度或代數(shù)角度出發(fā)，應(yīng)該兼而有之，比如在下例中：

例1（幾何視角）已知圓C：x2+y2-6x-8y＝0，P為圓C上一動點，則P到原點距離的最大值與最小值的和為___________.

這是一個典型的從幾何視角出發(fā)設(shè)計的問題，學生很容易看清幾何背景為“圓上動點到圓外定點距離的最值問題”，學生能夠自然地對幾何圖形進行分析進而解決問題，但是如果從代數(shù)的角度發(fā)問：

例1′（代數(shù)視角）已知x2+y2-6x-8y＝0，則x2+y2的最大值與最小值的和為__________.

隱藏其明顯的幾何意義，則需要學生根據(jù)該代數(shù)背景將符號語言轉(zhuǎn)化為圖形語言，進而求解，極強增加了這道題數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的思想，提升學生邏輯思維能力.

再比如下例的兩種問法：

例2（幾何視角）已知曲線與直線y＝x+m恰有一個交點，則m的取值范圍為__________.

例2′（代數(shù)視角）方程恰有一解，則m的取值范圍為__________.

從不同的視角看問題其實就是讓學生將知識的發(fā)生、發(fā)展、運用三者再一次串聯(lián)起來，在不斷觀察、思考、實踐、反思中發(fā)展，通過對文字語言，符號語言和圖形語言三種語言之間的反復轉(zhuǎn)化，發(fā)展學生數(shù)學抽象，直觀想象等核心素養(yǎng).

4 直線與圓復習課整體性教學設(shè)計

基于以上分析，下文將從研究路徑，評價方式和具體實施方法案例給出復習思路.

4.1 圓的方程復習課的研究路徑

直線與圓這兩種曲線的研究都經(jīng)歷了如下路徑“根據(jù)具體的問題背景，建立適當?shù)淖鴺讼挡⒃O(shè)點；根據(jù)圖形語言確定幾何關(guān)系；根據(jù)幾何關(guān)系的呈現(xiàn)形式選擇幾何法或代數(shù)法；利用代數(shù)法（幾何法）得出結(jié)論；根據(jù)結(jié)論解釋幾何問題”，以上路徑不僅適用于直線與圓的研究，也適用于每一種曲線的性質(zhì)研究可以用如下框圖簡單呈現(xiàn)：________

代數(shù)形式即根據(jù)幾何關(guān)系的呈現(xiàn)形式選擇代數(shù)法或者幾何法，比如則選擇代數(shù)法聯(lián)立直線與圓，若是則幾何法代數(shù)法均可選擇.由此可以看出幾何關(guān)系的呈現(xiàn)形式是問題的突破口，深入的挖掘幾何關(guān)系將其翻譯成正確的合適的符號語言則是處理問題的關(guān)鍵，而代數(shù)運算解決代數(shù)問題則是靈魂所在每一個環(huán)節(jié)都側(cè)重于不同的數(shù)學核心素養(yǎng)，如下圖：

坐標法不僅是研究幾何問題的重要方法，而且是一種廣泛應(yīng)用于其他領(lǐng)域的重要數(shù)學思想方法，通過坐標系，把點與坐標，直線與方程聯(lián)系起來，實現(xiàn)了形與數(shù)的統(tǒng)一.因此在教學過程中要始終貫穿坐標法這一重要思想，不怕反復.這一章僅僅是學習坐標法的一個開始，今后圓錐曲線與方程等章節(jié)還要進一步學習，坐標法的基本思想與解題步驟應(yīng)該在本章初步形成.

4.2 圓的方程復習課的評價方式

類似于研究途徑中的明線與暗線，即“背景—本質(zhì)—性質(zhì)—應(yīng)用”為明線，以思想方法如“背景—方法—方法論—學科觀”為暗線，教師對學生的評價也可以從明線，即“知識體系、學習習慣、學習態(tài)度”與暗線，即“思維過程的引導與思維過程的監(jiān)督”進行評價，問題是師生對話的基礎(chǔ)，也是師生交流的窗口，通過問題的解決不僅可以將有關(guān)知識方法傳遞給學生，更重要的是在解決問題過程中給學生樹立示范，引導學生思考問題、轉(zhuǎn)化問題，提升學生的核心素養(yǎng).下面以一道例題為線索，看學生解題需求，并從三個方面討論形成性評價的方式.

例題在平面直角坐標系xOy中，已知直線x-3y-10＝0 與 圓 O：x2+y2＝r2（r＞0）相切.

問（1）直線l過點（2，1）且截圓 O 所得的弦長為，求直線l的方程；

問（2）已知直線y＝3與圓O交于A、B兩點，P是圓上異于A、B的任意一點，且直線AP，BP與y軸相交于M、N點.判斷點M、N的縱坐標之積是否為定值?若是，求出該定值；若不是，說明理由.

本題考查面廣，知識涉及到圓的方程，直線與圓的位置關(guān)系，直線與圓的綜合應(yīng)用；方法上考查了學生使用幾何法與坐標法解決直線與圓相關(guān)問題的能力；對學生的核心素養(yǎng)滲透得及其全面.

（1）對學生問題轉(zhuǎn)化能力的評價

從學生的解答中可以看出，利用相切解出圓的半徑，設(shè)出直線的點斜式方程，將弦長問題利用垂徑定理的數(shù)學形式轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離問題仍然是基本解決方法，運算量較小但部分同學不能夠?qū)ⅰ跋议L”與“圓心到直線的距離”二者結(jié)合起來，而直接聯(lián)立直線與圓使用弦長公式導致運算量過大，對于基礎(chǔ)薄弱的同學計算容易錯誤.

因此教師在評價時應(yīng)該圍繞以下幾個問題，“從什么角度分析能夠得到解法”“什么是常規(guī)方法？什么是簡便做法？”

具體到第一問，使用代數(shù)法的同學能夠在熟悉的數(shù)學情境中了解運算對象，了解運算法則及其適用范圍，但對幾何語言的理解仍停留在表面，缺乏形與數(shù)的思考，反映了學生對知識連接較弱，這些學生在圓的方程一章的學習處在“水平1”的層次；而采用幾何法的同學，能在數(shù)學情境中建立正確的數(shù)學模型，明確運算對象，掌握運算法則，求得運算結(jié)果，體會數(shù)形結(jié)合思想的意義與作用，該部分學生至少處在“水平2”層次.

（2）對學生學習習慣的評價

數(shù)學課程標準要求教師要對學生加強學習方法的指導，幫助學生養(yǎng)成良好的數(shù)學學習習慣，敢于質(zhì)疑善于思考，理解概念，把握本質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，明晰算理，理清知識的來龍去脈，建立知識間的關(guān)聯(lián)，在第一問中對直線方程的設(shè)法出現(xiàn)了不同的解答，部分同學直接將直線設(shè)為y-1＝k（x-2），而沒有討論斜率是否存在，即缺少直線方程x＝2這種情況反映了部分學生思維習慣不夠規(guī)范，對條件的研究不夠深入，想當然的使用經(jīng)驗主義.（從題海戰(zhàn)術(shù)中總結(jié)出的經(jīng)驗主義）教師應(yīng)圍繞“為什么知定點要設(shè)點斜式而不是其他形式”“是不是一定要討論x＝2的情況？”這樣兩個問題進行評價.

（3）對學生學習態(tài)度的評價

良好的學習態(tài)度是學生形成和發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng)的必要條件，因此學習態(tài)度應(yīng)該作為教學目標的重要評價，應(yīng)重點關(guān)注主動學習，認真思考，善于交流，集中精力，堅毅執(zhí)著，嚴謹求實等，教師應(yīng)當記錄學生學習態(tài)度的變化與成長過程形成良好的學習態(tài)度，首先需要對學生提出合適的要求，比如在此題中第2問解決“判斷點M、N的縱坐標之積是否為定值?”可以拆分為以下四個步驟：（1）求出A、B的坐標并設(shè)出P點坐標；（2）寫出直線AP、BP的方程；（3）寫出AP、BP與y軸的交點M、N的坐標；（4）計算M、N縱坐標乘積并化簡得出結(jié)論可以按照如下表格對不同學業(yè)水平學生學習態(tài)度進行評價.

運算水平要求完成數(shù)學運算水平1數(shù)學運算水平2數(shù)學運算水平3步驟1√√√步驟2√ √步驟3√ √步驟4√

4.3 圓的方程復習具體實施方法案例

數(shù)學課程標準中提到復習題要注重單元知識的系統(tǒng)性，幫助學生理解數(shù)學的結(jié)構(gòu)，增進復習的有效性，達到相應(yīng)單元的“學業(yè)要求”，也要關(guān)注數(shù)學內(nèi)容主線之間的關(guān)聯(lián)以及六個數(shù)學學科核心素養(yǎng)之間的協(xié)調(diào)，有利于學生整體理解并系統(tǒng)掌握學過的數(shù)學知識，實現(xiàn)學業(yè)質(zhì)量的相應(yīng)要求.在專題知識復習中可以圍繞如下問題展開：

（1）圓的方程有哪幾種形式？你能說出他們各自的特點嗎？

（2）通過方程，研究直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系是本章的主要內(nèi)容之一，你能說出判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系從哪兩方面入手嗎？

（3）坐標法解決平面幾何問題三部曲是什么？

（4）你能利用信息技術(shù)工具探索圓的多種生成方式嗎？并形成研究型報告

（5）你能否將“坐標法”與平面幾何綜合法，平面向量建立聯(lián)系，并推廣到空間中解決立體幾何問題？

可以設(shè)置如下問題情境:

已知直線與圓相離，P為直線上一動點，如圖，請從“靜”與“動”，“幾何”與“代數(shù)”兩個方面，兩種角度提出并解決問題.

這個問題以“直線和圓相離為背景”，根據(jù)P點的性質(zhì)（靜或者動）可以提出一系列的距離，面積以及最值問題，在具體復習中教師應(yīng)將學生提出的問題一一羅列，然后探討這些問題應(yīng)該先從哪一個問題入手，探討應(yīng)圍繞“如何將靜中的幾何關(guān)系翻譯成符號語言以及如何找尋變化過程中不變的幾何關(guān)系”展開，可能出現(xiàn)的問題有：

幾何視角：

（1）過P點做圓C兩條的切線，切線PA、PB長度與方程是什么？

（2）切點弦AB的長度與方程是什么？

（3）當P在l上運動時，切線PA、PB長度與切點弦AB的長度，四邊形PABC的面積是如何變化的？

（4）PC、AB間的函數(shù)關(guān)系是怎樣的？

代數(shù)視角：

（5）直線AB是否過定點？如果是，求出定點坐標；

以上問題與相對應(yīng)的解法兼具數(shù)與形，動與靜，要引導學生能從簡單的幾何關(guān)系中構(gòu)造更深層次的幾何關(guān)系，而又要從復雜的幾何關(guān)系中把握問題的本質(zhì)，甚至要利用對稱性，邏輯性“看出答案，看出過程”，若學生呈現(xiàn)的解法是幾何解法，則詢問其他同學或分組討論是否有對應(yīng)的代數(shù)解法，還應(yīng)關(guān)注有多少同學畫出了幾何圖形，并作出表揚，強調(diào)解析幾何是一門“數(shù)”與“形”結(jié)合的學科，加強“數(shù)形結(jié)合”意識.

5 結(jié)束語

章建躍老師對整體性教學的設(shè)計曾評價道：“為學生構(gòu)建前后一致，邏輯連貫的學習過程，使學生在掌握知識的過程中學會思考”，而復習更強調(diào)數(shù)學的整體性，將相關(guān)聯(lián)的知識、方法、思想聯(lián)系起來，圍繞重要問題，重要概念設(shè)計并組織教學，保證了復習過程邏輯的連續(xù)性，而對學生評價方式的轉(zhuǎn)變以及引導學生從不同的視角看問題使學生在掌握數(shù)學知識，感悟數(shù)學思想的同時也提升了學生的核心素養(yǎng).