孔繁晶 (徐州高等師范學(xué)校 221116)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(2017年版)》指出數(shù)列作為一類特殊函數(shù)，是反映離散過程的基本模型．它不僅是數(shù)學(xué)課程的重要研究對象，在其他領(lǐng)域和日常生活中也有著廣泛的應(yīng)用，其研究過程還蘊含了豐富的數(shù)學(xué)思想方法，對培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運算和數(shù)學(xué)建模等能力有著不可忽視的作用．2021年高考共計10套數(shù)學(xué)試題，每套試題均將數(shù)列作為主干知識進行考查．試題編制突出數(shù)學(xué)本質(zhì)，重視理性思維，堅持素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重的考查方向．

1 考查內(nèi)容分析

綜合分析2021年高考數(shù)學(xué)試題，其數(shù)列命題圍繞等差、等比兩類特殊數(shù)列展開，重點考查概念的理解、基本量的計算以及蘊含的數(shù)學(xué)思想．

1.1 考點分布合理

2021年10套高考數(shù)學(xué)試題共計18道數(shù)列問題，統(tǒng)計如表1.2021年高考數(shù)列考查內(nèi)容分布均衡，主要集中在以下幾個方面：數(shù)列的表示方法，項與和的關(guān)系；等差(比)數(shù)列的判斷和性質(zhì)；等差(比)數(shù)列的通項公式、前n項和公式；利用遞推關(guān)系求通項；數(shù)列求和；數(shù)列的綜合應(yīng)用等．其中，等差(比)數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項公式以及前n項和公式仍是考查重點．部分試題還與函數(shù)、方程、不等式、簡易數(shù)論、數(shù)學(xué)歸納法相結(jié)合進行考查，如北京卷第21題，浙江卷第10題、第20題，天津卷第19題等．

表1 2021年高考數(shù)學(xué)試卷數(shù)列問題考查情況統(tǒng)計

1.2 分值比重相當

10套試題中，數(shù)列內(nèi)容均有一道解答題，選擇題、填空題數(shù)量各有不同．總分值在10～24分之間，全國統(tǒng)一命題卷相對偏低，在10～17分之間，地方自主命題卷相對偏高，在15～24分之間．

1.3 文理差異存在

全國甲、乙卷均針對文、理科學(xué)生的能力差異進行分別命題．其中，全國甲卷解答題采用同一題源，理科以“結(jié)構(gòu)不良問題”形式進行考查，文科則以傳統(tǒng)形式進行設(shè)計．可見，文理科命題差異依然存在，理科思維跨度稍大，更加注重抽象與邏輯思維，文科則偏重基礎(chǔ)知識與基本技能．

1.4 難度層次分明

全國統(tǒng)一命題的數(shù)列試題均以容易題和中檔題為主，主要考查基礎(chǔ)知識和基本方法．值得注意的是，首次問世的新高考I卷數(shù)列填空題綜合性較強，考查了學(xué)生發(fā)現(xiàn)、分析、解決問題的能力．而數(shù)列解答題一改江蘇卷多年風(fēng)格，未與其他知識點交匯命題，也不再以壓軸題的身份出現(xiàn)．

地方自主命題的數(shù)列試題呈現(xiàn)多層次考查態(tài)勢．北京卷、上海卷的填空、選擇題各一道，一道容易題，一道較難題，浙江卷只有一道選擇題，難度較大．而解答題題號均相對偏后，屬于中檔題或難題，北京卷的解答題為壓軸題，難度大．

1.5 問題力求創(chuàng)新

2020年10月，中共中央、國務(wù)院在《深化新時代教育評價改革總體方案》中提出要構(gòu)建引導(dǎo)學(xué)生德智體美勞全面發(fā)展的考試內(nèi)容體系，改變相對固化的試題形式，增強試題的創(chuàng)新性．2021年高考數(shù)列試題踐行這一思路，出現(xiàn)以傳統(tǒng)文化為情境的微型建模、加大開放題的創(chuàng)新力度，將考查指向核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力，發(fā)揮高考的選拔功能．如全國甲卷理科第18題、新高考I卷第16題、北京卷第21題．

2 命題思路分析

2021年高考數(shù)列試題緊扣考試大綱，遵循“基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性”的命題原則，立足基礎(chǔ)，穩(wěn)中求新，關(guān)注學(xué)科核心素養(yǎng)，落實“立德樹人，服務(wù)選才”的核心功能．

2.1 立足基礎(chǔ)，重視基礎(chǔ)知識、基本技能和基本方法

等差、等比數(shù)列是高中階段研究的兩類重要特殊數(shù)列．《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(2017年版)》要求探索并掌握等差(比)數(shù)列的概念、變化規(guī)律、通項公式和前n項和公式．因此，基本量、基本運算一直都是高考考查的重點．

例1(新高考Ⅱ卷第17題)記Sn是公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項和，a3=S5，a2a4=S4．

(1)求數(shù)列{an}的通項公式an；

(2)求使Sn>an成立的n的最小值．

評析本題考查等差數(shù)列的通項及前n項和公式，是典型的基本量計算題．題目著眼等差數(shù)列五個量a1,an,d,n,Sn之間的關(guān)系，通過構(gòu)造方程組，求得an，Sn，再建立一元二次不等式確定n的最小值．這類問題屬于高考數(shù)學(xué)高頻考點，重點考查通性通法，方程、整體代換等思想以及數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．同時，此類解答題還是考查學(xué)生數(shù)學(xué)語言能力的良好載體，書寫過程不必繁瑣，但不可缺少關(guān)鍵步驟，例如代數(shù)化簡、寫出基本量等．

例2(全國甲卷文科第9題)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．若S2=4，S4=6，則S6=( )．

A.7 B.8 C.9 D.10

A.64 B.100 C.128 D.132

評析上述兩道例題，依然考查等差(比)數(shù)列的通項、前n項和以及性質(zhì)．在解題時若能靈活運用性質(zhì)，將其與基本量運算相結(jié)合，如例2依題意知“S2,S4-S2,S6-S4成等比數(shù)列”，例3利用“2b3=b1+b5”均可簡化計算、節(jié)約時間．這也體現(xiàn)了高考命題小題考“小”、解題“多路徑”的特征．

(1)求{an}和{bn}的通項公式；

評析縱觀多年各地考題，數(shù)列求和問題屢“考”不鮮．本題題干清晰，易于入手，第(1)小題構(gòu)造方程求解；第(2)小題考查形如cn=an·bn的數(shù)列求和(其中{an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列)，需利用錯位相減法和等比數(shù)列前n項和公式分別求得Tn和Sn，再用作差法完成不等式證明．處理此類問題需要邏輯清晰、公式熟練，其中，錯位相減法也是高考數(shù)學(xué)中考查學(xué)生數(shù)學(xué)運算能力極好的載體．

2.2 適度綜合，關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)、理性思維和關(guān)鍵能力

高中數(shù)學(xué)各知識點并非互相孤立，而是相互關(guān)聯(lián)的．因此，近年高考命題遵循覆蓋全面、適度綜合的原則．所謂綜合，既可指內(nèi)容，如章節(jié)內(nèi)部、章節(jié)之間、跨學(xué)科的綜合，也可指能力，如聯(lián)合考查多個核心素養(yǎng)，以促進師生重視知識間的邏輯關(guān)系，重視數(shù)學(xué)本質(zhì)，重視理性思維和關(guān)鍵能力的培養(yǎng)．

(1)記bn=a2n，寫出b1,b2，并求數(shù)列{bn}的通項公式；

(2)求{an}的前20項和．

評析本題位于試卷解答題第一題，無疑應(yīng)該屬于基礎(chǔ)題一類．但遞推數(shù)列與等差數(shù)列的結(jié)合，又涉及分奇偶討論，這樣相對綜合的問題難住了不少考生．第(1)問關(guān)鍵在于通過奇偶分支寫出“bn+1=a2n+2=a2n+1+1=a2n+2+1=a2n+3=bn+3”， 第(2)問則需要繼續(xù)依據(jù)奇偶項分類，通過分組求和得出S20．由此可見，所謂大題考“質(zhì)”，就是避開一些命題固定套路，回歸數(shù)列本質(zhì)，通過列舉找尋規(guī)律，用最原始、最簡單的辦法突破問題．

(1)證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；

(2)求{an}的通項公式．

例7(全國甲卷理科第7題)等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項和為Sn．設(shè)甲：q>0，乙：{Sn}是遞增數(shù)列，則( )．

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

(2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足3bn+(n-4)an=0(n∈N*)，記{bn}的前n項和為Tn．若Tn≤λbn，對任意n∈N*恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．

評析數(shù)列作為高考數(shù)學(xué)重要考點，既可以獨立命題，也可以在與其他數(shù)學(xué)知識、方法交匯處命題，從而全面考查學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)．常見類型是與函數(shù)方程、不等式、數(shù)學(xué)歸納法、簡易數(shù)論等知識相結(jié)合，且綜合考查多個知識點，難度較大，尤其在自主命題地區(qū)常以壓軸題身份出現(xiàn)．

例7相對簡單，將等比數(shù)列通項、性質(zhì)以及前n項和與四種條件相結(jié)合，依據(jù)定義進行充分性和必要性的判斷．例8難度較大，考查了遞推數(shù)列求通項和裂項求和，還融合了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性、數(shù)學(xué)歸納法以及不等式放縮等內(nèi)容，著實對學(xué)生的綜合應(yīng)用能力進行了考查，具備選材價值．例9第(1)問考查Sn與an關(guān)系，屬于基本題型，第(2)問借助錯位相減法求Tn，轉(zhuǎn)化成λ(n-4)+3n≥0恒成立問題，考查了特殊數(shù)列求和的常見方法以及分類討論等重要數(shù)學(xué)思想．

2.3 靈活應(yīng)用，突出理論聯(lián)系實際，學(xué)以致用

新一輪教學(xué)改革倡導(dǎo)理論聯(lián)系實際，學(xué)以致用，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值．故高考試題命制將會彰顯數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)外的應(yīng)用，考查學(xué)生必備知識水平與關(guān)鍵能力，逐級深化構(gòu)建德智體美勞全面發(fā)展的考試體系．

例10(北京卷第10題)數(shù)列{an}是遞增的整數(shù)數(shù)列，且a1≥3，a1+a2+a3+…+an=100，則n的最大值為( )．

A.9 B.10 C.11 D.12

評析本題雖然容易，卻從簡易背景入手，考查學(xué)生應(yīng)用等差數(shù)列前n項和等知識解決問題的能力，顯現(xiàn)出學(xué)科內(nèi)應(yīng)用的命題思路．

例11(上海卷第19題)已知某企業(yè)2021年第一季度的營業(yè)額為1.1億元，以后每個季度的營業(yè)額比上個季度增加0.05億元，該企業(yè)第一季度的利潤為0.16億，以后每季度比前一季度增長4%．

(1)求2021年起前20季度營業(yè)額的總和；

(2)請問哪一季度的利潤首次超過該季度營業(yè)額的18%？

評析本題以求企業(yè)20季度營業(yè)額之和以及利潤探討命題，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注社會生活，理解數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值．第(1)問考查等差數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用，第(2)問利用等差(比)數(shù)列通項知識建立不等關(guān)系，進而確定何時“首次超過”，意在考查學(xué)生學(xué)以致用的意識以及數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等學(xué)科核心素養(yǎng)．

此外，此應(yīng)用背景源于教材習(xí)題，由此可見，高考命題不僅考查的知識點、方法技能不會脫離課本，就連題設(shè)背景往往也源于課本．因此，再次提醒日常教學(xué)和復(fù)習(xí)必須重視教材．

2.4 穩(wěn)中求新，體現(xiàn)素養(yǎng)導(dǎo)向

2021年是高考改革之年，無論是全國統(tǒng)一命題還是地方自主命題，試題都在一個“穩(wěn)”字的基礎(chǔ)上著力創(chuàng)新．就數(shù)列試題的命制來看，在考查基本知識和關(guān)鍵能力的同時，更加注重對學(xué)生創(chuàng)新性運用的考查．除了?？汲Ｐ碌摹靶露x”問題外，還增加了開放性問題的數(shù)量，并從設(shè)問方式上、背景設(shè)定上作了創(chuàng)新．這既反映了高考數(shù)學(xué)的考查方向，也體現(xiàn)了人才選拔的意愿．

評析本題為全國甲卷理科試題的中檔題，設(shè)問方式相對新穎，試題給出多個條件，要求構(gòu)建一個命題并加以證明．這類沒有明確結(jié)構(gòu)或解決途徑的“結(jié)構(gòu)不良問題”相對開放，給學(xué)生充分的選擇空間．因其需要學(xué)生準確表征，自主建構(gòu)，對于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維和遷移能力有著豐富的價值．就本題來看，學(xué)生可以從多個角度分析，考慮多種可能，組合出三個命題，然后結(jié)合條件以及經(jīng)驗判斷，①③為條件，②為結(jié)論或是②③為條件，①為結(jié)論(即為全國甲卷文科第18題)．在這個過程中，重點考查學(xué)生對于數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，評測其思維的系統(tǒng)性、靈活性、深刻性以及創(chuàng)造性．

3 備考建議

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，具有內(nèi)涵豐富、方法靈活、應(yīng)用廣泛的特點．縱觀2021年高考數(shù)學(xué)中的數(shù)列試題，深感其難度基本穩(wěn)定，而深度、廣度以及新意都在不斷提升，既實現(xiàn)了“選材”的目的，又指明了課程改革的方向．為了使2022年高考數(shù)列復(fù)習(xí)更加具有針對性，筆者提出以下備考建議.

3.1 研究試題，把握方向

高考試題既是服務(wù)選材的尺，又是引導(dǎo)教學(xué)的旗．新一輪高考改革提出“一核”“四層”“四翼”，積極促使命題向素養(yǎng)導(dǎo)向發(fā)展．因此，在復(fù)習(xí)備考中，教師要深入研究試題，捕捉命題內(nèi)容、難度、題型等線索，并且透過現(xiàn)象看本質(zhì)，總結(jié)規(guī)律求推廣，以此合理高效地分配備考時間和精力，有的放矢地進行復(fù)習(xí)．如開展近幾年的熱點——結(jié)構(gòu)不良問題的探討，引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，體會數(shù)學(xué)本質(zhì)，歸納一些解決問題的方法：由簡到繁，優(yōu)先選擇條件單一或者運算方便的；由熟到生，優(yōu)先選擇熟悉的式子或者條件，等等．

3.2 夯實基礎(chǔ)，透析本質(zhì)

九層之臺，起于壘土．2021年高考數(shù)列試題依舊堅持回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)，重視基礎(chǔ)知識、基本技能的考查，不設(shè)“繁難偏怪”的問題，注重通性通法的研究，淡化一些特殊的技巧．因此，在復(fù)習(xí)備考中，一方面要引導(dǎo)學(xué)生用好教材，重視知識的生成與發(fā)展，多想多悟，深化對于數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解；另一方面要幫助學(xué)生夯實基礎(chǔ)，做好“一題多解”“多題一解”的訓(xùn)練與反思，從通性通法中汲取解題思路，優(yōu)選方法，強化計算．假以時日才能做到基礎(chǔ)題穩(wěn)扎穩(wěn)打，萬無一失，綜合題化繁為簡，逐級破解．

3.3 著眼應(yīng)用，提升素養(yǎng)

數(shù)學(xué)源于生活，又作用于生活，有著豐富的應(yīng)用價值．從近年高考試題可以看出，數(shù)列命題堅持從學(xué)生認知水平出發(fā)，本著“重思維、重應(yīng)用、重創(chuàng)新”的理念，以學(xué)科內(nèi)外的應(yīng)用為依托，設(shè)計開放性問題、創(chuàng)新型應(yīng)用問題，深化對于學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)的考查．因此，在復(fù)習(xí)備考中，教師要著眼應(yīng)用，勇于創(chuàng)新．一方面做好系統(tǒng)化教學(xué)，另一方面開展主題式研究，重視思維力和意志力的訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維思考世界，用數(shù)學(xué)語言表達世界，使得學(xué)生在考場上遇到新問題能夠不亂不懼，會思考、敢嘗試、能突破，切實提升學(xué)科核心素養(yǎng)．